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1、6.2等差数列挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等差数列的有关概念及运算1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式.3.掌握等差数列的前n项和公式.4.了解等差数列与一次函数之间的关系.2016浙江,6等差数列的概念三角形面积2015浙江,3等差数列的通项公式、前n项和等比数列2014浙江文,19等差数列的前n项和等差数列的性质及应用能利用等差数列的性质解决有关问题.2017浙江,6等差数列的前n项和充分条件与必要条件分析解读1.等差数列知识属于常考内容.2.考查等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式等知识.3.灵活运用通项公式、前n项和公式处理最值
2、问题、存在性问题是高考的热点.4.以数列为背景,考查学生归纳、类比的能力.5.预计2020年高考试题中,等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的考查必不可少.复习时要足够重视.破考点【考点集训】考点一等差数列的有关概念及运算1.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,13)设Sn为等差数列an的前n项和,满足S2=S6,S55-S44=2,则a1=,公差d=.答案-14;42.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考,13)九章算术是我国古代著名的数学著作,其中有一道数列问题:“今有良马与驽马发长安,至齐,齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里,良马先
3、至齐,复还迎驽马,问几日相逢及各行几何?”请研究本题,并给出下列结果:两马同时出发后第9天,良马日行里,从长安出发后第天两马第一次相遇.答案297;16考点二等差数列的性质及应用1.(2018浙江嵊州高三期末质检,7)设等差数列an的前n项的和为Sn,若a60,且a7|a6|,则() A.S11+S120C.S11S120答案C2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,13)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a10,S8=S11,则a10=;使Sn取到最大值的n为.答案0;9或10炼技法【方法集训】方法1等差数列中“基本量法”解题的方法1.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),5)已知公差
4、不为0的等差数列an的首项a1=3,若a2,a3,a6成等比数列,则an前n项和的最大值为() A.3B. -1C.-5D.-3答案A2.(2018浙江杭州地区重点中学期中,14)设等差数列an的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,且S5S6=-15,则d的取值范围是;若a1=-7,则d的值为.答案(-,-2222,+);3或3310方法2等差数列的判定方法1.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,4)已知数列an是等差数列,则数列bn一定为等差数列的是()A.bn=|an|B.bn=1anC.bn=-anD.bn=an2答案C2.(2017浙江金华十校调研,6)若等差数列an的公差为
5、d,前n项和为Sn,记bn=Snn,则()A.数列bn是等差数列,且公差为dB.数列bn是等差数列,且公差为2dC.数列an+bn是等差数列,且公差为dD.数列an-bn是等差数列,且公差为答案D过专题【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一等差数列的有关概念及运算1.(2016浙江,6,5分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则() A.Sn是等差数列B.Sn2是等差数列C.dn是等
6、差数列D.dn2是等差数列答案A2.(2015浙江,3,5分)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0答案B3.(2014浙江文,19,14分)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.解析(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(nN*).(2)由
7、(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,kN*知2m+k-1k+11,故2m+k-1=13,k+1=5,所以m=5,k=4.评析本题主要考查等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力.考点二等差数列的性质及应用(2017浙江,6,4分)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案CB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一等差数列的有关概念及运算1.(2018课标全国理,4,5分)记
8、Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=() A.-12B.-10C.10D.12答案B2.(2017课标全国理,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8答案C3.(2017课标全国理,9,5分)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案A4.(2016课标全国,3,5分)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97答案C5.(2018北京理,9,5分)设an
9、是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为.答案an=6n-36.(2017课标全国理,15,5分)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则k=1n1Sk=.答案2nn+17.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a22=-3,S5=10,则a9的值是.答案208.(2016北京,12,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=.答案69.(2018北京文,15,13分)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求an的通项公式;(2)求ea1+ea2+ean.解析(
10、1)设an的公差为d.因为a2+a3=5ln 2,所以2a1+3d=5ln 2.又a1=ln 2,所以d=ln 2.所以an=a1+(n-1)d=nln 2.(2)因为ea1=eln 2=2,eanean-1=ean-an-1=eln 2=2,所以ean是首项为2,公比为2的等比数列.所以ea1+ea2+ean=21-2n1-2=2(2n-1).10.(2016山东,18,12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn=(an+1)n+1(bn+2)n,求数列cn的前n项和Tn.解析(1)由题意知,当n2时,a
11、n=Sn-Sn-1=6n+5.当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5.设数列bn的公差为d.由a1=b1+b2,a2=b2+b3,即11=2b1+d,17=2b1+3d,可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)2n+1.又Tn=c1+c2+cn,得Tn=3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+(n+1)2n+2,两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=34+4(1-2n)1-2-(n+1)2n+2=-3n2n+2.所以Tn=3n2n+2.方法总结若某数列的通
12、项是等差数列与等比数列的通项的积或商,则该数列的前n项和可以采用错位相减法求解,注意相减后的项数容易出错.评析本题主要考查了等差数列及前n项和,属中档题.11.(2014大纲全国,18,12分)等差数列an的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且SnS4.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Tn.解析(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列an的公差d为整数.又SnS4,故a40,a50,于是10+3d0,10+4d0.解得-103d-.因此d=-3.故数列an的通项公式为an=13-3n.(6分)(2)bn=1(13-3n)(10-3n)=13
