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1、28.1 锐角三角函数（ 1） 教学设计 教学目标 知识与能力 1. 通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都 固定（即正弦值不变）这一事实。 2. 能根据正弦概念正确进行计算。 3. 经历当直角三角形的锐角固定时， 它的对边与斜边的比值是固定值这一事实， 发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 过程与方法 通过锐角三角函数的学习， 进一步认识函数， 体会函数的变化与对应的思想，逐 步培养学生会观察，比较，分析，概括等逻辑思维能力。 情感，态度与价值观 引导学生探索，发现，以培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习 惯。 教学重难点及突破 1重
2、点 理解认识正弦 sinA 概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边 的比值是固定值这一事实。 2. 难点 引导学生比较，分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的 事实。 3. 教学突破 采用由特殊到一般的方法展开讨论：在讨论直角三角形中，30和 45角的对 边与斜边的比为固定值的基础上讨论锐角为任意给定度数的情形。这种由特殊到一 般的过度，可以使学生有较多机会的体验：在直角三角形中，当锐角度数一定时， 这个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。这为认识正弦函数的概念铺设了必要 的台阶，从而水到渠成地概括给出正弦函数的概念。 教学准备 2 教师准备：多媒体，课件，三角板
3、。 学生准备：三角板等作图工具 教学设计 一复习引入 师：抢答题：（相信你的反应是最快的） 在直角三角形中，两锐角之间的关系是什么？三边之间的关系是什么？ 学生抢答后，老师表扬，调动学生积极性。 师：直角三角形中，两角，三边除了上面关系外，还有哪些新关系呢？这就是 这节课要学习的内容 -锐角三角函数 （设计意图：通过抢答题，调动学生的积极性，从而引出本节课的内容） 二自主学习，合作探究 （一）引入正弦。 （1）探究 30对边与斜边的比值 课件展示教材 61页“问题” ：为了绿化荒山， 某地打算从位于山脚下的机井房沿 着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡 与水平
4、面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水 管？ 分析：问题转化为在RtABC中，C 90，A30， BC 35m ，求 AB （设计意图：以实际问题为背景创设情境，激发学生兴趣。培养学生发现数学并 将实际问题转化为数学问题的能力） 生思考后回答：“根据直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半” ，求 出 AB=2BC=70m, 即需要准备 70m长的水管。 教师用数学语言表示为：发现 2 1 AB BCA 斜边 的对边 , 可得 AB=2BC=70m. 思考：在上面的问题中，如果出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管？ （教材 61 页第一个思考） 师：
5、你能把它转化为数学问题吗？ 生：在 RtABC中，C 90，A30， BC 50m ，求 AB. 教师用数学语言表示为：发现 2 1 AB BCA 斜边 的对边 3 师：观察上面的两个发现，你有什么结论？ 生：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，它的对边与斜边的比值是固定 值 2 1 ，与三角形的大小无关。 （2）探究 45角的对边与斜边的比值 教材第 61 页第二个“思考”： 如图，任意画一个RtABC ，使 C90， A 45，计算 A的对边与斜边的比 AB BC ，你能得出什么结论？（学生思考） 师：上面的 30的题目中，都有具体数值，我们很容易求出斜边的长，但本题 中没有具体长，如何
6、求 AB BC ？ 学生讨论交流后的答案是： 生：可以设 BC=X, 因为C 90，A 45，所以 ABC是等腰直角三角形， 则 AC=BC=X, 根据勾股定理得出： AB= X2 , 师：根据刚才的叙述，如何计算 AB BC 呢？，你要注意什么问题？ 生： 2 2 2 1 2X X AB BC , 要注意二次根式的化简。 师：还有其它方法吗？ 生：根据刚才 30的题目，可以去两个或3 个特殊值，如 BC=1,2,3 时，根据勾 股定理求出斜边，从而也能求出 AB BC 的值。 师：通过对本题的探究，你能得出什么结论？ 生： 在直角三角形中， 当一个锐角等于45时，不管这个直角三角形的大小如
