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1、专题跟踪检测（十四） 圆锥曲线的综合问题1(2018武汉调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程解：设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，则A，B处的切线斜率的乘积为，点N在以AB为直径的圆上，ANBN，1，p2.(2)易得直线AN：yy1(xx1)，直线BN：yy2(xx2)，联
2、立结合式，解得即N(pk，1)所以|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，则SABN|AB|d2，当k0时，取等号，ABN的面积的最小值为4，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.2(2019届高三河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求POQ的面积S是否为定值，并说明理由解：(1)证明：k1，k2存在，x1x20，mn0，y1y20，k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0，
3、又由P(x1，y1)在椭圆上，得y1，|x1|，|y1|，SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，满足0.SPOQ|PQ|b|2|b|1.POQ的面积S为定值3.(2018长春质检)如图，在矩形ABCD中，|AB|4，|AD|2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足，直线AQ与BP的交点在椭圆E：1(ab0)上(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右
4、顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值解：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，.kAGkAQ，kBGkBP，从而有，整理得y21，即椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0，从而梯形ORMN的面积S(2x0)y0，令t2x0，则2t0，u4t3t4单调递增，当t(3,4)时，u0)，直线xmy3与E交于A，B两点，且6，其中O为坐标原点(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C的坐标为(3,0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：2m2为定值解：(1)
5、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x，整理得y22pmy6p0，则y1y22pm，y1y26p，x1x29，由x1x2y1y296p6，解得p，所以y2x.(2)证明：由题意得k1，k2，所以m，m，所以2m2222m22m212m362m212m36.由(1)可知：y1y22pmm，y1y26p3，所以2m212m3624，所以2m2为定值5(2018惠州调研)已知C为圆(x1)2y28的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足0，2.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2y21相切，与(1)中所求点
6、Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且，求k的取值范围解：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|QC|QP|QC|QA|2|CA|2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a，c1，b1，故点Q的轨迹方程是y21.(2)设直线l：ykxt，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2y21相切1t2k21.联立(12k2)x24ktx2t220，则16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0，x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kt(x1x2)t2ktt2k21，所以k2|k|，所以k或k.
7、故k的取值范围是.6.如图所示，设椭圆M：1(ab0)的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点P，且APOP.(1)求椭圆M的方程；(2)若APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求APQ面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k21，求证：直线DE过定点解：(1)由APOP，可知kAPkOP1.又点A的坐标为(a,0)，所以1，解得a1.又因为椭圆M过点P，所以1，解得b2，所以椭圆M的方程为x21.(2)由题意易求直线AP的方程为，即xy10.因为点Q在椭圆M上，故可设Q，又|AP|，所以SAPQ cos1 .当2k(kZ)，即2k(kZ)时，SAPQ取得最
8、大值.(3)证明：法一：由题意易得，直线AD的方程为yk1(x1)，代入x23y21，消去y，得(3k1)x26kx3k10.设D(xD，yD)，则(1)xD，即xD，yDk1.设E(xE，yE)，同理可得xE，yE.又k1k21且k1k2，可得k2且k11，所以xE，yE，所以kDE，故直线DE的方程为y.令y0，可得x2.故直线DE过定点(2,0)法二：设D(xD，yD)，E(xE，yE)若直线DE垂直于y轴，则xExD，yEyD，此时k1k2与题设矛盾，若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为xtys，将其代入x23y21，消去x，得(t23)y22tsys210，则yDyE，yDyE.
9、又k1k21，可得(t21)yDyEt(s1)(yDyE)(s1)20，所以(t21)t(s1)(s1)20，可得s2或s1.又DE不过点A，即s1，所以s2.所以DE的方程为xty2.故直线DE过定点(2,0)7(2018南昌模拟)如图，已知直线l：ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：y21分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1. (1)求kk1的值；(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由解：(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线yx1对称的点为P0(x0，y0)，直线l与直线l1的交
10、点为(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，k，k1，由1，得yy0xx02，由1，得yy0x0x，由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，xM，yM.同理可得xN，yN.kMN，直线MN：yyMkMN(xxM)，即y，即yxx.当k变化时，直线MN过定点.8(2019届高三湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x28y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A，B运动时
11、，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，抛物线的焦点为(0,2)b2.由，a2c2b2，得a4，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)设直线AB的方程为yxt，代入1，得x2txt2120，由0，解得4t4，x1x2t，x1x2t212，|x1x2|.四边形APBQ的面积S6|x1x2|3.当t0时，S取得最大值，且Smax12.若APQBPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，直线PA的方程为y3k(x2)，由消去y，得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480，x12，将k换成k可得x22，x1x2，x1x2，kAB，直线AB的斜率为定值.