初一数学有理数全章讲义..pdf

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1、初一数学有理数全章讲义 1.1 正数和负数 知识点归纳 一、 正数和负数的定义 正数 ：大于 0 的数叫做正数。 根据需要，有时在正数前面加上正号 “+” ，但是正数前面的正号 “+” ， 一般省略不写。 负数 ：在正数前面加上负号“ -”的数叫做负数。负数前面的负号“-”不能省略。 注：对于正数和负数的概念，不能简单地理解为带“+”的数就是正数，带“ -”的数就是负数。 eg：-a 不一定是负数，因为字母a 可以表示任何数，当a 是正数时， -a 是负数；当 a 表示负数时， -a 则是一个正数，而不是负数；当a 表示 0 时，-a 就是在 0 前面加上一个负号，仍是0,0 不分正 负。 二

2、、具有相反意义的量 正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的 量，反之亦然。 常见的表示相反意义的量：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支 出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。 三、0 的意义（重点理解） 数 0 既不是正数，也不是负数。0 是正数和负数的分界线 。0是一个确定的温度，海拔0 表示海 平面的平均高度。 0 的意义已经不仅是表示“没有” 。 典型例题 1、下列说法不正确的是（） A0 不是正数，也不是负数B负数是带有“ -”的数，正数是带有“ +”的数 C非负数是正数或0 D0 是一个特殊的整数，它并不只是表示“没有

3、” 2、水位上升 -0.5cm 的意义是（） A水位上升 0.5cm B水位下降 0.5cm C水位没有变化D水位下降了 5cm 3、下列说法错误的是（） A-5 一定是负数B在正数前面加上“ -”就成了负数 C自然数一定是正数D-a 不一定是负数 4、下列说法正确的有（） 不带负号的数都是正数带负号的数不一定是负数0表示没有温度0 既不是正数，也不 是负数 A.0 个B.1 个C.2 个D3 个 5、在跳远测验中，合格标准是4.00m，小明跳出了4.18m，记作 +0.18m，小华跳出了 3.96m，应 记作 6、-1,2，-3,4，-5，第81 个数是，第 2005个数是。 7、峨眉山上某

4、天的最高气温为12，最低气温为 -4，那么这天的最高气温比最低气温高（） A.4 B.8 C.12 D.16 8、一架飞机在距离地面1500米的高空飞行，它第一次下降了-200 米，第二次又上升了 -100 米， 第三次下降了 300 米，此时飞机距离地面多高？ 1.2.1有理数 知识点归纳 一、有理数的概念 正整数、 0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数 。 注： （1）正整数、 0、负整数统称为 整数 。 （2）正分数和负分数统称为 分数 。 （3）对于小数，只有 能化成分数的小数 才是有理数。 （4）我们把 有限小数和无限循环小数都看做分数，因此有限小数和无

5、限循环小数是有理数。 （5）无限循环小数不能化成分数，因此它不是分数，也不是整数，所以就不是有理数。 二、 有理数的分类（重点） 按数的种类分按有理数的性质分 有理数 负分数 正分数 分数 负整数 正整数 整数0 有理数 负分数 负整数 负有理数 正分数 正整数 正有理数 0 注：（1）有理数的分类必须按同一标准，不漏、不重。 （2）0 和正整数统称为 非负整数 。 （3）0 和负整数统称为 非正整数 。 （4）0 和正有理数统称为 非负数 。 （5）0 和负有理数统称为 非正数 。 典型例题 1、-7 是（） A.自然数 B. 负分数 C. 非负数 D. 负整数 2、所有的正整数和负整数结合

6、在一起构成（） A.整数集合 B.有理数集合 C.自然数集合 D.以上说法都不对 3、关于 0 的说法，正确的有（） 是整数不是正数，也不是负数是最小的整数是自然数 A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 4、下列说法不正确的是（） A.-0.5 是分数 B.0 不是正数也不是负数 C. 整数和分数统称为有理数 D.0是最小的正数 5、下列说法错误的是（） A负整数和负分数统称为负有理数 B正整数， 0，负整数统称为整数 C正有理数和负有理数组成全体有理数 D3.14 是小数，也是分数 6、下列说法正确的的是（） A.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数 B.一个有理数不是整数就是负

