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1、 专题6.14：数列中不等关系问题的研究与拓展 【探究拓展】探究1：（1）已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为 54（2）数列满足，且 =2，则的最小值为_. 解：可得，故由=2，可化为，则可转化为单元函数求最值问题【解】由递推关系得，累乘得，则，得，所以，当且仅当时，等号成立变式1：等比数列中，公比，定义，则中最大项是_变式2：设首项不为零的等差数列的前项和为，若不等式对任意正整数都成立，则实数的最大值为_ 解析：a10时，不等式恒成立，当a10时，将ana1(n1)d，Snna1代入上式，并化简得：2，max.探究2：（1）等比数列的公比，第17项的平方等于第24项，使得不等式恒成
2、立的正整数的取值范围是_（2）若，且，则实数的取值范围是_变式1：设数列的前项和为已知，.（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围变式2：已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，（）（1）若 = 0，求数列an的通项公式；（2）若对一切恒成立，求实数的取值范围拓展：（2014上海卷）已知数列满足（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为的等比数列，若，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差解：（1）由条件得且，解得所以的取值范围是3， 6 （2）由，且，得，所以 又，所以 当时，由得 成立 当时，即若，则由
3、得，所以 若，则由得，所以综上，的取值范围为 （3）设数列的公差为由，且，得即当时，当时，由得所以 所以，即，得 所以的最大值为，时，的公差为 【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、恒成立问题、分类讨论探究3：（1）等差数列与等比数列中，则 (大小关系)变式：已知公差不为零的正项等差数列an的前n项和为，正项等比数列bn的前n项的和为，若（用不等号连接）（2）设是数列的前n项和，对任意总有 求数列的通项公式； 试比较与的大小；当时，试比较与的大小 拓展1：已知等差数列的首项，公差，前n项和为，设m，n，pN*，且（1）求证：；（2）求证：；（3）若,求证：拓展2：首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.（2）求证：数列是等比数列；（2）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小；（3）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.（1）证:因为对任意正整数，总成立,令，得,则令，得 (1) , 从而 (2),(2)(1)得：,综上得,所以数列是等比数列（2）正整数成等差数列，则,所以,则 当时， 当时， 当时，（3）正整数成等比数列，则,则,所以， 当,即时， 当,即时， 当,即时，【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？