13、110-3n-113-3n.(8分)于是Tn=b1+b2+bn=1317-110+14-17+110-3n-113-3n=13110-3n-110=n10(10-3n).(12分)评析本题考查了等差数列的定义及其前n项和、裂项相消法求数列前n项和.第(1)问的解题关键在于分析已知条件“a2为整数”“SnS4”中隐含的条件;第(2)问,对通项公式bn进行裂项相消的过程中易漏了系数而导致错解.考点二等差数列的性质及应用1.(2015北京,6,5分)设an是等差数列.下列结论中正确的是()A.若a1+a20,则a2+a30B.若a1+a30,则a1+a20C.若0a1a1a3D.若a10答案C2.(
14、2015重庆,2,5分)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案B3.(2015广东,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案104.(2014北京,12,5分)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,则当n=时,an的前n项和最大.答案85.(2014江苏,20,16分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称an是“H数列”.(1)若数列an的前n项和Sn=2n(nN*),证明:an是“H数列”;(2)设an是等差数列,其首项a1=1,公差d0
15、.若an是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*)成立.解析(1)证明:由已知得,当n1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H数列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为an是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d0,所以m-20,故m=1.从而d=-1.当d=-1时,an=2-n,Sn=n(3-n)2是小于2的整数,nN*.于是对任意的正整数n,总
16、存在正整数m=2-Sn=2-n(3-n)2,使得Sn=2-m=am,所以an是“H数列”.因此d的值为-1.(3)证明:设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(nN*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(nN*),下证bn是“H数列”.设bn的前n项和为Tn,则Tn=n(n+1)2a1(nN*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n(n+1)2,使得Tn=bm.所以bn是“H数列”.同理可证cn也是“H数列”.所以,对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*).评析本题主要
17、考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能力.C组教师专用题组考点等差数列的有关概念及运算1.(2014福建,3,5分)等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于() A.8B.10C.12D.14答案C2.(2014辽宁,8,5分)设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列,则()A.d0C.a1d0答案C3.(2015安徽,13,5分)已知数列an中,a1=1,an=an-1+ (n2),则数列an的前9项和等于.答案274.(2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;
18、(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析本题考查等差、等比数列.(1)设an的公比为q,由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.方法总结等差、等比数列的常用公式:(1)等差数列:递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明.通项公式:an=a1+(n-1)d.前n项和公式:
19、Sn=(a1+an)n2=na1+n(n-1)2d.(2)等比数列:递推关系式:an+1an=q(q0),常用于等比数列的证明.通项公式:an=a1qn-1.前n项和公式:Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q(q1).(3)在证明a,b,c成等差、等比数列时,还可以利用等差中项:a+c2=b或等比中项:ac=b2来证明.5.(2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+b10的值.解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知得a1+d=4,(a1+3d)+(a1+6d)=15,解得
20、a1=3,d=1.所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=2(1-210)1-2+(1+10)102=(211-2)+55=211+53=2 101.评析本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届浙江名校协作体高三联考,9)已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,若存在正整数n0,对任意正整数m,使得Sn0Sn0+m0恒成立,则下列结
21、论不一定成立的是() A.a1d0D.an0+1an0+20答案C2.(2018浙江温州高三质量检查,5)已知数列an满足5an+1=255an,且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)=() A.-3B.3C.-D.答案A3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,5)已知等差数列an,Sn表示前n项的和,a5+a110,a6+a90,则满足Sn0的正整数n的最大值是()A.12B.13C.14D.15答案C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共16分)4.(2019届镇海中学期中考试,16)已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,现给出以下结论:a10
22、=0;S10最小;S7=S12;S19=0.其中正确的是(填序号).答案5.(2018浙江诸暨高三上学期期末,11)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3=5,S3=12,则公差d=;通项公式an=.答案1;n+26.(2018浙江名校协作体,12)已知an是公差为-2的等差数列,Sn为其前n项和,若a2+1,a5+1,a7+1成等比数列,则a1=,当n=时,Sn有最大值.答案19;10三、解答题(共45分)7.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,20)设正项数列an的前n项和为Sn,a1=2,且1+Sn+12,3,1-Sn2成等差数列(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)
23、证明:n+1-10,所以Sn0,所以Sn=2n.(4分)当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1,当n=1时,a1=2也满足上式,所以an=2n-2n-1(nN*).(6分)(2)由(1)知Sn=2n,所以1Sn=12n=1n+n1n+1+n=n+1-n.(8分)所以1S1+1S2+1Snn+1-1.(10分)又因为1Sn=1n+n1n+n-1=n-n-1(n2).(12分)当n2时,1S1+1S2+1Sn1S1+n-1=n-.(14分)当n=1时上式也成立,所以n+1-10,即M1M2,当n2时,Mn+1-MnM3M4,(Mn)max=M2=1013+14-1=296,S2n-Sn的最
24、大值为S4-S2=296.9.(2018浙江金丽衢十二校第三次联考(5月),22)有一列数a0,a1,a2,a3,对任意的m,nN,mn,满足2am+2an-2n=am+n+am-n,且已知a1=2.(1)求a0,a2,a3 ;(2)证明:对一切nN*,数列an+1-an为等差数列;(3)若对一切nN*,1a1+1a2+1an恒成立,求的最小值.解析(1)令m=n=0,得a0=0,令m=n=1,得a2=6,令m=2,n=1,得a3=12.(2)证明:令n=1,得2am+4-2=am+1+am-1,即(am+1-am)=(am-am-1)+2.所以数列an+1-an是公差为2的等差数列.(3)因为an+1-an=(a1-a0)+n2=2(n+1),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a1-a0)+a0=2n+2(n-1)+2+0=n(n+1).所以1a1+1a2+1an=112+123+1n(n+1)=1-1n+1,要使1-1n+1恒成立,的最小值为1.