八上平面几何难题集锦.pdf

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1、八年级平面几何难题集锦 1. 如图，已知等边ABC ， P在 AC延长线上一点，以PA 为边作等边 APE,EC延长线交BP 于 M ， 连接 AM,求证： （1） BP=CE ；（2） 试证明： EM-PM=AM. 2. 点 C为线段 AB上一点， ACM, CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点 E，BM,CN交 于点 F。求证： （1）AN=MB. （2）将 ACM 绕点 C按逆时针方向旋转一定角度，如图所示， 其他条件不变， （1）中的结论是否依然成立？（ 3）AN与 BM相交所夹锐角是否发生变化。 3. 已知， 如图所示， 在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，

2、且点BAD， ，在一条直线上，连接BECDMN，分别为BECD，的中点 （ 1）求证：BECD；ANAM ； （ 2）在图的基础上，将ADE绕点 A按顺时针方向旋转180 ，其他条件不变，得到 图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 22题P B A C E M O O F E A B A B N C M M C N F E C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 4. 如图， C为线段 AE上一动点（不与点A，E重合），在 AE同侧分别作正三角形ABC和正三 角形 CDE ，AD与 BE交于点 O ， AD与 BC交于点 P，BE与 CD交于点 Q，连

3、结 PQ 以下五个结 论： AD=BE ； PQAE ； AP=BQ ； DE=DP ； AOB=60 CP=CQ CPQ 为等边三角形 共有 2 对全等三角形CO平分 AOP CO平分 BCD 恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 5. 已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G， 在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD， （1）求证：AGEDAC； （2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是 怎样的三角形，试证明你的结论 6. 如图，以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结 EG，试判断

4、ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由 7. 在ABC中 ，21 2 0A BB CA B C， ，将ABC绕 点B顺 时 针 旋 转 角 (090 ) 得A BCAB 111 ，交AC于点E， 11 AC分别交ACBC、于DF、两 点如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 1 EA与FC有怎样的数量关系？并证明你的 结论； A D B E C F 1A 1C A D B E C F 1A 1C A G F C B D E A B C E D O P Q C G A E D B F 8. 如图所示，ABC是等腰直角三角形，ACB 90， AD是 BC边上的中线，过C作 AD的 垂线，交AB

5、于点 E，交 AD于点 F，求证： ADC BDE 9. 如图 1，四边形ABCD 是正方形， M是 AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点 D，且直角顶点E在 AB边上滑动（点E不与点 A，B重合），另一条直角边与CBM 的平分线BF相交于点 F. 如图 14 1，当点 E在 AB边的中点位置时： 通过测量DE ，EF的长度，猜想DE与 EF满足的数量关系是； 连接点 E与 AD边的中点N，猜想 NE与 BF满足的数量关系是； 请证明你的上述两猜想. 如图 14 2，当点 E在 AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得 NE=BF ，进而猜想此时DE与 EF有怎样的数

6、量关系并证明 10. 已知RtABC中，90ACBCCD，为AB边的中点，90EDF ， EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F 当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1） ，易证 1 2 DEFCEFABC SSS 当EDF绕D点旋转到DEAC和不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否 成立？若成立，请给予证明；若不成立， DEF S 、 CEF S 、 ABC S 又有怎样的数量关系？请 写出你的猜想，不需证明 A B C D E F A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D B C E 图 2 F D C B A

7、 11. 已知 AC/BD, CAB和 DBA的平分线EA 、EB与 CD相交于点 E. 求证 :AB=AC+BD. 12. 等边 ABC ，D为 ABC外一点， BDC=120 ， BD=DC MDN=60 射线 DM与直线 AB相 交于点 M ，射线 DN与直线 AC相交于点N， 当点 M 、N在边 AB 、AC上，且 DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、 MN之间的数量关系 当点 M 、N在边 AB 、AC上，且 DM DN时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明 当点 M 、N在边 AB 、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM 、NC 、MN之间的数量关系 13. 如图 1，B

8、D是等腰ABCRt的角平分线， 90=BAC. （1）求证BC=AB+AD； （2）如图 2，BDAF于 F，BDCE 交延长线于E，求证：BD=2CE； A B C D F E 图 2 图十一 4 3 2 1 P A B C 14. 已知，如图1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。 求证：BAD+BCD=180。 15. 如图，四边形ABCD中， AC平分 BAD ，CE AB于 E，AD+AB=2AE ，则 B与 ADC互补 . 为什么？ 16. 如图 4，在 ABC中， BD=CD ， ABD= ACD,求证 AD平分 BAC. 17. 如图，在 ABC中 ABC

