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1、专题六数列【真题典例】6.1数列的概念与简单的表示法挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列的概念及表示方法1.了解数列的概念和几种表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊的函数.2017浙江,22数列的概念、递推公式数学归纳法、不等式证明2016浙江,13数列的通项公式、递推公式、前n项和2015浙江文,17数列的通项公式、前n项和分析解读1.了解数列的表示方法(如通项公式),并会求已知递推数列的通项公式.几种基本类型的通项公式的求法在高考中常常出现.2.已知Sn求an,特别是讨论n=1和n2(nN*)的情形也是高考中重点考查的内
2、容.3.对本节知识的考查往往和其他知识相联系,预计2020年高考中会有所涉及.破考点【考点集训】考点数列的概念及表示方法1.(2018浙江名校协作体期初,4)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-3(nN*),则S6=() A.192B.189C.96D.93答案B2.(2018浙江萧山九中12月月考,13)在数列an中,a1=2,a2=10,且an+2=an+1-an(nN*),则a4=,数列an的前2 016项和为. 答案-2;0炼技法【方法集训】方法已知数列的递推公式求通项公式1.(2018浙江台州第一次调考,6)设数列an,bn满足an+bn=700,an+1=710an+
3、bn,nN*,若a6=400,则() A.a4a3B.b4b3D.a40,an2+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和.解析(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3.可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,可得an+1-an=2.又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=
4、1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=n3(2n+3).C组教师专用题组考点数列的概念及表示方法1.(2014课标,16,5分)数列an满足an+1=11-an,a8=2,则a1=.答案2.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,An,和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是.答案an=3n-23.(2016
5、课标全国,17,12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.解析(1)由题意得a2=,a3=.(5分)(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以an+1an=.故an是首项为1,公比为的等比数列,因此an=12n-1.(12分)思路分析(1)根据数列的递推公式,由a1可求出a2,由a2求出a3.(2)把递推公式因式分解得出an是等比数列,求出其通项公式.4.(2014大纲全国,17,10分)数列an满足a1=1,a2
6、=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.解析(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1.所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是k=1n(ak+1-ak)=k=1n(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.5.(2014湖南,16,12分)已知数列an的前n项和Sn=n2+n2,nN*.(
7、1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列bn的前2n项和.解析(1)当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n2-(n-1)2+(n-1)2=n.当n=1时,a1=1也适合上式,故数列an的通项公式为an=n(nN*).(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).记A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,则A=2(1-22n)1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前2n项和T
8、2n=A+B=22n+1+n-2.评析本题考查数列的前n项和与通项的关系,数列求和等知识,含有(-1)n的数列求和要注意运用分组求和的方法.6.(2014江西,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2-n2,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.解析(1)由Sn=3n2-n2,得a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-2.经验证,a1=1符合an=3n-2,所以数列an的通项公式为an=3n-2.(2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要an2=a1am,即(3n-2)2=1(3m-2),即m=
9、3n2-4n+2,而此时mN*,且mn,所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.7.(2014广东,19,14分)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列an的通项公式.解析(1)依题有S1=a1=2a2-3-4,S2=a1+a2=4a3-12-8,S3=a1+a2+a3=15,解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)Sn=2nan+1-3n2-4n,当n2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).-并整理得an+1=(2n-1)an+6n+12n(n2).由(
10、1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;当n=2时,a2=22+1=5,命题成立;假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.则当n=k+1时,ak+1=(2k-1)ak+6k+12k=(2k-1)(2k+1)+6k+12k=2k+3=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.综上,nN*,an=2n+1.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,10)已知数列an满足a1=2,an+1=12an+1an(nN*),设bn=an-1an+1,则b100=() A.3-198B.3-298C.3-299
11、D.3-2100答案C2.(2018浙江镇海中学阶段测试,8)已知数列an满足a1=,an+1=an2-an+1(nN*),则m=1a1+1a2+1a2 013的整数部分是() A.1B.2C.3D.4答案B3.(2018浙江宁波模拟,5)记Sn为数列an的前n项和.对“任意正整数n,均有an0”是“Sn为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共22分)4.(2019届浙江温州普通高中适应性测试,16)已知数列an满足an+1=an+kan-1(nN*,n2),且2a1=a2=-2a4=2,则an的最大
12、值为.答案25.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),13)已知数列an满足:a1=3,an+1=an2-2an+2,则a3=;an=.答案17;22n-1+16.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),14)有一个著名的猜想叫“3X+1猜想”,它是说:任给一个正整数,如果它是偶数,就将它减半;如果它是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.如初始正整数为5,按照上述变换规则,我们得到一个数列:5,16,8,4,2,1,.那么,当初始正整数为2时,按照上述规则进行变换(注:1可以多次出现),第8项为; 如果对正整数n(首项)按照上述规则进行变换(注:1可以
13、多次出现)后的第8项为1,则n的所有可能值的集合为.答案1;2,3,16,20,21,1287.(2018浙江温州二模(3月),14)若递增数列an满足:a1=a,a2=2-a,an+2=2an,则实数a的取值范围为,记数列an的前n项和为Sn,则S2n=.答案a0an+1an=n+1n,an=anan-1an-1an-2an-2an-3a2a1a1=nn-1n-1n-2n-2n-31=n.故数列an的通项公式为an=n.(2)证明:bn=n+,故不等式1b1+1b2+1bn+ln n等价于112+1+222+1+332+1+nn2+1+ln n.设Tn=112+1+222+1+332+1+nn2+1-ln n,则Tn+1=112+1+222+1+332+1+nn2+1+n+1(n+1)2+1-ln(n+1).所以Tn+1-Tn=n+1(n+1)2+1+ln n-ln(n+1)=n+1(n+1)2+1-ln1+1n.又当x0时,有不等式ln(1+x)x-x22,令x=,有ln1+1n-12n2,所以Tn+1-Tn=n+1(n+1)2+1-ln1+1nn+1(n+1)2+1-+12n2=-n2+2n-22n2(n+1)2+10.因此TnTn-1T1=11+1-ln 1=0,故不等式112+1+222+1+332+1+nn2+1+ln n成立,所以1b1+1b2+1bn+ln n.