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1、高考数学（浙江专用）,1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,考点一 命题及其关系,考点清单,考向基础 1.命题:可以判断真假的语句叫做命题. 2.一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用p和q分别表示p 和q的否定,于是四种命题的形式如下: 原命题:若p,则q(pq); 逆命题: 若q,则p (qp); 否命题: 若p,则q (pq); 逆否命题: 若q,则p (qp).,4.原命题的真假与其他三种命题的真假有如下四种关系: a.原命题为真,它的逆命题不一定为真; b.原命题为真,它的否命题 不一定 为真; c.原命题为真,它的逆否命题一定为真; d.逆命题为真,否命题 一定 为真.
2、,3.四种命题的关系,考向突破,考向一 命题真假的判断,例1 (2014陕西,8,5分)原命题为“若 an,nN+,则an为递减数 列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是 ( ) A.真,真,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假,解析 an,即an+an+12an,则an+1an,an为递减数列,故原命题为 真,所以原命题的逆否命题也为真;若an是递减数列,则an+1an,an+an+1 2an, an,故原命题的逆命题是真命题,所以原命题的否命题也 是真命题.故选A.,答案 A,考向二 已知命题的真假求参数范围,例2 (2018北京,11,5分)能说
3、明“若ab,则 ”为假命题的一组a,b的 值依次为 .,解析 本题主要考查不等式的性质,命题真假的判断. 若ab,则 b,b-a0. 故当a0,bb,则 ”为假命题.,答案 a=1,b=-1(答案不唯一,只需a0,b0即可),考点二 充分条件与必要条件,考向基础 1.“若p,则q”是真命题,即pq;“若p,则q”为假命题,即p q. 2.(1)若pq,则p是q的充分条件; (2)若qp,则p是q的必要条件; (3)若 pq,但p q ,则p是q的充分不必要条件; (4)若p q,但pq,则p是q的 必要不充分条件 ; (5)若 pq,且pq ,则p是q的充要条件; (6)若 p q,且p q
4、,则p是q的既不充分也不必要条件.,3.从集合角度理解 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A=x|p(x),B=x|q(x), 则关于充分、必要条件又可叙述为 若AB,则p是q的充分条件; 若AB,则p是q的必要条件; 若A=B,则p是q的充要条件; 若AB,则p是q的充分不必要条件; 若AB,则p是q的必要不充分条件; 若AB,且AB,则p是q的既不充分也不必要条件.,考向突破,考向一 充分必要条件的判断,例1 (2017浙江金华十校联考(4月),5)已知xR,则“|x-3|-|x-1|2”是 “x1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充
5、分也不必要条件,解析 |x-3|-|x-1|2的解集为(1,+),所以“|x-3|-|x-1|2”是“x1”的 充分不必要条件,故选A.,答案 A,考向二 已知充分必要条件求参数范围,例2 已知p: 2x16,q:(x+2)(x+a)0,若p是q的充分而不必要条件,则a的 取值范围是 ( ) A.(4,+) B.-4,+) C.(-,-4 D.(-,-4),解析 由 -2,即a4,即a2, 则q:-ax-2,不符合题意. 综上,a-4,故选D.,答案 D,方法1 命题真假的判断方法 (1)判定一个命题是真命题,要通过严格的推理论证,而要说明一个命题 是假命题,只需举一反例. (2)利用“等价命
6、题”判断真假 由于互为逆否的两个命题是等价命题,它们同真或同假,所以当一个命 题不易直接判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的 真假.,方法技巧,例1 (2017浙江镇海中学模拟卷三,3,4分)已知m,n是两条不重合的直 线,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: 若m,m,则; 若m,n,mn,则; 若,则; 若m,n是异面直线,m,m,n,n,则. 其中,是真命题的是 ( ) A.和 B.和 C.和 D.和,解题导引,解析 由线面垂直的性质得到正确;由异面直线和线面平行的性质得 到正确;举反例,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面ABCD,A1B1平 面ABB1
7、A1,ABA1B1,但是平面ABCD平面ABB1A1=AB,所以错;举反 例,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1平面ABCD,平面AA1D1D 平面ABCD,但是平面AA1D1D平面ABB1A1=AA1,所以错.故是真命题 的是.故选D.,答案 D,方法2 由命题的真假求相应参数的取值范围的解题方法 对于已知简单命题的真假,求参数范围问题,常转化为恒成立问题解决 或通过解不等式来解决.,例2 已知命题p:“对于任意的实数x,存在实数m,使得4x-2x+1+m0”是 假命题,则实数m的取值范围为 .,解析 设t=2x,则t0,所以4x-2x+1+m0即t2-2t+m0,所以m
8、-t2+2t,令f(t)=-t2+ 2t,则f(t)在区间(0,1上为增函数,在区间1,+)上为减函数,则对于任意 的实数x,有-4x+2x+11,当命题p是真命题时,有m1.从而当命题p是假命 题时,实数m的取值范围为m1.,答案 m1,方法3 充分条件与必要条件的判定方法 1.定义法 (1)分清条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论; (2)找推式:判断“pq”及“qp”的真假; (3)下结论:根据推式及定义下结论. 2.集合法 (1)若AB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件; (2)若A=B,则A是B的充要条件. 3.等价转化法 等价转化法适用于条件或结论带有否定性词语的命题或直接判
9、断不方 便的情况,具体方法是通过判断原命题的逆否命题的真假来间接判断原,命题的真假.常用结论如下: (1)q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件; (2)q是p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件; (3)q是p的充要条件p是q的充要条件; (4)q是p的既不充分也不必要条件p是q的既不充分也不必要条件.,例3 (2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,7)已知正项数列an 满足an+1=an+ -1(nN*),则“1a12”是“an是递增数列”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,解题导引,解析 首先判断必要性,若an是递增数列,则an+1-an= -10,解得an0,即anan+1= -an+22,所以an1,从而1an2对nN*均成立,所以1 a12,必要性成立. 再判断充分性,当1a12时,仅需说明an2即可,为方便将其加强为1an 2. 当n=1时,显然成立. 假设当n=k(k1)时,结论成立,即1ak2.,则当n=k+1时,因为函数f(x)=x+ -1在区间(1,2)上的值域为(2 -1,2) (1,2),所以ak+1(1,2). 由数学归纳法知,an0,即an是递增数列. 综上,“1a12”是“an是递增数列”的充要条件,故选A.,答案 A,