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1、第13讲 集合及其运算1集合的有关概念在小学和初中，我们已经解除过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），1.1 集合的概念 那么集合的定义是什么？看下面的例子：（1）120以内所有的质数； （2）高一30班所有学生；（3）我们从20012010年间发射的所有的人造卫星； （4）所有正方形；（5）方程的所有实数根； （6）四大洋一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集 例如：五岳“泰山、衡山、华山、恒山、嵩山”能组成一个集合；“120以内所有的素数”也能组成一个集合； “四大洋”可以组成一个集合.以
2、上我们是用自然语言描述一个集合，我们称此方法为“描述法” 以上三个集合我们还可以表示成： 、像这样把集合一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法为简便起见，集合通常用大写字母表示，如集合、等等，例如集合，同时，我们用小写拉丁字母、表示集合中的元素【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）A某班个子较高的同学 B相当大的实数C我国著名数学家 D倒数等于它本身的数练习1下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A所有的正数 B等于2的数 C接近于0的数 D不等于0的偶数【例2】用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数集；（2）自然数中不大于10的质数集；（3）方程的解1
3、.2元素与集合的关系一般地，如果 是集合的元素，就说属于，记作；如果 不是集合的元素，就说不属于，记作【例3】用符号“”或“”填空（1）设为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_，美国_，印度_，英国_ （2）若的解集记为，则_；（3）若的解集记为，则_；（4）所有满足的整数组成的集合记为，则_，_1.3 集合中元素的特性对于任何一个元素和任意一个集合，元素要么在集合中，要么不在中，只有这两种关系这是集合元素的第一个特性： 一个给定的集合中的元素是互不相同的，不能重复出现例如，若，则，这是集合元素的第二个特性： 集合中的元素没有一定的顺序例如集合，集合也可以写成，等等这体现了集合元素的第三个特性：
4、 1.4 特定集合及其记法非负整数集（也叫自然数集），记作N，即 ；正整数集，记作或，即 ； 整数集，记作，即；有理数集，记作； 实数集，记作1.5 集合的表示1.5.1列举法把集合中所有的元素一个一个的列举出来，写在大括号表示集合例如，“120以内所有的素数”组成的集合，可以表示成 50100内的所有整数组成的集合 所有正奇数组成的集合 注意: 与不同， 表示一个元素， 表示一个集合，该集合只有一个元素1.5.2 描述法【例4】用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程的所有根组成的集合；（2）大于10小于20的所有整数组成的集合1.5.3 图示法数轴表示，例如，不等式的解集为，可以表示为坐标
5、平面表示法（用点和图形来表示） 用韦恩图（Venn图）表示，例如集合“120以内所有的素数”，如上图【例5】若，求的值练习1：已知集合，若，求的值练习2：已知集合包含三个元素，若，求的值2. 集合间的基本关系2.1 子集一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，这时称集合A是集合B的子集记作，或，读作：A包含于B，或B包含A用符号语言表示为：任意，则 例如：，用Venn图（韦恩图）表示为图（1）和图（2）： 图（1） 图（2）当集合A不包含于集合B，或集合B不包含A时，则记作或 例如：有几个方面要注意的（1）有
6、两种可能：是的一部分；与是同一个集合（2）“”与“”的区别：“”用于元素与集合之间；“”用于集合与集合之间（3）子集的传递性：，且，那么（4）集合相等，如果集合A与集合B中的元素是一样的，那么对于集合A，B，若有，则有，如上面图（2）2.2 真子集对于两个集合A，B，如果，但，我们就说集合A是集合B的真子集，记作(或)，读作A真包含于B，或B真包含A2.3 空集把不含任何元素的集合叫做空集，记作规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合A，均有：注：空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合A，均有：2.4 有限集合元素的个数集合的所有子集为：、，共有2个子集；集合的所有子集为：、，共有4
7、个子集；集合的所有子集为：、，共8个子集；结论：含有个元素的集合的所有子集个数是，所有真子集的个数，非空真子集的个数为【例1】 写出集合及的子集练习1：已知集合，写出所有满足条件的集合A【例2】设集合,则=（ ）A1 B C2 D 练习2： 已知集合，且A与B相等，求实数，的值【例3】 已知集合，若，求实数的值练习3：已知集合，若，求实数m的值【例4】设集合,若,求实数的取值范围练习4若，若，求实数m的取值范围1若集合中元素是的三边长，则一定不是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形2定义集合运算， ，设，则集合的所有元素之和是（）A0 B 2 C3 D63集合A，C，则C
8、中元素的个数是（ ）A9 B 8 C3 D44满足的集合M的个数是（）A4 B 6 C7 D85已知全集U=R，则正确表示集合M=1，0，1和N=x关系的韦恩（Venn）图是（ ）A B C D6设集合，若，则实数的值为7若集合至多有一个元素，则的取值范围是8. 集合，若，求实数的取值范围3.集合的基本运算3.1交集与并集由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，即 用Venn图表示为图（1） 图（1） 图（2）由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作，即 用Venn图表示为图（2）性质:【例1】 设集合，求，【例2】设集合，求，练习1设
9、集合，求，3.2全集与补集如果一个集合含有我们研究的全部的各个集合的全部元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U对于集合A而言,由全集U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U的补集，简称集合A的补集，记作，即 用Venn图（韦恩图）表示为：【例3】设，求，【例4】设，求【例5】 设，求实数的值【例6 】设集合，求，A 组1设集合，（ ）AB CD2已知全集，集合，则集合（ ）A B C D3设集合，则A= 4若，则 5已知集合，且，则实数的取值范围是_ B 组1设全集,则( )A B C D 2设全集,则为( )A B C D 3若集合,则A=_4定义集合运算:,设集合,则集合
10、的所有元素之和为( )A0 B 6 C12 D185若A、B、C为三个集合，则一定有（）A B C D 6已知全集,集合,则集合中元素的个数为 7若,则 8已知集合,且,则实数的取值范围是 9 已知集合，集合，若，求实数a的取值集合10 已知集合，集合，若满足 ，求实数a的值11 已知方程（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式；（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值12 已知集合，若满足，求实数a的取值范围第13讲 集合及其运算练习答案2. 集合间的基本关系1D 2D 3B 4C 5B6 78解：因为，则有或，所以或3集合的基本运算答案A组1B 2D 3 解:得A= B= AB= 4（0，3）因为所以 5 a1 解:因为AB=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，则有a1B组1B 2A 3D 4D解析: ,故的所有元素之和为185A提示：由知， 62 7 8 ,90-1,1； 10 ； 11 (1) a2-4b=0 (2) a=-4, b=3 12