《专题12数列-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题12数列-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编含解析.pdf（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 12 数列 1【2019 年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列 n a的前 4 项和为 15，且 531 34aaa，则 3 a A16 B8 C4 D2 【答案】 C 【解析】设正数的等比数列 an的公比为q，则 23 1111 42 111 15 34 aa qa qa q a qa qa ， 解得 1 1, 2 a q ， 2 31 4aa q，故选 C 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2 【2019 年高考浙江卷】设a，bR，数列 an 满足 a1=a， an+1=an 2+b， nN，则 A 当 10 1 ,10 2 b
2、aB 当 10 1 ,10 4 ba C 当10 2,10baD 当 10 4,10ba 【答案】 A 【解析】当b=0 时，取 a=0，则0, nanN. 当0”是“ S4 + S62S5”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】 C 【 解 析 】 由 46511 210212 ( 51 0)SSSadadd， 可 知 当0d时 ， 有 465 20SSS， 即 465 2SSS，反之，若 465 2SSS，则0d，所以 “ d0” 是“ S4 + S62S5” 的充要条件，选C 【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，通过套入公式与简单运算
3、，可知 465 2SSSd， 结合充 分必要性的判断，若pq，则p是q的充分条件，若pq，则p是q的必要条件，该题“0d” “ 465 20SSS” ，故互为充要条件 7 【2019 年高考全国I 卷文数】 记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和.若 13 3 1 4 aS，则 S4=_ 【答案】 5 8 【解析】设等比数列的公比为 q，由已知 22 3111 3 1 4 Saa qa qqq，即 21 0 4 qq. 解得 1 2 q， 所以 4 4 1 4 1 1() (1)5 2 1 18 1() 2 aq S q 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算
4、、繁分式的计算， 部分考生易出现运算错误 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算 33 43431 315 () 428 SSaSa q ，避免 繁分式计算 8 【2019 年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列 n a 的前 n项和，若 37 5,13aa，则10S _. 【答案】 100 【解析】设等差数列 n a 的公差为 d，根据题意可得 31 71 25 , 613 aad aad 得 1 1, 2 a d 101 10 910 9 1010 12100. 22 Sad 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和
5、公 式是解题的关键. 9 【2019 年高考江苏卷】已知数列 * () n anN是等差数列， n S是其前 n 项和 .若 2589 0,27a aaS，则 8 S的 值是 _ 【答案】 16 【解析】由题意可得： 258111 91 470 9 8 927 2 a aaadadad Sad ， 解得： 1 5 2 a d ，则 81 87 84028216 2 Sad. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵 活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建 1 ad, 的方程组 . 10 【2018 年高考江
6、苏卷】已知集合 * |21,Ax xnnN， * |2 , n Bx xnN将AB的所有元素从 小到大依次排列构成一个数列 n a记 n S为数列 n a的前n 项和，则使得 1 12 nn Sa成立的n 的最小值为 _ 【答案】 27 【解析】所有的正奇数和 2 n nN按照从小到大的顺序排列构成 n a， 在数列 | n a中， 2 5前面有 16个正奇数， 即 56 21382 ,2aa.当n=1时，12 11224Sa，不符合题意； 当 n=2时， 23 31236Sa，不符合题意； 当n=3时， 34 61248Sa，不符合题意；当n=4时， 45 1012=54 2 0Sa,符合题
7、意 .故使得 +1 12 nn Sa成立的 n的最小值为 27. 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学 运算 . 11【2017 年高考江苏卷】 等比数列 n a 的各项均为实数， 其前 n项和为 n S ， 已知 36 763 44 SS, ， 则 8 a_ 【答案】 32 【解析】当1q时，显然不符合题意； 当1q时， 3 1 6 1 (1)7 14 (1)63 14 aq q aq q ，解得 1 1 4 2 a q ，则 7 8 1 232 4 a 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：利用基本量，将
8、多元问题简化为一元 问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律 的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性 质成立的前提条件，有时需要进行适当变形在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“ 巧用性质、整体 考虑、减少运算量” 的方法 12 【2019 年高考全国I 卷文数】记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，已知S9=- a5 （1）若 a3=4，求 an 的通项公式； （2）若 a10，求使得 Sn an的 n 的取值范围 【答案】（1）210 n an； （2）110()nn N
