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1、第四讲 不 等 式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识一、一元二次不等式及其解法 1形如的不等式称为关于的一元二次不等式【例1】解不等式分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 - 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组解：原不等式可以化为：，于是：或所以，原不等式的解是说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法【例2】解下列不等式：(1) (2) 分析：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数解：
2、(1) 原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是(2) 原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是2一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)以二次函数为例：(1) 作出图象；(2) 根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时，就是说对应的一元二次方程的两实根是(3) 当时，对应图像位于轴的上方就是说的解是当时，对应图像位于轴的下方就是说的解是一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断)
3、 那么(图1)： 如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式来判断) 那么(图2)： 无解如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) 那么(图3)： 取一切实数 无解如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解【例3】解下列不等式：(1) (2) (3) 解：(1) 不等式可化为 不
4、等式的解是 (2) 不等式可化为 不等式的解是 (3) 不等式可化为【例4】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围解：显然不合题意，于是：【例5】已知关于的不等式的解为，求的值分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上根据一元二次方程根与系数的关系可以求解解：由题意得：说明：本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：，且注意，从而二、简单分式不等式的解法【例6】解下列不等式：(1) (2) 分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式
5、不等式求解 (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数解：(1) 解法(一) 原不等式可化为： 解法(二) 原不等式可化为：(2) 原不等式可化为：【例7】解不等式解：原不等式可化为：说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0 (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：三、含有字母系数的一元二次不等式一元一次不等式最终可以化为的形式(1) 当时，不等式的解为：；(2) 当时，不等式的解为：；(3) 当时，不等式化为：； 若，则不等式的解是全体实数； 若，则不等式无解【例8】求关于的不等式的解解：原不等式可化为：(1) 当时，不等式的解为；(2) 当时， 时，不等式的
6、解为； 时，不等式的解为； 时，不等式的解为全体实数(3) 当时，不等式无解综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解【例9】已知关于的不等式的解为，求实数的值分析：将不等式整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令解：原不等式可化为：所以依题意：练 习 A 组1解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 2解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 3解下列不等式：(1) (2) 4已知不等式的解是，求的值5解关于的不等式6已知关于的不等式的解是，求的值7已知不等式的解是，求不等式的解 B 组1已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围2若不等式的解是，求的值3解关于的不等式4取何值时，代数式的值不小于0？5已知不等式的解是，其中，求不等式的解第四讲 不等式答案A 组123(1) 无解 (2) 全体实数45(1)当时，；(2)当时，；(3) 当时，取全体实数67B 组123(1) 时，；(2) 时，无解；(3) 时，45