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1、 专题6.22：条件型等差（等比）数列问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.（1）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.（2）解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+
2、),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.（3）由（2）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）.探究2：已知数列的前项和为，且满足：， N*，（
3、1）求数列的通项公式；（2）若存在 N*，使得，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，是否成等差数列，并证明你的结论解：（1）由已知可得，两式相减可得 即又所以r=0时， 数列为：a，0，0，； 当时，由已知（）， 于是由可得， 成等比数列， ， 综上，数列的通项公式为 （2）对于任意的，且成等差数列，证明如下： 当r=0时，由（I）知， 对于任意的，且成等差数列， 当，时， 若存在，使得成等差数列， 则， 由（I）知，的公比，于是 对于任意的，且 成等差数列， 综上，对于任意的，且成等差数列探究3：设数列前项和为，.（1）求；（2）设，判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）当时，数
4、列前n项和为，求使的最小自然数n.解：（1），. （2）时， 即时， 又，要使数列是等比数列，则，故.所以时，数列是等比数列，时，数列不是等比数列. （3）由（2）可知时，数列是等比数列，故，. ，数列单调递增，又，. 使的最小自然数. 探究4：已知数列满足前项和为,.（1）若数列满足,试求数列前项和；（2）若数列满足,试判断是否为等比数列,并说明理由；（3）在（2）的条件下，若为等比数列，问是否存在,使得,若存在,求出所有的的值；若不存在，请说明理由.解：（）据题意得,所以成等差数列,故（）当时,数列成等比数列；当时,数列不为等比数列理由如下:因为,所以,故当时,数列是首项为1,公比为等比数列；当时,数列不成等比数列 （）当时, =() ，当n=1,2,左边右边，当n=3,左边=右边，下证n=3是方程惟一的解.设，则，且，在递增，且，仅存在惟一的使得成立.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？