9、,ACB的外角平分线交P.求证 :AP 是 BAC的角平分线 D B E A C A B C D O E D CB A 18. 如图在四边形ABCD 中， AC平分 BAD ， ADC ABC 180 度， CE AD于 E，猜想 AD 、 AE 、 AB之间的数量关系，并证明你的猜想， 19. 如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD 20. 如图所示，已知在AEC中， E=90， AD 平分 EAC ，DF AC ，垂足为F， DB=DC ，求 证： BE=CF 21. 如图，OP是MON的平分线， 请你利用该图形画一对以OP所在直线为

10、对称轴的全等三 角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的 平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你 在 (1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图图 E B A C 图 2 D A E C D F B P 21 D C B A F D A CB 22. 已知：如图， BFAC于点 F，CE

11、AB于点 E，且 BD=CD ，求证： （1） BDE CDF （ 2） 点 D在 A的平分线上 23. 如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 24. 已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D ，BE平分ABC，且BEAC于E，与 CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (!)求证：BF=AC； (2)求证：CE= 1 2 BF； (3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。 25. 如图，在四边形ABCD中， AB=BC ，BF是 ABC的平分线， AFDC ，连接 AC 、 CF，求证： CA是 DC

12、F的平分线。 D A C B F E 图3 M NK E D C B A 图2 M N K D CB A 图1 M KNC B A 26. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中 点90AEF，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易 证AMEECF，所以AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C 外）的任意一点” ，其它条件不变， 那么结论 “AE=EF” 仍然成立

13、， 你认为小颖的观点正确吗？ 如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不 变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果 不正确，请说明理由 27. ABC中， BAC=60 ， C=40， AP平分 BAC交 BC于 P，BQ平分 ABC交 AC于 Q， 求证： AB+BP=BQ+AQ。 28. 问题背景，如下命题： 如图 1, 在正三角形ABC中,N 为 BC边上任一点 ,CM为正三角形外角ACK的平分线 , 若 ANM=60 , 则 AN=NM 如图 2, 在正方形A

14、BCD 中,N 为 BC边上任一点， CM为正方形外角DCK的平分线， 若 ANM=90 ，则 AN=NM 如图 3, 在正五边形ABCDE 中,N 为 BC边上任一点 ,CM为正五边形外角DCK的平分线 , 若 ANM=108 ,则 AN=NM A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 任务要求： 请你证明以上三个命题； 请你继续完成下面的探索： 如图 4, 在正n（n3）边形 ABCDEF 中 ,N 为 BC边上任一点 ,CM为正n边形外角 DCK 的平分线 , 问当 ANM 等于多少度时 , 结论 AN=NM 成立（不要求

15、证明）. 如图 5, 在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=BC=CD,N 为 BC延长线上一点,CM为 DCN的平分线 , 若 ANM= ABC,请问 AN=NM 是否还成立？若成立, 请给予证明；若不成立, 请说明理由 . 图5 M N D C B A 图4 NK FE D C B A 29. 如图，在 ABC中， A=90， D是 AC上的一点， BD=DC ，P是 BC上的任一点，PE BD ， PF AC ，E 、 F为垂足求证：PE+PF=AB 30. 如图，已知ABC中， AB=AC=6cm ， B=C，BC=4cm ，点 D为 AB的中点 （1）如果点P在线段 BC上以 1cm

16、/s 的速度由点B向点 C运动，同时，点Q在线段 CA上由 点 C向点 A运动 若点 Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 秒后， BPD与 CQP 是否全等，请说 明理由； 若点 Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD 与 CQP全等？ （2）若点 Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆 时针沿 ABC三边运动，则经过后，点 P与点 Q第一次在 ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 31. 已知：在 ABC中， ACB为锐角，点D为射线 BC上一动点，连接AD ，以 AD为一边且 在 AD的左侧作

17、等腰直角ADE ，解答下列各题：如果AB=AC ， BAC=90 （i ）当点 D在线段 BC上时（与点 B不重合），如图甲， 线段 BD ，CE之间的位置关系为（ii ） 当点 D在线段 BC的延长线上时，如图乙，i ）中的结论是否还成立？为什么？ 32. 已知 ABC为等边三角形，点D为直线 BC上的一动点（点D不与 B、C 重合） ，以 AD为 边作菱形ADEF （ A、D、E、F 按逆时针排列） ，使 DAF=60 ，连接CF （1）如图 1，当点 D在边 BC上时，求证：BD=CF ； AC=CF+CD； （2）如图 2，当点 D在边 BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若 不成立，请写出AC 、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当点 D在边 BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形， 并直接写出AC 、CF、 CD之间存在的数量关系 33. 在 ABC中， AD BC, BEAC, D、E为垂足， AD与 BE交与点 H， BD=AD. 求证： BH=AC BEAD D C B A E H