9、. 【解析】（ 1）设 na 的公差为 d 由 95 Sa得 1 40ad 由a3=4得 1 24ad 于是 1 8,2ad 因此 n a的通项公式为102 n an （2）由（ 1）得 1 4ad，故 (9) (5) , 2 nn n nd and S. 由 1 0a知0d，故 nn Sa等价于 2 1110 0nn,，解得 1 n 10 所以 n的取值范围是|110,nnnN 【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求 和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 13【 2019 年高考全国II 卷文数】已知
10、n a是各项均为正数的等比数列， 132 2,216aaa. （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba，求数列 n b的前 n 项和 【答案】（1） 21 2 n n a； （2） 2 n S n . 【解析】（1）设 n a的公比为 q，由题设得 2 2416qq，即 2 280qq 解得2q（舍去）或 q=4 因此 n a的通项公式为 121 242 nn n a （2）由（ 1）得 2 (21)log 221 n bnn， 因此数列 n b的前 n项和为 2 1321nn 【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查 等差数
11、列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题. 14 【2019 年高考北京卷文数】设an是等差数列， a1=10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列 （1）求 an 的通项公式； （2）记 an 的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 【答案】（1）212 n an； （2）当5n或者6n时， n S 取到最小值30. 【解析】（1）设 n a的公差为d 因为 1 10a ， 所以 234 10,102 ,103ad ad ad 因为 234 10,8,6aaa成等比数列， 所以 2 324 8106aaa 所以 2 ( 22 )( 43 )ddd 解得2d 所
12、以 1 (1) 212 n aandn （2）由（ 1）知， 212 n an 所以，当 7n 时，0 n a；当6n时， 0 n a 所以， n S的最小值为 6 30S 【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌 握等差数列的有关公式并能灵活运用. 15 【 2019年 高 考 天 津 卷 文 数 】 设 n a是 等 差 数 列 ， n b是 等 比 数 列 ， 公 比 大 于0 ， 已 知 112332 3,43abba ba. （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）设数列 n c满足 2 1 n n n c bn ， 为奇数 ,
13、， 为偶数 . 求 * 1 12222 () nn a ca ca cnN. 【答案】（1）3 n an，3 n n b； （2） 22 (21)369 () 2 n nn nN 【解析】（1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q . 依题意，得 2 332 , 3154 , qd qd 解得 3, 3, d q 故 1 33(1)3 ,3 33 nn nn annb. 所以， n a的通项公式为3 n an， n b的通项公式为3 n n b. （2） 1 12222nn a ca ca c 135212 142632nnn aaaaa ba ba ba b 123 (1
14、) 36(6312318363 ) 2 n n n nn 212 36 1 3233 n nn. 记 12 1 3233 n n Tn, 则 231 31 3233 n n Tn, - 得， 1 2311 3 13 (21)33 233333 1 3 32 n n nnn n n Tnn. 所以， 1 22 1 12222 (21)33 3633 2 n nnn n aca ca cnTn 22 (21)369 2 n nn nN. 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基 本方法和运算求解能力，属于中档题目. 16 【2019 年高考江
15、苏卷】定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M数列 ”. （1）已知等比数列an( )nN满足：245132 ,440a aaaaa ，求证 :数列 an为 “M 数列 ” ； （2）已知数列 bn( )nN满足 :1 1 122 1, nnn b Sbb ，其中 Sn为数列 bn的前 n 项和 求数列 bn 的通项公式； 设 m 为正整数，若存在“M 数列 ”cn( )nN，对任意正整数k，当 k m 时，都有 1kkk cbc 剟成立，求m 的最大值 【答案】（1）见解析；（2） bn=n * nN ； 5. 【解析】（ 1）设等比数列an的公比为 q，所以 a10 ，q 0. 由 24
16、5 321 440 a aa aaa ，得 244 11 2 111 440 a qa q a qa qa ，解得 1 1 2 a q 因此数列 n a为“ M 数列 ”. （2）因为 1 122 nnn Sbb ，所以0 n b 由 111 1,bSb，得 2 122 11b ，则 2 2b. 由 1 122 nnn Sbb ，得 1 1 2() nn n nn b b S bb ， 当2n时，由 1nnn bSS ，得 11 11 22 nnnn n nnnn b bbb b bbbb ， 整理得 11 2 nnn bbb 所以数列 bn 是首项和公差均为 1的等差数列 . 因此，数列 b
17、n 的通项公式为 bn=n * nN. 由知， bk=k， * kN . 因为数列 cn 为“ M 数列 ” ，设公比为 q，所以 c1=1， q0. 因为 ck bk ck+1，所以 1kk qkq，其中 k=1， 2，3，m. 当k=1时，有 q1 ； 当k=2，3，m时，有 lnln ln 1 kk q kk 设f（x）= ln (1) x x x ，则 2 1 ln ( ) x f x x 令( )0f x，得 x=e.列表如下： x (1,e) e (e， +) ( )f x + 0 f（x）极大值 因为 ln 2ln8ln 9ln 3 2663 ，所以 max ln 3 ( )(3
18、) 3 f kf 取 3 3q，当 k=1，2，3，4，5时， ln ln k q k ,，即 k kq， 经检验知 1k qk也成立 因此所求 m的最大值不小于5 若m6 ，分别取 k=3， 6，得 3 q 3，且 q56 ，从而 q15 243 ，且 q15 216 ， 所以 q不存在 .因此所求 m的最大值小于 6. 综上，所求 m的最大值为 5 【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归 及综合运用数学知识探究与解决问题的能力 17【 2019 年高考浙江卷】设等差数列 n a的前n 项和为 n S， 3 4a， 43 aS，数列
