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1、3.1.1 数系的扩充和复数的概念,1.复数的概念及其表示 (1)虚数单位 满足i2=-1的i叫做虚数单位. (2)复数的定义 形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中i是虚数单位,全体复数所构成的集合C叫做复数集. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫做复数的代数形式,a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 名师点拨1.对于复数z=a+bi(a,bR),应注意其虚部是b,而不是bi. 2.对于复数z=a+bi,只有当a,bR时,才能得出z的实部为a,虚部为b,若没有a,bR的条件,则不能说a,b就是z的实部与虚部.,2.复数相等的充要条件 在复数集
2、C=a+bi|a,bR中任取两个复数a+bi,c+di(a,b,c,dR),规定a+bi与c+di相等的充要条件是 a=c,且b=d. 名师点拨两个复数的比较问题 (1)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能够比较大小,说明这两个复数都是实数; (2)当两个复数不全是实数时,就不能比较它们的大小,只能说它们相等还是不相等; (3)根据两个复数相等的充要条件,如果a=c,b=d两式中至少有一个不成立,那么就有a+bic+di.,【做一做2】 若x,yR,且2 016+yi=x-2 017i,则实数x= ,y= . 解析:由复数相等的充要条件可得 所以x=2 016,y=-2 01
3、7. 答案:2 016 -2 017,名师点拨1.形如z=bi的数不一定是纯虚数,只有当bR且b0时,bi才是纯虚数,否则不一定是纯虚数. 2.若z是纯虚数,可设z=bi(bR,b0);若z是虚数,可设z=a+bi(a,bR且b0);若z是复数,可设z=a+bi(a,bR).,解析:根据纯虚数的定义知, 是纯虚数. 答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若a,b是实数,则z=a+bi是虚数. ( ) (2)在复数z=x+yi(x,yR)中,若x=0,则复数z为纯虚数. ( ) (3)复数可以分为两大类:实数与虚数. ( ) (4)若复数z等
4、于0,则其实部与虚部都等于0. ( ) (5)两个复数一定不能比较大小. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,对复数相关概念的理解 【例1】 下列说法中正确的是( ) A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z=x+yi(x,yR)是虚数,则必有x0 C.在复数z=x+yi(x,yR)中,若x0,则复数z一定不是纯虚数 D.若a,bR且ab,则a+ib+i 思路分析:根据复数及其相关概念进行分析判断,注意列举反例. 解析:选项A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数;选项B错,若复数z=x+yi(x,yR)是虚数,则必有
5、y0,但可以x=0;选项C正确,若复数z=x+yi(x,yR)是纯虚数,必有x=0,y0,因此只要x0,复数z一定不是纯虚数;选项D错,当a,bR时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟判断复数概念方面的命题真假的注意点 (1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系; (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同; (3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1给出下列说法:复数2+3i的虚部是3i;形如a+bi(bR)的数一定是虚数;若aR,a0,则
6、(a+3)i是纯虚数;若两个复数能够比较大小,则它们都是实数.其中错误说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:复数2+3i的虚部是3,错;形如a+bi(bR)的数不一定是虚数,错;只有当aR,a+30时,(a+3)i是纯虚数,错;若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故正确.所以有3个错误. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数的分类及其应用 【例2】已知复数z=(a3-4a2+3a)+ (aR,a0). (1)当a为何值时,z是实数? (2)当a为何值时,z是虚数? (3)是否存在实数a,使得z是纯虚数? (4)是否存在实数a,使得z等于0? 思路分析:根据复
7、数分类的标准及条件,建立关于实数a的方程或不等式(组),求解a满足的条件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟根据复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)根据复数的分类求参数时,首先应将复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,bR),若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解; (2)要注意先确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解; (3)要特别注意复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数的充要条件是a=0且b0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2已知mR,复数z=lg m+(m2-1)i,当m为何值时,
8、(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数相等的充要条件及其应用 【例3】 求解下列各题: (1)若(4x-2y)i=x+1,求实数x,y的值; (2)若不等式m2-(m2-2m)i9+ 成立,求实数m的值. 思路分析:对于(1),可直接根据两个复数相等的充要条件建立关于x,y的方程组求解;对于(2),应先根据两个复数能够比较大小,确定它们都是实数,然后再根据大小关系建立不等式组求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.解决复数相等问题的基本步骤 (1)等号两侧都写成复数的代数形式; (2)根据两个复
9、数相等的充要条件列出方程(组); (3)解方程(组). 2.复数比较大小问题的求解方法 一般地,两个复数是不一定能够比较大小的,若给出的两个复数有了大小关系,则说明这两个复数首先已经是实数,然后还有相应的大小关系.例如:如果a,b,c,dR且a+bic+di,则必有,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3若a,b,cR,且复数z1=3a+|b|i与复数z2=(2-a)-|c|i相等,则a+b+c= .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对复数的相关概念理解不清致误 【典例】 给出下列命题:若x+yi=0,则x=y=0;若a+bi=3+8i,则a=3,b=8;若x为实数,且(x2-4)+(
10、x2+2x)i是纯虚数,则x=2;若3x+mi0,则有x0.其中正确命题的序号是 . 错解分析:本题常见错解是由于对复数中的相关概念,例如虚数、纯虚数、实部、虚部等理解不清,混淆它们之间的联系,导致错误选择. 解析:命题和都是错误的,原因是没有x,yR,a,bR的限制条件,相应结论都是错误的;命题也是错误的,事实上,当(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数时,应有 所以x=2;是正确的,因为由3x+mi0可得 即x0. 答案:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得复数中的许多结论,都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的,如果没有这一条件,相应结论不一定能够成立.例如:a+bi=0a=
11、b=0成立的条件是a,bR;a+bi=c+dia=c,b=d成立的条件是a,b,c,dR.另外,复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数的条件是a=0且b0,切记不能丢掉“b0”这一条件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,跟踪训练若kR,且(2k2-5k-3)+(2k2-k-1)i不是纯虚数,则实数k的取值范围是 . 解析:当该复数是纯虚数时,应有 解得k=3,因此若该复数不是纯虚数,必有k3. 答案:k3,1.下列命题正确的是( ) A.0是实数不是复数 B.实数集与复数集的交集是实数集 C.复数集与虚数集的交集是空集 D.若实数a与ai对应,则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应 解析:
12、选项A中,0是实数也是复数,所以A不正确;选项B中,实数集与复数集的交集是实数集,所以B正确;选项C中,复数集与虚数集的交集是虚数集,所以C不正确;选项D中,当a=0时,ai=0,所以实数0在纯虚数集中没有对应元素,所以D不正确.故选B. 答案:B,解析:复数(2+ )i的实部是0,故选D. 答案:D 3.“复数4-a2+(1-a+a2)i(aR)是纯虚数”是“a=-2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为1-a+a2= ,所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(aR)是纯虚数,则4-a2=0,即a=2;当a=-2时,4-a2+(1-a+a2)i=7i,为纯虚数,故是必要不充分条件,故选B. 答案:B,4.已知复数z1=(a+2b)+(a-b)i,z2=-4b+(2a+1)i(a,bR),当z1=z2时, a+b= .,5.如果(m2-1)+(m2-2m)i0,求实数m的值.,