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1、7.2 基本不等式及其应用,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,a=b,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,x=y,小,x=y,大,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2ab,2,2,-5-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,答案,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.若a,b均为大于1的正数,且ab=100,则lg alg b的最大值是( ),答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买
2、x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”.忽略某个条件可能就会出错.,3.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.,-11-,考点1,考点2,考点3,思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,-14-,考点1,考点2,考点3,解题心得利用基本不等式证明不等式是综合法
3、证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,考向一 求不含等式条件的函数最值 例2(1)下列命题正确的是( ),思考依据题目特征,如何求不含等式条件的函数最值?,答案: (1)C (2)3,-18-,考点1,考点2,考点3,当且仅当x=2时取等号,故最大值为-2,故C正确,D错误.故选C. (2)因为x2,所以x-20.,所以当f(x)取得最小值时,x=3,即
4、a=3.,-19-,考点1,考点2,考点3,考向二 求含有等式条件的函数最值 例3(1)若直线ax+by-1=0(a0,b0)过曲线y=1+sin x(00,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 . 思考如何应用基本不等式求含有已知等式的函数最值?,答案,-20-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin x(0x2)的对称中心为(1,1),故a+b=1.,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,(方法二)x0,y0,x+3y+xy=9,当且仅当x=3y时等号成立. 设x+3y=t0,则t2+12t-1080, 即
5、(t-6)(t+18)0, 又t0,t6. 当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.,-23-,考点1,考点2,考点3,考向三 已知不等式恒成立求参数范围 思考已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是什么?,答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.若条件中不含等式,在利用基本不等式求最值时,则要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的等式,然后再利用基本不等式. 2.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.
6、3.(1)已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法,且有af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min; (2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.,-25-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)已知x1,y1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20 D.最大值200,A.4 B.6 C.8 D.12 (4)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 .,-26-,考点1,考点2,考点3,(5)已知函数f(x)=x+ (p为常数,且p0),若
7、f(x)在区间(1,+)内的最小值为4,则实数p的值为 .,答案,-27-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)x1,y1,lg x0,lg y0,由题意得lg x+lg y=4,即xy=104.,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,例5要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 元. 思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?,答案,解析,-32-,考点1,考点2,考点3,解题心得利用基
8、本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.,-33-,考点1,考点2,考点3,对点训练3某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y= x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,那么求
9、出最大利润;如果不获利,那么需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?,-34-,考点1,考点2,考点3,-35-,考点1,考点2,考点3,1.应用基本不等式求最值应注意以下两点: (1)若直接满足基本不等式的条件,则直接应用基本不等式. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等. 2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.,-36-,考点1,考点2,考点3,1.利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”,忽视哪一个都可能致误. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.,