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1、启东教育学科教师辅导讲义 二次函数试题 选择题：1、y=(m-2)x m2- m 是关于 x 的二次函数，则m=（） A -1 B 2 C -1 或 2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2 个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=（x-2） 2 +2 B y= （x+2） 2+2
2、C y= （ x+2） 2+2 D y= （x-2） 22 5、抛物线y= 2 1 x 2-6x+24 的顶点坐标是（ ） A （ 6， 6）B （ 6，6）C （ 6，6）D（6， 6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 abc acb a+b+c c b A B C D 7、函数 y=ax 2-bx+c（a 0）的图象过点（ -1，0） ，则 cb a = ca b = ba c 的值是（） A -1 B 1 C 2 1 D - 2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a 0） ，它们在同一坐标系内的大致图象
3、是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论 m 为任何实数，总在抛物线y=x 22mx m 上的点的坐标是 。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a0）的对称轴为直线 x，最小值为，则关于方程ax 2+bx+c的根为 。 17、抛物线y=（ k+1）x 2+k2-9 开口向下，且经过原点，则 k 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y= x 2+bx+c，其图象对称轴为直线 x=1，且经过点（ 2，） （1）求此二次函数的解析式 （2）设该图象与x 轴交于 B、C 两点（ B点在 C点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E，使EBC的面积最大， 并求
4、出最大面积 1 1 0 x y y x 0 -1 x y x y x y x y 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于 A、B 两点（ A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C (0，4)，顶点为（ 1， 9 2） （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使 CDP 为等腰三角 形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标 （3）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与A、B 不重合），分别连接AC、BC，过点 E 作 EFAC 交线段 BC 于点 F， 连接 CE， 记 CEF 的面积为 S， S 是否存在最大值？ 若存在，求出S的最
5、大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由 3、如图，一次函数y 4x4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点，抛物线y4 3x 2bx c的图象经过A、C 两点，且与x 轴交于点 B （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC 的面积； （3）作直线 MN 平行于 x轴，分别交线段AC、BC 于点 M、N问在 x 轴上是否存在点P，使 得 PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标； 如果不存在， 请说明理由 （二次函数与四边形）4、已知抛物线 2 17 2 22 yxmxm (1)试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总
6、有两个不同的交点； (2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3 时，抛物线的顶点为点C，直线 y=x1 与抛物线交于A、B 两点，并与它的对称轴交于 点 D 抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； 平移直线CD，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、 M、N 为顶点的四边形是平行四边形 Bx y O (第 2 题图 ) C AD Bx y O (第 3 题图 ) C A C O A y x D B C O A y x D B M N l: xn 5、如图，抛物线ymx 211mx24m ( m0) 与
7、x 轴交于 B、C 两点（点 B 在点 C 的左侧），抛物线另有一点 A 在第一象限内，且 BAC90 （1）填空： OB_ ，OC_ ； （2）连接 OA，将 OAC 沿 x轴翻折后得 ODC，当四边形OACD 是菱形时，求此时抛物线的解析式； （3）如图 2，设垂直于x 轴的直线 l：xn 与（ 2）中所求的抛物线交于点M，与 CD 交于点 N，若直线 l 沿 x 轴方向左右平移， 且交点 M 始终位于抛物线上A、C 两点之间时，试探究：当n 为何值时，四边形AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大 值 6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形， BCAD， BAD=
