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1、第三章 导数及其应用,-2-,3.1 导数的概念及运算,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 处的 ,切线方程为 .,(x0,f(x0),切线的斜率,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.函数f(x)的导函数 一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的每一点处都有导数,导数 为f(x)的 ,通常也简称为导数.,导函数,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.基本初等函数的导数公
2、式,x-1,cos x,-sin x,axln a(a0,且a1),ex,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)= ; (2)f(x)g(x)= ;,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),2,-9-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)f(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( ) (2)求f(x0)时,可先求f(x0),再求f(x0). ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (
3、5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. ( ),答案,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.曲线f(x)=excos x在点(0,f(0)处的切线斜率为 ( ),答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为 那么速度为零的时刻是( ) A.0 s B.1 s末 C.2 s末 D.1 s末和2 s末,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为 .,答案,解析,-1
4、3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-14-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 2.f(x0)与(f(x0)是不一样的,f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0)=0. 3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指点P为切点,斜率为k=f(x0)的切线,是唯
5、一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.,-15-,考点1,考点2,例1分别求下列函数的导数: (1)y=exsin x;,思考函数求导应遵循怎样的原则?,-16-,考点1,考点2,-17-,考点1,考点2,解题心得函数求导应遵循的原则: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.,-18-,考点1,考点2,对点训练1(1)已知函数f(x)的导函数f(x),
6、且满足关系式f(x)=x2+3xf(2)+ln x,则f(2)的值等于( ),(2)求下列函数的导数: y=x2sin x;,D,-19-,考点1,考点2,解析:因为f(x)=x2+3xf(2)+ln x,-20-,考点1,考点2,考向一 已知过函数图象上一点求切线方程 例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 思考求函数的切线方程要注意什么?,-21-,考点1,考点2,-22-,考点1,考点2,考向二 已知切线方程(或斜率)求切点 例3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线
7、y= (x0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为 . 思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?,答案,解析,-23-,考点1,考点2,考向三 已知切线方程(或斜率)求参数的值 的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1),则m的值为( ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 思考已知切线方程(或斜率)求参数的值关键一步是什么?,答案,解析,-24-,考点1,考点2,解题心得1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据
8、已知点在切线上求解. 2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. 3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.,-25-,考点1,考点2,A.1 B.-1 C.7 D.-7,A.3 B.2 C.1 D.,(3)(2018全国,文13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .,答案,解析,-26-,考点1,考点2,1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则. 2.导数的几何意义是函数的图象在切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (
9、1)已知切点A(x0,f(x0)求斜率k,即求在该点处的导数值k=f(x0); (2)已知斜率k,求切点B(x,f(x),即解方程f(x)=k; (3)已知切线过某点M(x1,f(x1)(不是切点),求斜率k,常需设出切点A(x0,f(x0),求导数得出斜率k=f(x0),列出切线方程代入已知点坐标求解或利用k= 求解.,-27-,考点1,考点2,1.利用公式求导时,不要将幂函数的求导公式(xn)=nxn-1与指数函数的求导公式(ax)=axln x混淆. 2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明此直线与曲线只有一个公共点. 3.曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线y=0是曲线y=x3在点(0,0)处的切线.,