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1、 专题6.6：数列中的数阵（数表）问题的研究与拓展【课本溯源】1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：47101316712172227101724313813223140491627384960（1）这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？（2） “正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？解：(1) 这个“正方形筛子”的每一行与每一列都是等差数列；(2) 因为第100行的第1个数是第1列的第100个数，而第1列的数组成以4为首项，3为公差的等差数列，通项公式为，故；第100行的第2个数是第2列的第100个数，而第2列的数组成以7
2、为首项，5为公差的等差数列，通项公式为，故. 所以，第100行组成以301为首项，为公差的等差数列，通项公式为，从而第100行第100个数为.【探究拓展】探究1：求数阵所暗示的规律（通项公式）观察：11+2+11+2+3+2+11+2+3+4+3+2+1(1) 第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？(2) 计算第行的值.【解答】(1) 第100行是199个数的和，这些数的和是；(2) 第行的值是.变式：（2004年春季高考北京，20）下表给出一个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）其中每行、每列都是等差数
3、列，表示位于第行第列的数(1) 写出的值；(2) 写出的计算公式；文史类：写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置.(3) 证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积.【解答】(1) .(2) 该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：.第二行是首项为7，公差为5的等差数列：第i行是首项为，公差为的等差数列，因此，.文史类：要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数，使得，所以.当时，得,所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列(3) 必要性：若在该等差数阵中，则存在正整使得，从而，即正整数可以分解成两个不是1的正整数
4、之积.充分性：若可以分解成两个不是1的正整数之积，由于是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数，使得，从而，可见在该等差数阵中.综上所述，正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积.探究2：求数阵中指定的某些项（2008年高考江苏，10）将全体正整数排成一个三角形数表：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 .【解答】通过列举、分析、归纳、猜想，前行共有个数，即共有个，因此第行第3个数是全体正整数中第+3个数，即.变式：将自然数排成如下的螺旋状：第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数
5、分别是 ， .【解答】由图可知，前个拐弯处的数依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，L，这是一个数列题目，要求找出它的第20项和第25项各是多少，因此要找出这个数列的规则，经观察，该数列的后一项减去一项，得一新数列1，2，2，3，3，4，4，5，5，L把数列的第一项添在数列的前面得2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，L观察数列，发现原数列的第项就等于数列的前项和,即，L,故第20个拐弯处的数=2+1+2+2+L+10+10=1+2（1+2+L+10）=111=2+1+2+2+12+12+13=170.方法二：设第个拐弯处的数为，显然a1=2，20=210，25=212+1，=
6、1+2(1+2+L+10)=11，=1+2(1+2+L+12)+13=170.【评注】方法一到方法二由具体到抽象，体现出思维不断优化的过程。解决数表问题，需细心研究其元素的排列的规律，即构成数列的元素，或数列的项是按照何种规则排列而成的，有时即使找到排列的规则，但如果不能对所发现的规律所蕴含的信息进行整理再加工，解题同样会误入歧途.探究3：求数阵中某指定项的位置全体正奇数排成下表：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29其构成规律是：第行恰有个连续奇数；从第2行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，则2005是第 行的第 个数.【解答】行共有个奇数，因此
7、，第行的最后一个数是.从而第行的第一个数是，令，解得，故2005是第45行的第个数，则，得.故2005是第 45 行的第 13 个数.探究4：求数阵中所有项或某些指定项的和个正数排成行列（如下表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列且公比都相等已知，则 【解答】设第一行数列的公差为，各列数列公比为，则有且所有数均为正数，解得，故从而有由、两式错位相减，得故应填变式1：如上右图，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,记其前n项和为Sn,则S19等于_.变式2：下图给出一个三角形数阵：已知每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的
8、数成等比数列，每一行的公比都相等. 记第行第列的数为（，）.(1) 求；(2) 试写出关于的表达式；(3) 记第行的和为，求数列的前项和的表达式.【解答】(1) 由题意知，为等差数列，因为，所以公差，.又各行成等比数列，公比都相等，所以每行的公比都是，所以.(2) 由(1)知，所以.(3) .设，则. 由-，得，所以，.变式3：下图是一个三角形数阵，已知每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列且每一行的公比都相等，记第行第列的数为.(1) 求.(2) 用、表示.(3) 设这个数阵共有行，求数阵中每行最右边的数的和.【解答】(1) 由已知第四行是首项为，公比为的等比数列，.(2)
9、由已知第行是首项为，公比为的等比数列，.(3) 由(2)每行最右边的数为. -得，.拓展1：已知整数数列an满足：a1=1，a2=2，2an-1an-1+an+12an+1(nN，n2).(1) 求数列an的通项公式；(2) 将数列an中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为bn，求b5+b100的值；(3) 令cn=2+ban+b2(b为大于等于的正整数)，问数列cn中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.【解答】(1) 因为数列an是整数列，所
10、以an是整数， 所以2an-1，an-1+an+1，2an+1都是整数，又2an-1an-1+an+12an+1(nN，n2)，所以2an=an-1+an+1， 即数列an是首项为1，公差d=a2-a1=1的等差数列，所以an=a1+(n-1)d=n.(2) 设每一个循环（4行）记为一组，由于每一个循环含有4行，故b100是第25个循环中第4行中各数之和.由循环分组规律知，每个循环共有10项，故第25个循环中的第4行内的4个数分别为数列an的第247项至第250项，又an=n，所以b100=247+248+249+250=994.又b5=a11=11，所以b5+b100=11+994=1005
11、.(3) 因为cn=2+ban+b2=2+bn+b2n-1， 设数列cn中，cn,cn+1,cn+2成等比数列，即c2 n+1=cncn+1，所以(2+nb+b+b2n)2=(2+nb+b+b2n-1)(2+nb+2b+b2n+1)，化简得b=2n+(n-2)b2n-1. (*) 当n=1时，b=1，等式(*)成立，而b3，故等式(*)不成立；当n=2时，b=4，等式(*)成立；当n3时，b=2n+(n-2)b2n-1(n-2)b2n-14b，这与b3矛盾，这时等式(*)不成立. 综上所述，当b4时，数列cn中不存在连续三项成等比数列；当b=4时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是
12、18，30，50. 拓展2：我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格第1列第2列第3列第列第1行1111第2行第3行第行（1）设第2行的数依次为，试用表示的值；（2） 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）能否找到的值，使得（2） 中的数列的前项 （） 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？