7、数 C.一个有理数不是整数就是分数 D.以上说法都正确 7、,0 , 7 44 0.3 。 四个数中，有理数的个数为（） A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 8. 有理数中，是整数而不是正数的是（） ，是分数而不是正分数的是（） 。 9、有理数中，最小的自然数是（）, 最小的正整数是（） 。 10、整数与分数统称为（） ，整数包括（） ，分数包括（） 。 11、通常把（）和（）统称为非负整数，把（）和（）统称为非正整数； 把（）和（）统称为非负数，把（）和（）统称为非正数。 12、将下列各数按要求分别填入相应的集合中。 , 100 3 , 7 2 ,65,01.0 ,25.2, 4 3

8、,100,0, 3 1 7, 4 3 3,6,3.90.21 。. (1) 正整数集合： (2) 负整数集合： (3) 正分数集合： (4) 负分数集合： (5) 整数集合： (6) 分数集合： (7) 有理数集合： 1.2.2数轴 知识点归纳 一、数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意事项： （1）数轴是一条两端无限延长的直线。 （2）原点，正方向，单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可。 （3）同一数轴上的单位长度要统一。 （4）数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 （5）定义中的“规定”二字，是说原点的规定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实 际需要规定的

9、，通常取向右为正方向。 二、数轴的画法（重点） 画数轴时，关键要体现数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 其步骤如下： 1、画一条水平的直线； 2、在直线上任意选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下方标上“0” ） ； 3、确定正方向（一般规定向右为正） ，用箭头表示出来； 4、 选取适当的长度作为单位长度， 从原点向右，每隔一个单位长度选取一点， 依次表示 1,2,3 ， ； 从原点向左，每隔一个单位长度选取一点，依次表示-1，-2，-3 ，。 三、数轴上的点与有理数的关系（重点、难点） 一般地，设 a是一个正数， 则数轴上表示数 a 的点在原点的右边， 与原点的距离是a

10、个长度单位； 表示数 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个长度单位。所有的有理数都可以用数轴上的点 表示， 正有理数 可以用原点右边（或上边）的点表示，负有理数 可以用原点左边（或下边）的点 表示，0 用原点表示。 注：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数 与数轴上的点不是一一对应的关系。 四、利用数轴比较大小（重点、难点） 1、数轴上的数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大 2、有理数大小比较法则： （1）正数都大于 0 （2）负数都小于 0 （3）正数大于负数 （4）两个负数比较大小 ：距原点距离远的数比距离远点近的数小

11、，即在原点的左侧，离原点越 远，数越小。 典型例题 1、规定了（） 、 （） 、 （）的直线叫做数轴。 2、在数轴上表示数 -3 的点在原点的（） ，与原点的距离为（）个长度单位。 3、在数轴上到原点距离是2.5 个长度单位的点表示的数是（） 。 4、P点表示的数是 -1 ，到 P点 4 个单位长度的点表示的数是（） 。 5、一个动点从表示1 的点出发，先向左移动2 个单位，再向右移动3 个单位长度，则终点离原 点的距离是（）个单位长度。 6、若点 A表示数 -3 ，点 B表示数 7，那么 A、B间的距离是（） 。 7、下列图中表示数轴的是（）. A. B. C. D. 8、数轴上表示整数的点

12、称为整点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一 条长 2005cm的线段 AB ，则线段 AB盖住的整点有（） A. 2003 或 2004个 B.2004或 2005 个 C.2005或 2006个 D.2006或 2007 个 9、画出数轴，用数轴画出表示下列各点的数并用“”连接起来。 4 ，-2 ，-4.5 ，0， 5 4 2, 3 1 1 10、如图，写出数轴上点A、B、C、D、E表示的数。 11、小敏家、学校、邮局、图书馆坐落在同一条东西走向的大街上，依次记为A，B，C，D， 学校位于小敏家西150m ，邮局位于小敏家东100m ，图书馆位于小敏家西400m 。 （1

13、）用数轴表示 A，B，C，D的位置 . （2）一天小敏从家里以每分钟50m 的速度先去邮局寄信后又往图书馆方向共走了 8min. 试问小敏这时约在什么位置？距离图书馆和学校各约多少米？ 1.2.3相反数 知识点归纳 一、相反数的概念 只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；特别地，0 的相反数是 0. 注： （1） “0 的相反数是 0”是相反数定义的一部分，千万不能把它漏掉. （2）相反数是 成对出现的，不能单独存在， 单独的一个数不能说是相反数. （3） “只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是 除符号不同以外数字完全相同，不要理 解为只要符号不同的两个数就是互为相反数.

