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1、 专题6.26： 两边夹问题的研究与拓展 【探究拓展】探究1：数列中，对，则= 3 变式：已知数列中，. （1）证明：；（2）求数列的通项公式探究2：设无穷数列满足：，.记.（1）若，求证：=2，并求的值；（2）若是公差为1的等差数列，问是否为等差数列，证明你的结论【解】（1）因为，所以若，则矛盾，若，可得矛盾，所以于是，从而（2）是公差为1的等差数列，证明如下： 时，所以， ，即，由题设，又，所以，即是等差数列另证：由，可得，下面我们来证明恒成立，采用反证法思想.假设，则，由数列的单调性可得与题设矛盾，所以假设不成立，故，则，即是等差数列最简单的方法：（2）一方面：由，且，可得恒成立；另一方
2、面：是公差为1的等差数列，则,从而,变形可得,综上：，是等差数列变式：已知各项均为正整数的数列满足对于任意的，成立.设数列与数列是公差均为的等差数列（1）若,求证：数列为等差数列；（2）若，试探究数列是否为等差数列，若是，请给出证明；若不是，说明理由解：（1）当时，由题意得，故，又，所以，即数列为等差数列；（2）设数列与数列的首项分别为，记， 当时，数列为等差数列，公差为，下证：对任意的，假设存在正整数，使得，设正整数的最小值为，记为，则，又由得，所以,矛盾；假设存在正整数，使得，又易得，设正整数的最大值为，不妨记为，则，又由得，所以,矛盾；综上得，对任意的，即数列是等差数列探究3：已知函数的
3、导函数，且的值为整数，当时，的值为整数的个数有且只有1个，则= 4变式1：若实数满足,则的值为_变式:2：实数满足，则的最小值为_. 变式3：已知实数同时满足，则的值为_.解：令，由，可推得，则将，分别代入，可得式子，即为，化简得，即为，解之得，将的范围代入，可得，而，则，则此时，.在中，移项得（*）.要使得（*）式有解，则，则，所以，而，则，则可推得.所以的取值范围是.怎么思考：（1）类似于两边夹，通过夹逼原理将取值（或者范围）求出；（2）要求出x+y的取值范围，通常两种思路：要么构造出x+y整体的不等关系；要么单独求出x和y的取值范围，然后研究x+y的取值范围；探究4：设函数（，）。（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）若对任意，都有，求的取值范围；（3）若在上的最大值为，求的值。解：（1）在内, ，在在内, 为增函数，在内为减函数函数的最大值为，最小值为（2）对任意有，从而有又在内为减函数，在内为增函数,只需，则的取值范围是（3）由知，加得又将代入得【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？