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1、问题4 函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.二、经验分享(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数(3) 已知函数零点情况求参数
2、的步骤判断函数的单调性；利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组),即得参数的取值范围(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围(5)“af(x)有解”型问题,可以通过求函数yf(x)的值域解决三、知识拓展1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号 2三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点四、题型分析(一) 函数与方程
3、关系的应用函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和
4、历年高考的重点.【例1】已知函数（）有四个不同的零点,则实数的取值范围是 【分析】把函数（）有四个不同的零点转化为方程有三个不同的根,再利用函数图象求解【解析】因为是函数的零点,则函数有四个不同的零点,等价于方程有三个不同的根,即方程有三个不同的根记函数由题意y=与有三个不同的交点,由图知,所以实数的取值范围是是、【点评】零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数问题,可以转化为函数和图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程根的个数【小试牛刀】【2018届2江苏徐州丰县高三上学期调考】设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范
5、围是 【答案】【解析】由题设及函数的解析式可知，所以由题意问题转化为“存在，使得有解”，即在有解，令，则，当时，函数是增函数；所以，当，即.所以，故应填答案. (二) 函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数yf(x),当y0时,就转化为不等式f(x)0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.【例2】已知函数, ,若对任意的,都有成立,则实数的取值范围为 .【分析】
6、根据题中条件：对任意的,都有成立,将问题转化为.再由题中所给两函数的特征：函数是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值；而另一个函数中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值,即可得到不等式,则可求出的取值范围.【解析】对任意的,都有成立,即.观察的图象可知,当时,函数；因为,所以所以,解得或,故答案为或【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式： 对是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一
7、定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.【小试牛刀】【2018届江苏省南京市高三12月联考】若不等式对任意的恒成立，则实数x的取值集合为_【答案】【解析】画图可知，函数和函数连续在轴右边有相同的零点，令，得，代入中，得，或，注意到，所以实数的取值集合为,故填.(三) 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中
8、数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.【例3】已知函数,其中m,a均为实数(1)求的极值；(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值；(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得成立,求的取值范围【分析】(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化,由（1）可确定在上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数在上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为,整理为,由此函数在区间上为
9、减函数,则在（3,4）上恒成立,要求的取值范围采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在上的最大值；（3）由于的任意性,我们可先求出在上的值域,题设“在区间上总存在,使得成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为（）,其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围.【解析】（1）,令,得x = 1 列表如下：x（-,1）1（1,+）+0-g(x)极大值g(1) = 1,y =的极大值为1,无极小值 （2）当时, ,在恒成立,在上为增函数 设, 0在恒成立,在上为增函数 设,则等价于,即 设,则u(x)在为减函数在（3,4）上恒成立 恒成立 设,=,x3,4,，则与的图象有两个
10、交点，联立方程组，整理得，由，解得或，所以实数的取值范围是.8【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】已知函数.若函数有个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】令当时有两个零点，需 当时有三个零点， 所以函数有5个零点，舍；当时，由于所以，且，所以 综上实数的取值范围是9【江苏省如皋市2017-2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】若，则在上递增，有最小值，不合题意， ，要使在的最大值为，如果，即，则，得矛盾，不合题意；如果，则， ，若有四个零点，则与有四个交点，只有开口向上，即，当与有
11、一个交点时，方程有一个根， 得，此时函数有三个不同的零点，要使函数有四个不同的零点， 与有两个交点，则抛物线的开口要比的开口大，可得， ，即实数的取值范围为，故答案为.10【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】设函数是偶函数，当x0时， =，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】作图，由图可得实数m的取值范围是 11【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】若函数，则函数在上不同的零点个数为_【答案】3【解析】因为， 可转化为： ，函数与以及，函数与交点的个数；作出函数图象如图:由函数图象可知零点个数为3个.12【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数，