8、90 ， BC 与 y 轴相交于点M，且 M 是 BC 的中点， A、B、D 三点的坐标分别是A（1 0，） ，B （1 2，） ，D（3，0） 连接 DM ，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到ON若 抛物线 2 yaxbxc经过点 D、M、N （1）求抛物线的解析式 （2）抛物线上是否存在点P，使得 PA=PC，若存在，求出点P 的坐标；若 不存在，请说明理由 （3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个 动点，当点Q 在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值 7、已知抛物线 2 23 (0)yaxaxa a与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B
9、的左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的 顶点（1）求 A、B 的坐标； （2）过点 D 作 DH 丄 y 轴于点 H，若 DH=HC ，求 a 的值和直线CD 的解析式； （3）在第（ 2）小题的条件下，直线CD 与 x 轴交于点E，过线段 OB 的中点 N 作 NF 丄 x 轴，并交直线CD 于点 F，则直线NF 上是否存在点M，使得点 M 到直线 CD 的距离等于点M 到原点 O 的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 （二次函数与圆） 8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c（a0 ）的图象经过 M（1，0）和 N（3，0）两点，且与y 轴交
10、于 D（0，3） ， 直线 l 是抛物线的对称轴1）求该抛物线的解析式 2）若过点 A（ 1，0）的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式 3）点 P 在抛物线的对称轴上，P 与直线 AB 和 x 轴都相切，求点P 的坐标 9、如图， y 关于 x 的二次函数y=（x+m） （x3m）图象的顶点为M， 图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴正半轴于D 点以 AB 为直径作圆，圆心 为 C定点 E 的坐标为（3，0） ，连接 ED （m0） （1）写出 A、B、D 三点的坐标； （2）当 m 为何值时 M 点在直线ED 上？判定此时直线与圆的位置关系； （3
11、）当 m 变化时，用m 表示 AED 的面积 S，并在给出的直角坐标系中画出S关于 m 的函数图象的示意图。 10、已知抛物线 2 yaxbxc的对称轴为直线2x，且与 x 轴交于 A、B 两点 与 y 轴交于点C其中 AI(1 ， 0)，C(0，3) （1） （ 3 分）求抛物线的解析式； （2）若点 P在抛物线上运动（点P异于点 A） （ 4 分）如图l当 PBC 面积与 ABC 面积 相等时求点P 的坐标； （ 5 分）如图 2当 PCB=BCA 时，求直线 CP 的解析式。 答案： 1、解：（1）由已知条件得， （2 分） 解得 b= ，c=，此二次函数的解析式为y= x 2 x； （
12、1 分） （2）x 2 x=0，x1=1， x2=3， B（ 1，0） ，C（3， 0） ，BC=4 ， （1 分） E 点在 x 轴下方，且 EBC 面积最大，E点是抛物线的顶点，其坐标为（1， 3） ， （1 分） EBC的面积 = 43=6 （1 分） 2、 （1）抛物线的顶点为（1， 9 2） 设抛物线的函数关系式为ya ( x1) 29 2 抛物线与y 轴交于点C (0，4)，a (01) 29 24 解得 a 1 2 所求抛物线的函数关系式为y 1 2( x1) 29 2 （2）解： P1 (1， 17)，P2 (1，17)， P3 (1，8)，P4 (1， 17 8 )， （3）
13、解：令 1 2( x1) 29 20，解得 x1 2，x14 抛物线y 1 2( x1) 29 2与 x 轴的交点为 A (2，0) C (4，0) 过点 F 作 FM OB 于点 M， EFAC， BEF BAC， MF OC EB AB 又OC4，AB6， MF EB ABOC 2 3EB 设 E 点坐标为(x，0)，则 EB4x，MF 2 3 (4x) SSBCESBEF 1 2 EBOC 1 2 EB MF 1 2 EB(OC MF ) 1 2 (4x)4 2 3 (4x) 1 3x 22 3x 8 3 1 3( x1) 23 a 1 30， S有最大值 当 x1 时， S最大值3 此
14、时点 E 的坐标为(1， 0) 3、 （1）一次函数y 4x4 的图象与x 轴、 y 轴分别交于A、C 两点， A (1，0) C (0， 4) 把 A (1，0) C (0， 4)代入 y4 3x 2bxc 得 4 3 bc0 c 4 解得 b 8 3 c 4 y4 3x 28 3x4 （2）y4 3x 28 3x 4 4 3( x1) 216 3 顶点为 D（1， 16 3 ） 设直线 DC 交 x 轴于点 E由 D（1， 16 3 ）C (0， 4) 易求直线CD 的解析式为y 4 3x4 易求 E（ 3，0） ，B（ 3，0）SEDB 1 2 6 16 3 16 SECA 1 2 24
