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1、专题：万有引力与航天 一、开普勒行星运动定律 （1） 所有的行星围绕太阳运动的轨道是_, 太阳处在 _上，这就是开普勒第一定律，又称椭圆 轨道定律。 （2）对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的_. 这就是开普勒第二定 律，又称面积定律。 （3）所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值_。这就是开普勒第三定律，又 称周期定律。 若用 R表示椭圆轨道的半长轴，T 表示公转周期，则k T R 2 2 （k 是一个与行星无关的量）。 二、万有引力定律 1内容： 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与成正比，与它们 之间成反比 2公式：F，其中GNm 2/kg2
2、，叫引力常量 3适用条件： 公式适用于间的相互作用当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体 可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的 万有引力也适用，其中r为球心到间的距离 【例】 1、(2009浙江高考) 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为 圆轨道 已知太阳质量约为月球质量的2.7 10 7 倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨 道半径的400 倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（） A太阳引力远大于月球引力 B太阳引力与月球引力相差不大 C月球对不同区域海水的吸引力大小相等D月球
3、对不同区域海水的吸引力大小有差异 2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，运 行的周期为T。若以R表示月球的半径，则 A.卫星运行时的向心加速度为 2 2 4 T R B.卫星运行时的线速度为 T R2 C物体在月球表面自由下落的加速度为 2 2 4 T R D月球的第一宇宙速度为 TR hRR 3 )2（ 三、人造卫星 1、三种宇宙速度 宇宙 速度 数值 (km/s)意义 第一宇 宙速度 7.9 卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）若7.9 km/s v r v m 2 时, 卫星向近地心的轨道运动, 即做向心运动 ; 当F引T
4、1 CEk2Ek1，T2Ek1，T2T1 3、人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km ， 远地点为340km的椭圆轨道， 在飞行第五圈的时候， 飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径 R=6370km ，g=9.8m/s 2） （1）飞船在椭圆轨道1 上运行， Q为近地点， P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2 运行，以下说法正确的是（） A飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力 B飞船在 P点的万有引力大于该点所需的向心力 C飞船在轨道上P点的速度小于轨道上P的速度 D、飞船在轨道上P点的加速度小于轨道上P的加速度
5、（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对 接，则飞船一定是（） A从较低轨道上加速B. 从较高轨道上加速 C. 从同一轨道上加速 D. 从任意轨道上加速 考向三：“双星模型”问题 在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连 线上某点做周期相同的匀速圆周运动如图 （1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力 （2）具有相同的周期T 和角速度 （3）轨道半径和质量成反比 L mm m rL mm m r 21 1 2 21 2 1 , （4）双星总质量 2 32 4 M GT L 总 （其中 L 为
6、双星间距， T 为周期） 【例】如图446，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做 匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L. 已知A、B的中心和O三点始终 共线，A和B分别在O的两侧引力常量为G. (1) 求两星球做圆周运动的周期； (2) 在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B， 月球绕其轨道中心运行的周期记为T1. 但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心 做圆周运动的， 这样算得的运行周期记为T2. 已知地球和月球的质量分别为5.98 10 24 kg 和 7.35 10 22 kg. 求 T2与T1两者平方之比(结果保留3 位小数
7、 ) 考向四：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较 角速度周期线速度向心加速度向心力 m1 m2 r1 r2 O 赤道 上 自1自 TT1 Rv 11Ra 2 11 11 maF 近地 卫星 上 3 2 R GM GM R T 32 2 4 12宇 v R GM g 2 2 R GM a mgmaF 22 同步 卫星 上 自3 3 3 h)(R GM 自 TT3 GM R T 32 3 )h(4 )( 33 hRv hR GM 3 )( 2 33 hRa 2 3 )(hR GM a 33 maF 同物 比较 231231 TTT 1231宇 vvvvgaaa 231 mgFFF 231 【
8、例】如图，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕 地心做匀速圆周运动设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为 a1、a2、a3，则 ( ) Av1v2v3Bv1a2a3Da1a3a2 考向五：万有引力与抛体运动的综合（万有引力与牛顿运动定律的综合） 关键是：重力加速度g （1）由黄金代换得g （2）由抛体运动或牛顿运动定律得g 【例】我国在 2010 年实现探月计划“嫦娥工程”同学们也对月球有了更多的关注 (1) 若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球 绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球
9、运动的轨道半径 (2) 若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球， 经过时间t，小球落回抛出点已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月 考向六：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题 1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间： 据2t- 小大 则 小大 2 t， 而 T 2 则 小大 小大 TT TT t 2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线） 所需最短时间： 据t- 小大 则 小大 t， 图 447 而 T 2 则 小大 小大 TT TT t 2 【例
10、10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b 卫星离地面高度为3R，则： (1)a、b两卫星周期之比TaTb是多少？ (2) 若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？ 【课时训练】 1对万有引力定律的表达式FG m1m2 r 2，下列说法正确的是（） A公式中G为常量，没有单位，是人为规定的 Br趋向于零时，万有引力趋近于无穷大 C两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关 D两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力 2已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6 倍若某行
11、星的平均密度为地球平均密度的一半， 它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5 倍，则该行星的自转周期约为 ( ) A6 小时B12 小时 C 24 小时 D 36 小时 3在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太 空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图447 所示下列说 法正确的是 ( ) A宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s与 11.2 km/s之间 B若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到“地面”上 C宇航员将不受地球的引力作用 D宇航员对“地面”的压力等于零 4 “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径
12、为r，运行速率为v，当探 测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 Ar、v都将略为减小 Br、v都将保持不变 Cr将略为减小，v将略为增大 D r将略为增大，v将略为减小 5天文学上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象，假设地球和火星绕太阳的运动是匀速圆周运动， 周期分别是T1和T2，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一水平面上若在某时刻地球和火星都在太阳的一 侧，三者在一条直线上，那么再次出现这种现象(已知地球离太阳较近，火星较远) 所需要的时间是（） A T1T2 2 BT1T2 C T 2 1T 2 2 2 D T1T2 T2T1 6已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑
13、地球自转的影响。 （1）推到第一宇宙速度v1的表达式； （2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。 7如图所示，火箭内平台上放有测试仪，火箭从地面启动后，以加速度 g 2竖直向上匀加速 运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的 17 18. 已知地球半径为 R，求火 箭此时离地面的高度(g 为地面附近的重力加速度) 8如右图，质量分别为m和 M的两个星球A和 B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和 B两者 中心之间距离为L。已知 A、B的中心和O三点始终共线，A和 B分别在 O的两侧。引力常数为G 。 求两星球做圆周运动的周期。 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球 是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为 5.9810 24kg 和 7.35 1022kg 。求 T 2与 T1两者平方之比。 （结果保留3 位小数）