19、n b满足：对每个 12 , nnnnnn nSbSbSbN成等比数列 （1）求数列, nn ab的通项公式； （2）记, 2 n n n a cn b N证明： 12+ 2,. n cccn nN 【答案】（1）21 n an，1 n bn n； （2）证明见解析. 【解析】（ 1）设数列 n a的公差为 d，由题意得 111 24,333adadad， 解得 1 0,2ad 从而 * 22, n annN 所以 2* n SnnnN， 由 12 , nnnnnn Sb SbSb成等比数列得 2 12nnnnnn SbSbSb 解得 2 12 1 nnnn bSS S d 所以 2* , n
20、 bnn nN （2） *221 , 22 (1)(1) n n n ann cn bn nn n N 我们用数学归纳法证明 （i）当 n=1时， c1=01，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项数列 bn满 足 b 1=1，数列 （ bn+1- bn ）a n 的前 n 项和为 2n 2+n （1）求 q 的值； （2）求数列 bn的通项公式 【答案】（ 1）2q； （2） 2 1 15(43) () 2 n n bn. 【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力. （1）由 4 2a是 35 ,a a的等差中项得 35
21、4 24aaa， 所以 3454 3428aaaa ， 解得 4 8a. 由 35 20aa得 1 8()20q q ， 因为1q，所以2q. （2）设 1 () nnnn cbb a ，数列 n c 前 n 项和为n S. 由 1 1 ,1, ,2. n nn S n c SSn 解得41 n cn. 由（ 1）可知 1 2 n n a， 所以 1 1 1 (41) () 2 n nn bbn， 故 2 1 1 (45) (),2 2 n nn bbnn， 11123221 ()()()() nnnnn bbbbbbbbbb 23 111 (45) ( )(49) ()73 222 nn n
22、n. 设 22111 3711 ()(45) ( ),2 222 n n Tnn ， 22111111 37 ( )(49) ( )(45) () 22222 nn n Tnn 所以 22111111 344 ()4 ()(45) () 22222 nn n Tn， 因此 21 14(43) ( ),2 2 n n Tnn， 又 1 1b ，所以 2 1 15(43) () 2 n n bn. 【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出 “ ” 与“” 的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出“” 的
23、表达式； (3)在 应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1 两种情况求解. 24 【2018 年高考江苏卷】设 n a是首项为 1 a ，公差为d 的等差数列， n b是首项为 1 b ，公比为q 的等比数列 （1）设 11 0,1,2abq，若 1 | nn abb 对1,2,3,4n均成立，求d 的取值范围； （2）若 * 11 0,(1, 2 m abmqN，证明：存在dR ，使得 1 | nn abb 对2,3,1nm均成立，并求d 的 取值范围（用 1, ,b m q表示） 【答案】（1）； （2）见解析 . 【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义
24、、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及 综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16 分 （1）由条件知： 因为 1 | nn abb 对 n=1， 2，3，4 均成立， 即对 n=1，2，3，4 均成立， 即 11，1d3，32d5，73d9，得 因此， d 的取值范围为 （2）由条件知： 若存在 d，使得 1 | nn abb （n=2，3， ，m+1）成立， 即， 即当时， d 满足 因为，则， 从而，对均成立 因此，取d=0 时， 1 | nn abb 对均成立 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（） 当时， 当时，有，从而 7 5 , 3 2 1 12(,) n nn
25、and b 1 12|()1| n nd 75 32 d 7 5 , 3 2 1 11(1) , n nnabnd bb q 1 111|1|2,3,(1() n bndb qb nm 2,3,1nm 11 11 2 11 nn qq bdb nn (1, 2 m q 1 12 nm qq 1 1 2 0 1 n q b n 1 1 0 1 n q b n 2,3,1nm 2,3,1nm 1 2 1 n q n 1 1 n q n 2,3,1nm 2nm 111 2222 111 () ()() nnnnnnnn qqnqqnqn qqq nnn nn n 1 12mq2 nm qq 1 ()
26、 20 nnn n qqq 因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为 设， 当 x0 时， 所以单调递减，从而0 假设 n=k 时， xk0， 那么 n=k+1 时，若 1 0 k x，则 11 0ln(1)0 kkk xxx，矛盾，故 1 0 k x 因此0() n xnN 所以 111 ln(1) nnnn xxxx， 因此 1 0() nn xxnN （2）由 11 ln(1) nnn xxx得， 2 111111422(2) ln(1)nnnnnnnnx xxxxxxx 记函数 2 ( )2(2)ln(1)(0)f xxxxxx， 2 2 ( )ln(1)0(0) 1 xx f x
27、xx x ， 函数 f(x)在0，+）上单调递增，所以( )(0)f xf=0，因此 2 11111 2(2) ln(1)()0 nnnnn xxxxf x， 故 1 1 2() 2 nn nn x x xxnN （3）因为 11111 ln(1)2 nnnnnn xxxxxx， 所以 1 1 2 n n x， 由 1 1 2 2 nn nn x x xx，得 1 1111 2()0 22 nn xx ， 所以 12 11 111111 2()2()2 222 nn nn xxx ， 故 2 1 2 nn x 综上， 12 11 () 22 n nn xnN 【名师点睛】 本题主要应用： （1）数学归纳法证明不等式； （2）构造函数， 利用函数的单调性证明不等式；（3） 利用递推关系证明