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1、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示
2、函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 一次函数和正比例函数 1、一次函数的概念：一般地，如果bkxy（k，b 是常数， k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy（k 为常数， k0） 。这时， y 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像所有一次函数的图像都是一
3、条直线 一次函数ykxb(k0)的图像是经过点（0，b）的直线 (b是直线与y轴的交点的纵坐标，即一次函数在y轴上 的截距 ) ；正比例函数kxy的图像是经过原点（0，0）的直线。 3、斜率： 12 12 tan xx yy k 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0) 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: 11 12 12 )()(tanyxxx xx yy bxbkxy 由直线在x轴和 y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式： 1 b y a x 设两条直线分别为， 1 l ：11 yk xb 2 l ：22 yk xb 若 若 12/ll，则有 1212 /l
4、lkk且 12 bb。 点 P（x0，y0）到直线 y=kx+b( 即： kx-y+b=0) 的距离 : 4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以 寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（ x1，y1）点 B 坐标为（ x2，y2） 则 AB 间的距离，即线段AB 的长度为 2 21 2 21 yyxx P(x0 y0) b x y y=kx+b A(x1, y1) B(x2, y2) 0 d a 1) 1( 2 00 22 00 k bykx k bykx d 1212 1llkk A B Y X 5、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例
5、函数定义式kxy（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一 次函数定义式bkxy（k0）中的常数k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 6、 （1）一次函数图象是过两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y 轴。 （2）当 k0 时，图象过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）； （3）当 k0 时，与 y 轴的交点（ 0，b）在正半轴；当b0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 x 的取值范围是x0， y 的取值范围是y0； 当 k0 a a b 2
6、 时， y 随 x 的增大而增大，简记左减 右增； （4）抛物线有最低点，当x= a b 2 时， y 有最小 值， a bac y 4 4 2 最小值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x= a b 2 ， 顶点坐标是（ a b 2 ， a bac 4 4 2 ） ； （3）在对称轴的左侧，即当 x a b 2 时， y 随 x 的增大而减小，简记左 增右减； （4）抛物线有最高点，当x= a b 2 时， y 有最 大值， a bac y 4 4 2 最大值 9. 抛物线的交点 （1）y轴与抛物线cbxaxy 2 得交点为 (0, c). （2）抛物线与x轴的交点：二次
7、函数cbxaxy 2 的图像与x轴的两个交点的横坐标 1 x、 2 x，是对应一元二次方 程0 2 cbxax的 两 个 实 数 根 . 抛 物 线 与x轴 的 交 点 情 况 可 以 由 对 应 的 一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别 式 ac4b 2 判定： 有两个交点(0)抛物线与x轴相交； 有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切； 没有交点(0)抛物线与x轴相离 . （3）平行于x轴的直线与抛物线的交点 同（ 2）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐 标是kcbxax 2 的两个实数根. （
8、4） 一 次 函 数0knkxy的 图 像l与 二 次 函 数0 2 acbxaxy的 图 像G的 交 点 ， 由 方 程 组 cbxaxy nkxy 2 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时 l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . 反 比 例 函 数0 k yk x 的 图 像 与 二 次 函 数 0 2 acbxaxy 的 图 像 的 交 点 ， 由 方 程 组 2 k y x yaxbxc 的解来确定。 （5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy 2 与x轴两交点为00 21 ，xBxA，由于 1 x、 2 x是 方程0 2 cbxax的两个根，故 a c xx a b xx 2121 , 2 22 12121212 44 4 bcbac ABxxxxxxx x aaaa 2 （）（）（）