12、若直线与交于三个不同的点， ， （其中），则的取值范围是_【答案】【解析】作出函数，的图象如图：设直线y=ax与y=lnx相切于（x0，lnx0），则，曲线y=lnx在切点处的切线方程为ylnx0=（xx0），把原点（0，0）代入可得：lnx0=1，得x0=e要使直线y=ax与y=f（x）交于三个不同的点，则n（1，e），联立，解得x=m（,），（2， ），的取值范围是（1， ）故答案为：（1， ）13【江苏省徐州市第三中学20172018学年度高三第一学期月考】已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围为_【答案】 【解析】由得：当 时， ; 当 时， ;因为当 时， ，当 时，
13、 ，当 时， ，因此当 时， ，不合题意；当 时， ；当 时， ，不合题意；当 时， ，当 时， ，不合题意；因此的取值范围为 14【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当1x3时， 若函数恰有10个不同零点，则实数m的取值范围为_.【答案】 【解析】根据题意，得到的图象如下：由图可知， 是偶函数，又恰有10个不同零点，即与的图象有10个交点，根据偶函数的特点，则在的图象中，有5个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限情况.红色直线：过，则；蓝色直线：与区间处的曲线相切，所以只有一个解，解得，15【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟
14、】已知，.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.【解析】（1）当时，则.又因为，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）因为所以，且.因为，所以.当时，即，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.当时，所以满足条件.当时，即时，由，得，当时，则在上单调递减，所以时，这与时，恒成立矛盾.所以不满足条件.综上，的取值范围为.（3）当时，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，所以不满足条件.当时，所以函数的定义域为，由，得，列表如下：极大值极小值由于在是单调减函数，此时极大值大于极
15、小值，不合题意，所以不满足条件.当时，由，得.列表如下：极小值此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.当时，函数的定义域为，且，.列表如下：极大值极小值所以存在极大值和极小值，此时因为，所以，所以，即，所以满足条件.综上，所以的取值范围为.16【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考】已知函数，函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；讨论函数的单调性；当时，证明：不等式成立其中，【解析】（1）由题意，求得函数的导数，则，解得；，当时，的解集为，的解集为，即的增区间为，减区间为；当时，的解集为，的解集为，即的增区间为，减区间为；当时，在上恒成立，即在上单调递减；当时，的解集
16、为，的解集为，即的增区间为，减区间为；设，则，在上单调递减，又，在上恒成立，即，则17【江苏省如皋市2018-2019学年高三年级第一学期期末】已知函数，其中（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）设函数求函数的单调区间；若不等式对任意的实数恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）因为函数，定义域为，所以，所以函数图象在处的切线方程为，即依题意，解得所以实数a的值为1（2）令，则（1） 若，故函数在上单调增 若，记若，即，则，函数在上单调增若，即，令，得，当时，在和上单调增；当时，在上单调减 若，令，得（负舍）当时，在上单调增；当时，在上单调减 综上所述，当时，函数的单调增
17、区间为，减区间为；当时，函数的单调增区间为，无减区间；当时，函数的单调增区间为和，减区间为 （2）由（1）可知，当时，函数在上单调增，故，所以符合题意；当时，函数在上单调减，在上单调增，故存在，所以不符题意；当时，在上单调增，在上单调减下面证明：存在，首先证明：要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明：当时，对任意的都成立令，则，故在上单调递减，所以，即所以当时，对任意的都成立又当时，与题意矛盾，故不符题意综上所述，实数a的取值范围是18【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港)2019届高三年级第一次质量检测】已知函数（1）若，求在处的切线方程；（2）若对于任意的正数，恒成立，求实数的
18、值；（3）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围【解析】（1）因为，所以当时，则，当时，所以在处的切线方程为；（2）因为对于任意的正数，恒成立，所以当时，即时，；当时，即时，恒成立，所以；当时，即时，恒成立，所以，综上可知，对于任意的正数，恒成立，（3）因为函数存在两个极值点，所以存在两个不相等的零点设，则当时，所以单调递增，至多一个零点当时，因为时，单调递减，时，单调递增，所以时，因为存在两个不相等的零点，所以，解得因为，所以因为，所以在上存在一个零点因为，所以又因为，设，则，因为，所以单调递减，所以，所以，所以在上存在一个零点综上可知：19【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知函数
19、f(x) = ax(a 0).(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x 0，都有 f(x) 0 成立；(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证： ln a.【解析】（1）当a1时，f（x）exx2x，则f（x）exx1，f（x）ex10，（x0），f（x）exx1单调递增，f（x）f（0）0，f（x）单调递增，f（x）f（0）10，故对于任意x0，都有f（x）0成立；（2）函数yf（x）恰好在xx1和xx2两处取得极值x1，x2是方程f（x）0的两个实数根，不妨设x1x2，f（x）exaxa，f（x）exa，当a0时，f（x）0恒成立，
20、f（x）单调递增，f（x）0至多有一个实数解，不符合题意，当a0时，f（x）0的解集为（，lna），f（x）0的解集为（lna，+），f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，f（x）minf（lna）alna，由题意，应有f（lna）alna0，解得a1，此时f（1）0，存在x1（1，lna）使得f（x1）0，易知当时，f(x).存在x2（lna，）使得f（x2）0，a1满足题意，f（x1）f（x2）0，aa0，a，f（）a（），设t0，et，设g（t）（2tet）et+1，g（t）2（t+1et）et，由（1）可知，g（t）2（t+1et）et0恒成立，g（t）单调递减
21、，g（t）g（0）0， 即f（）0，lna20【江苏省泰州姜堰中学20182019学年第一学期高三数学期中】已知函数若，试证明：当时，；若对任意，均有两个极值点，试求b应满足的条件；当时，证明：【解析】证明：，令，解得可得：时，函数取得极小值即最小值，函数在当时单调递增，当时，设，则，故在递减，在递增，故至多有2个零点；当时，且，又，由可知，是R上的连续函数，在，上各有1个零点，此时，为函数的2个不同的极值点，故符合题意；当时，取，则在递减，在递增，故，故时，故函数递增，没有极值点，不合题意，综上，当时，对任意，均有2个极值点；由知，为的两个实数根，在递减，下面先证，只需证明，得，设，则，故在递减，又，时，在递减，问题转化为只需证明，即证明，设函数，则，设，则，在递增，即，在递增，当时，则，