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1、1 圆 目 录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点 1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它 的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点 2： 确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点 3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。 弦心距：圆心到
2、弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到 2 直角三角形。如下图： 考点 4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点 5 点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外d
3、r ；点在圆上d=r；点在圆内 d r ； 【典型例题】 例 1 在ABC中，ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线， 以点C为圆心， 以5 为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例 2已知，如图， CD是直径，84EOD，AE交 O于 B，且 AB=OC ，求 A的度数。 M A B C D O E B A C 3 例 3 O 平面内一点P 和 O 上一点的距离最小为3cm，最大为 8cm，则这圆的半径是 _cm。 例 4 在半径为5cm 的圆中，弦AB CD，AB=6cm ，CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多 少？ 例 5
4、如图 , O的直径 AB和弦 CD相交于点E，已知 AE=6cm ， EB=2cm, 30CEA， 求 CD的长 例 6. 已知： O的半径 0A=1，弦 AB 、AC的长分别为3,2，求BAC的度数 二垂径定理及其推论 【考点速览】 考点 1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤 推论 1： 平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤 平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤 推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1 中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦( 不是直径
5、) ；平分弦所 对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意 两点，都可以推得其它两点 A B D C O E 4 【典型例题】 例 1 如图 AB、CD是 O的弦， M 、N分别是 AB 、CD的中点，且CNMAMN 求证： AB=CD 例 2 已知， 不过圆心的直线l交 O于 C、D两点， AB是 O的直径， AE l于 E，BFl于 F。求证： CE=DF l 问题一图1 O HF E D C B A l 问题一图2 O H F E DC B A l 问题一图3 O HFEDC BA 【考点速练】 1. 已知 O的半径为2cm，弦 AB长cm32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距
6、离 为（）. A1cm B.2cm C.cm2 D.cm3cm 3 如图 1， O的半径为6cm， AB、 CD为两弦， 且 ABCD ， 垂足为点E， 若 CE=3cm ， DE=7cm ， 则 AB的长为（） A10cm B.8cm C.cm24 D.cm28 4. 有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所 对的孤；圆的对称轴有无数条. 其中正确的判断有（） A0 个 B.1个 C.2个 D.3个 5如图 2，同心圆中， 大圆的弦交AB于 C、D若 AB=4 ，CD=2 ，圆心 O到 AB的距离等于1， 那么两个同心圆的半径之比为（） A B D C O N M
7、 5 A B D C O 800 A3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4 6. 如图, O 的直径为10, 弦 AB=8,P是弦 AB上的一个动点 , 那么 OP长的取值范围是 . 7. 如图 , 已知有一圆弧形拱桥, 拱的跨度 AB=16cm,拱高 CD=4cm, 那么拱形的半径是_ _m. 8. 如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为 800mm ，求 水的最大深度CD 三圆周角与圆心角 【考点速览】 考点 1 圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 圆周角 ：顶点
8、在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可 Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由 B PA O D C B A 6 考点 2 定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 Eg: 如下三图，请证明。 考点 3 4. 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 经典例题 例 1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有。 7 例 2：如图， A 是 O 的圆周角，且A35,则 OBC=_. 例 3：如
9、图，圆心角AOB=100 ，则 ACB= 例：如图，AB是 O 的直径，点CDE，都在 O 上，若CDE，则 ABo 例 如 图 2， O 的直径CD过弦EF的中点G，40EOD，则DCF 例 6：已知：如图，AD? 是 O? 的直径， ABC=?30? ，则 CAD=_ 例 7：已知 O中，30C，2cmAB，则 O的半径为cm _ . _ D _ C _ B_ A _ O B O C A O A B C （例） AB C DE O E F C D G O 例 B O C A 8 四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 【考点速览】 圆心角 , 弧,弦 ,弦心距之间的关系定理: 在同圆或等圆中，相
10、等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论： 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧 ,两条弦 ,两条弦心距中,有一组量 相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. （务必注意前提为：在同圆或等圆中） 例 1如图所示，点O 是 EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于 A、 B 和 C、D，求证： AB=CD 例2、已知：如图，EF为 O 的直径，过 EF上一点 P作弦 AB 、CD ，且 APF=CPF 。 求证： PA=PC 。 A B E F O P C 1 2 D 9 例 3如图所示，在ABC中， A=72， O截ABC的三条边长所得的三条弦
11、等长， 求 BOC. 例 4如图， O的弦 CB 、ED的延长线交于点A，且 BC=DE 求证： AC=AE 例 5如图所示，已知在O中，弦 AB=CB ， ABC=120，OD AB于 D，OE BC于 E 求证：ODE是等边三角形 五圆内接四边形 【考点速览】 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。 判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。 【典型例题】 例 1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中， A:B:C=2:3:4 ，求 D的度数 O A B C O C A E B D O A D E B C 10 （2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示， AB、BC 、CD 、AD的度数之比为1:2:3:4,求 A、 B、 C、 D的度数 例 2 四边形 ABCD 内接于 O ， 点 P在 CD的延长线上， 且 AP BD 求证：ADABBCPD 例 3 如图所示，ABC是等边三角形，D是 BC上任一点求证：DB+DC=DA 六会用切线，能证切线 考点速览： 考点 1 直线与圆的位置关系 A D C B O P A B C D O C D O