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1、高考新动向数学文化面面观（六） 函数与导数中的数学文化,函数与导数是高考中的最重要的内容,其中蕴含的数学文化方面的题目很多,例如映射与函数、函数与方程思想、数形结合思想、函数模型的应用等.,1.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字09和字母AF共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:,例如,用十六进制表示:E+D=1B,则AB= ( ) A.6E B.72 C.5F D.B0,【解析】选A.由表可得1011=110,11016,商是6余数是14.故AB=6E.,2.(2017北京高考)根据有关资料,围棋状态空间复杂 度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质
2、的原子总 数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是(参考数 据:lg 30.48) ( ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093,【解题指南】本题主要考查对数运算.意在培养学生数学建模能力,及计算能力.,【解析】选D.因为 因为lg 30.48,所以361lg 3173, 所以,【名师点睛】本题考查了转化与化归能力.本题以实际 问题的形式给出,但本质是对数的运算关系,以及指数 与对数运算的关系,难点是 时,化简运算.对数 运算公式包含loga M+loga N=loga MN,loga M-loga N =loga ,loga Mn=nloga M.,3.某公司为激励创新
3、,计划逐年加大研发资金投入,若 该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上, 每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年 投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年,【解题指南】根据题知找出方程,结合对数的运算求解.,【解析】选B.设x年后该公司全年投入的研发资金为 200万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得x= log1.12 3.80,因资金需超过200万, 则x取4,即2019年.,4.某旅游城市为向游客介绍
4、本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ,B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述不正确的是 ( ),A.各月的平均最低气温都在0 以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 的月份有5个 【解题指南】看准雷达图的表达情况是关键.,【解析】选D.根据雷达图可知全年最低气温都在 0 以上,故A正确;一月平均最高气温是6 左右, 平均最低气温2 左右,七月平均最高气温22 左 右,平均最低气温13 左右,所以七月的平均温差比 一月的平均温差大,B正确;三月和十一
5、月的平均最高,气温都是10 ,三月和十一月的平均最高气温基本相同,C正确;平均最高气温高于20 的有七月和八月,故D错误.,5.(2017北京高考)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.,记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是_. 记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是_.,【解析】作图可得A1B1中点纵坐标比A2B2,A3B3中点纵坐标大,所以第一问选Q
6、1,pi表示Ai与Bi的纵坐标之和比上横坐标之和,作图将Ai和Bi的横纵坐标分别相加得到C1,C2,C3三点,分别连接OCi,可知OC2的斜率最大,故选p2. 答案:Q1 p2,【名师点睛】考查了根据实际问题分析和解决问题的 能力,以及转化与化归的能力,因为第i名工人加工总的 零件数是Ai+Bi,比较总的零件数的大小,即可转化为比 较 的大小,而 表示AiBi中点连线的纵坐标, 而第二问也可转化为AiBi中点与原点连线的斜率.,6.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_.,【解题指南】建立直角坐标系,求出
7、抛物线方程,然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积,求出梯形面积,即可推出结果.,【解析】如图:建立平面直角坐标系,设抛物线方程 为:y=ax2,因为抛物线经过(5,2),可得a= ,所以抛物线方程:y= x2, 横截面为等腰梯形的水渠,泥沙沉积的横截面的面积为:,等腰梯形的面积为: 2=16,当前最大流量的横截 面的面积为16- , 原始的最大流量与当前最大流量的比值为: =1.2. 答案:1.2,7. 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是_.,【解题指南】以实际问题为命题背景,考查基本不等式
8、求最值.,【解析】总费用4x+ 6=4 42 =240,当且仅当x= ,即x=30时等号成立. 答案:30,【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.,8.(2017天津高考)某电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:,已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧
9、播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.,(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域. (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?,【解题指南】本题是对简单线性规划的考查,着重考查目标函数在可行域中的最值问题,【解析】(1)由已知,x,y满足的数学关系式为 即,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:,(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y. 考虑z=60x+25y,将它变形为y= ,这是斜率为 - ,随z变化的一族平行直线. 为直线在y轴上的 截距,当 取得最
10、大值时,z的值最大.又因为x,y满足 约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行 域上的点M时,截距 最大,即z最大.,解方程组 得点M的坐标为(6,3). 所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.,【名师点睛】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义;求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.常见的目标函数有:,(1)截距型:形如z=ax+by.求这类目标函数的最值常将 函数z=ax+by转化为直线的斜截式:y= ,通过求 直线的截距 的最值间接求出z的最值.,(2)距离型:形如z= .(3)斜率型:形如 z= ,而本题属于截距形式,但要注意实际问题中 的最优解是整数.,