7、何，这个角的对边与斜边的比都是一个固定值等于 2 2 。 师：综上可知，在一个RtABC 中，C 90，当 A30时， A的对边与 斜边的比是一个固定值等于2 1 ，与三角形的大小无关；当A45时，A的对 边与斜边的比都也是一个固定值等于 2 2 ， 也是一个固定值，与三角形的大小无关。 师：通过刚才的这两个结论，你有哪些猜想？ 4 通过学生的猜想引出问题：当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边 的比是否也是一个固定值？ （3）探究任意锐角的对边与斜边的比值 课件展示教材62 页“探究”：任意画 RtABC和 RtABC ，使得 CC 90，AA，那么 AB BC 与 BA CB 有什么
8、关系你能解释一下吗？ 生：在图中，由于 CC90， AA ， 所以 RtABC Rt ABC 因此即。 师：通过刚才的探究，你能得出什么结论？ 生：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何， A的对边与斜边的比也是一个固定值。 师：我们把这个固定的值叫做这个角的正弦。 （设计意图：让学生经历由特殊到一般的探究过程，使学生体验合理的猜想是 数学学习中研究问题的方法之一。 ） （二）认识正弦。 师：分析讲解正弦定义，如图，在RtABC中，C90，我们把锐角 A的对 边与斜边的比值叫做 A的正弦（ sine ） ，记住 sinA 即 板书：（举例说明： a=1,c=3, 则 sin
9、A=3 1 ） 生：类比写出 .sinB= c b 。 师：注意： sinA 是线段之间的比值，没有单位。 师：请同学们思考一下，要求一个角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的 哪些边？ 生：知道对边与斜边就可计算了。 （三）正弦简单应用 例 1： （课件展示教材63页例 1） BA AB CB BC BA CB AB BC c aA A 斜边 的对边 sin 5 师：思考要求一个角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？ 图（1）中求出什么就可以了？你是怎么计算的？图（2）呢？ 生口述解题过程，与之同时，教师出示课件解题过程。 （设计意图：巩固正弦概念，通过教师示范，使学生回求正弦，经过
10、强化，使全 体学生都达到目标，更加突出重点。 ） 三巩固新知 学生先独立完成，教师巡视指导，最后组内交流. 1. 根据下图，求 sinA 和 sinB 的值 2. 在 RtABC中， C=90 ， 13 5 sin A ，AB=26cm, 求 BC长。 3.如图， RtABC 中， C=90，CDAB，图中不能表示 sinB 的是（） AB AC A. BC CD B. AC AD C. AC CD D. 拓展：若 C=5,CD=3,求 sinB 的值. （设计意图：三道练习题的选题都有一定的目的性，第一题主要是正弦概念的 6 巩固训练，提示学生注意勾股定理及二次根式的化简；第二题是正弦概念的
11、变式训 练，正弦，对边，斜边知道其中的两个，可以列方程求第三个；此题还有一个优点 就是设 5X,13X 这种简便计算方法的渗透；第三题是正弦概念的拓展训练，借助此题 给学生的信息就是转化思想，求一个角的正弦值，可以转化到求与它相等的角的正 弦值；在讲解中及时点拨，达到做一道会一类的效果。非常好。） 四总结提升 1. 本节课所学的正弦定义是什么？在应用时注意哪些问题？ 2. 本节课你学到了哪些数学思想？ 3. 你还学到了哪些解题方法？ 五当堂达标 一选择 1.在 RtABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大100倍，sinA 的值为（） A.扩大 100倍B.缩小 C.不变D.不能确定 2.如
12、图,则 sinA=(_) 7 3 . A 2 1 .B 2 2 .C 3.如图，在下列网格中， 小正方形的边长均为1，点 A、B、O 都在格点上， 则ABC 的正弦值是（） 4.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 3，1） ，AO 与 X 轴正半轴所成的夹 D.不能确定 5 4 .A 5 3 .B 3 4 .C 4 3 .D 7 角为 a,则 sin 的值为（） 二填空题 5.已知圆锥的母线长为13cm， 高 12cm， 为设圆锥的母线与高的夹角为,如图， 则sin 的值为. 6.如图， AB 是圆 O 的直径， CD 是弦， CDAB, BC=6,AC=8, 题中 ABDsin 的值 是. （设计意图：共五道题，注意训练正弦定义，但在选题时，注意了把三角函数渗透 到格点，坐标系，圆锥，圆等知识中，让学生初步感受此节知识与其它知识点的密 切联系及重要性。） 六板书设计 正弦 c aA A 斜边 的对边 sin A B C 对边 a 斜边 b c 3.A 3 1 .B 10 10 .C 10 103 .D