15、4 S四边形 ABDCSEDBSECA12 （3）抛物线的对称轴为x 1 做 BC 的垂直平分线交抛物线于E， 交对称轴于点D3 易求 AB 的解析式为y3x3 D3E 是 BC 的垂直平分线 D3EAB 设 D3E 的解析式为 y3xb D3E 交 x 轴于（ 1，0）代入解析式得 b3, y3x3 把 x 1 代入得 y0 D3 (1，0), 过 B 做 BHx 轴，则 BH111 在 RtD1HB 中，由勾股定理得 D1H11 D1（ 1， 113）同理可求其它点的坐标。 可求交点坐标D1（ 1，113）, D2（ 1，2 2）, D3 ( 1，0), D4 (1, 113)D5（ 1，
16、 2 2） 4、(1)= 2 17 42 22 mm= 2 47mm= 2 443mm= 2 23m，不管m 为何实数，总有 2 2m0，= 2 23m0，无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点 (2) 抛物线的对称轴为直线x=3，3m， 抛物线的解析式为 215 3 22 yxx= 21 32 2 x，顶点 C 坐标为（ 3， 2） ， 解方程组 2 1, 15 3 22 yx yxx ，解得 1 1 1 0 x y 或 2 2 7 6 x y ，所以 A的坐标为（ 1，0） 、B 的坐标为（ 7，6） ， 3x 时 y=x 1=3 1=2， D 的坐标为（ 3，2） ，设抛物
17、线的对称轴与x轴的交 点为 E，则 E 的坐标为（ 3， 0） ，所以 AE=BE=3，DE=CE=2， 假设抛物线上存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形，则AP、CD 互 相垂直 平分且相等，于是P 与点 B 重合，但AP= 6，CD= 4，APCD， 故抛物线上不存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形 ()设直线 CD 向右平移n个单位（n 0）可使得C、D、M、N 为顶 点的四边形是平行四边形，则直线CD 的解析式为x=3n，直线CD 与直线 y=x1 交于点 M（3n，2n） ，又 D 的坐标为（ 3，2） ，C 坐标为（ 3， 2） ， D 通过向下平移4 个单位得到C C、D
18、、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边 Bx y O (第 3 题图 ) C A D E Bx y O (第 3 题图 ) C A P MN C O A y x D BE C O A y x D B M N l: xn E 形 （）当四边形CDMN 是平行四边形，M 向下平移4 个单位得 N， N 坐标为（ 3n，2n） ， 又 N 在抛物线 215 3 22 yxx上， 215 233 3 22 nnn， 解得 1 0n（不合题意，舍去） ， 2 2n， （）当四边形CDNM 是平行四边形，M 向上平移4 个单位得 N， N 坐标为（
19、3 n，6n ） ， 又 N 在抛物线 215 3 22 yxx上， 2 15 633 3 22 nnn， 解得 1 117n（不合题意，舍去） ， 2 117n， () 设直线CD 向左平移n个单位（n0）可使得C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线 CD 的解析式为x=3n，直线 CD 与直线 y=x1 交于点 M（3n，2n） ，又 D 的坐标为（ 3，2） ，C 坐 标为（ 3， 2） ， D 通过向下平移4 个单位得到C C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边 形 （）当四边形CDMN 是平行四边形，M 向下平
20、移4 个单位得 N， N 坐标为（ 3n，2n） ， 又 N 在抛物线 215 3 22 yxx上， 2 15 233 3 22 nnn， 解得 1 0n（不合题意，舍去） ， 2 2n（不合题意，舍去） ， （）当四边形CDNM 是平行四边形，M 向上平移4 个单位得 N， N 坐标为（ 3n，6n） ， 又 N 在抛物线 215 3 22 yxx上， 215 633 3 22 nnn， 解得 1 117n， 2 117n（不合题意，舍去） ， 综上所述，直线CD 向右平移2 或（117）个单位或向左平移（117）个单位，可使得C、D、M、 N 为顶点的四边形是平行四边形 5、解：（1）OB
21、3，OC 8 （2）连接 OD，交 OC 于点 E 四边形OACD 是菱形ADOC，OEEC 1 2 84 BE431 又 BAC90 ， ACE BAE AE BE CE AE AE 2BECE14 AE2 点 A 的坐标为(4，2) 把点 A 的坐标(4，2)代入抛物线y mx211mx24m， 得 m 1 2 抛物线的解析式为y 1 2x 211 2 x12 （ 3）直线 xn 与抛物线交于点M 点 M 的坐标为(n， 1 2n 211 2 n12) 由（ 2）知，点D 的坐标为（ 4， 2） ， 则 C、D 两点的坐标求直线CD 的解析式为y 1 2x4 点 N 的坐标为(n， 1 2n 4) MN（ 1 2n 211 2 n12）（ 1 2n4） 1 2n 25n8 S四边形 AMCN SAMNSCMN 1 2MNCE 1 2（ 1 2n 25n8） 4 (n5)2 9 当 n 5时， S四边形 AMCN9