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1、 专题7.18：解析几何解题策略选择的研究与拓展【问题提出】1. 过原点作直线与椭圆交于两点，点是椭圆上一点，且直线斜率均存在，则 . 2. 过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于与，则四边形面积的最小值为 .【探究拓展】探究1：如图在平面直角坐标系中，的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点 设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值； 设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.解：由题意得 ，所以，又， 消去可得，解得或（舍去），则，所以椭圆的方程为（）设，则，因为三点共线，所以
2、， 所以，因为在椭圆上，所以，故为定值（）法一:直线的斜率为，直线的斜率为,则直线的方程为， =，所以直线过定点 法二：直线方程为则.,则直线方程为：，即，直线过定点.探究2：已知中心在原点的椭圆过点和点,（1）求椭圆的标准方程（2）是椭圆上的两个动点,若直线的斜率存在,且和为,求证：直线过定点. 解：（1）设椭圆方程：，椭圆过点和点，则，解得，所以椭圆的标准方程为（2）设直线的斜率分别为和(且) ,则直线的方程为,设由,消去得,由题意,则,同理可求得,法一:取得,求得直线方程为, 取得,求得直线方程为,求得以上两直线交点为.则 , .即点共线. 直线过定点.法二: .则直线方程为化简得,所以
3、直线过定点.探究3：如图，在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且. （1）求椭圆E的离心率；（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1），.，化简得，故椭圆E的离心率为.（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，从而，左焦点，椭圆E的方程为.设，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、共线，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.变式
4、1：已知椭圆G：(ab0)的离心率为，右焦点F(1,0)过点F作斜率为k（k0）的直线l，交椭圆G于A、B两点，M（2,0）是一个定点如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D两点（不同于A、B），记直线CD的斜率为（1）求椭圆G的方程；（2）在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由变式2：已知椭圆：的左、右顶点分别为，圆上有一动点，在轴上方，直线交椭圆于点，连结.（1）若，求的面积；（设点问题中，设哪个点更合适？一般情况下，设圆锥曲线上的点较为合适和合理）P D C O A B x y （2）设直线的斜率存在且分别为，若，求的取
5、值范围解：（1）设，PD COABx y则即 点在椭圆上，联立，消去，得， ，.代入椭圆方程，得的面积 （2）设，直线程为，代入椭圆方程，即，得，整理得 （注：消去，可得方程）此方程有一根为 ，设，则代入直线PA方程，得 则， ，. ，的取值范围为.更简单的做法：设点,由题可知,，所以,的取值范围为.变式3：如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别是. 点为直线上且不在轴上的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为和，O为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程. （2）设直线、的斜率分别为、. 证明：； 问直线上是否存在点，使得直线的斜率之和为0？若存在,求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在,说明理
6、由. 解：（1）因为椭圆过点 所以. 又 所以1. 故所求椭圆的标准方程为. （2）（i）证明：方法1：由于 、F 、PF的斜率分别为、k且点P不在x轴上，所以. 又直线的方程分别为 联立方程解得 所以. 由于点P在直线x+y=2上, 所以. 因此 即结论成立. 方法2:设则. 因为点P不在x轴上,所以. 又 所以. 因此结论成立. () 解:设. 联立直线与椭圆的方程得 化简得 因此 由于OA,OB的斜率存在, 所以因此. 因此 . 相似地,可以得到 . 若须有或. 当时,结合()的结论,可得,所以解得点P的坐标为(0,2); 当时,结合()的结论,解得或此时不满足舍去),此时直线CD的方程
7、为y=3(x-1)，联立方程x+y=2得. 因此. 综上所述,满足条件的点P的坐标分别为(0变式4：如图，椭圆经过点离心率,直线的方程为.（1）求椭圆的方程;（2）是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值；若不存在,说明理由.解：（1）由在椭圆上得, 依题设知,则 代入解得. 故椭圆的方程为. (2)方法一:由题意可设的斜率为, 则直线的方程为 代入椭圆方程并整理,得, 设,则有 在方程中令得,的坐标为. 从而. 注意到共线,则有,即有. 所以 代入得, 又,所以.故存在常数符合题意. 方法二:设,则直线的方程为:, 令,求得, 从而直线的斜率为, 联立 ,得, 则直线的斜率为:,直线的斜率为:, 所以, 故存在常数符合题意. 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？