14、二、相反数的意义 任何一个数都有相反数，而且只有一个 相反数， 正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定 是正数； 0 的相反数仍是 0. 几何意义： 互为相反数的两个数 在数轴上对应的两个点 到原点的的距离相等且位于原点的两侧； 反之， 位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。 代数意义： 相反数中， “相反”的意思是说：“只有符号相反”，即两个数除符号不同外其余都相 同。 【注意】 ： （1）一个数的相反数的相反数是它本身. （2）注意区别“相反数”与“相反意义的量”。前者是指具有相反符号的一对数，后者指相对 具有相反意义的量。 三、相反数的表示方法 一般的，一个数 a

15、的相反数可以表示为 -a。 根据相反数的意义，只改变原数的符号即可得到原数的相反数，就是说只要在一个数的前面 加“-”号即可得到这个数的相反数。 【注意】 （1）数 a 表示任意一个数，可以是正数、负数和0，还可以表示任意的一个式子。 （2）一个数的前面加上“- ”号表示这个数的相反数，加上“+”号表示这个数本身。 四、相反数的求法 求一个数的相反数， 只要在它的前面添上“ - ”号即可得到原数的相反数；当原数是多个数的和 差时，要用括号括起来再添“- ”号；若原数是单个数且前面有“- ”则也应先括起来再添“-” 号，然后化简。 如： （1）-a 的相反数是 -（-a ） ，即 a； （2）a

16、+b的相反数是 -（a+b） ； （3）- （-2） 的相反数是 -(-2)，即-2. 五、多重符号的化简 当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果 为负。 六、相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数一定是负数；负数的相反 数一定是正数； 0 的相反数仍是 0。 【注意】 （1）若两个数互为相反数，则它们的和为0. （2）数轴上表示相反数的两个数关于原点对称. （3）相反数等于它本身的数只有0. （4）相反数是成对出现的，不能单独存在. （5） “只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除符号不同以外数字完全相同，不要理解为 只要符号不同

17、的两个数就是互为相反数. 典型例题 1、 判断下列说法是否正确。 （1）-3 与 3 1 互为相反数。（）（2）5 的相反数是 5 1 。 （） （3）0 的相反数是 -0 ，所以 0 与-0 不是互为相反数。（） 2、下列叙述正确的是（） A.符号不同的两个数互为相反数 B.一个数的相反数一定是负数 C.非负数的相反数是非整数 D.正数的相反数是分数 3、如果 a=-a，那么表示 a 的点在数轴上的位置是（） A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点 D.原点或原点右侧 4、一个数的相反数小于它本身，这个数是（） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 5、一个数的相反数大于它本身，这个数是

18、（） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6、一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（） A.正数 B.负数 C.正数或 0 D.负数或 0 7、一个数的相反数是非正数，则这个数一定是（） A.正数 B.负数 C.正数或 0 D.负数或 0 8、下面两个数互为相反数的是（） A. 2 1 1与 0.2 B. 3 1 与-0.333 C. 4 1 2与-2.25 D.-（-5） 与+(-5) 9、- （+4）是（）的相反数； - （-7 ）是（）的相反数。 10、a 的相反数是（） ，当 a=13时，a 的相反数是（） ，当 a=-5 时，a 的相反数是（） ， 当 a=0时，a的相反数是（） 。 11、如果 -a=-9 ，那么 -a 的相反数是（） 。 12、如果 -x 的相反数是 -2，那么 x=（） ；如果 x-3 的相反数是 0，那么 x=（） 。 13、求下列各数的相反数。 4 1 ， 2 1 -，0,1,0.1 ，-a ，-2xy ，a-b，