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1、第二讲绝对值 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等 式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对 值的定义来解决这些问题 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一 个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值 结合相反数的概念可知，除零外， 绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数反之， 相反数的绝对值相等也成立由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的
2、绝对值是非负 数 例 1 a，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)a+b =a+ b； (2)ab=a b； (3)a-b=b-a ； (4)若 a=b，则 a=b ； (5)若 a b，则 ab； (6)若 ab，则 a b 解 (1)不对当a，b 同号或其中一个为0 时成立 (2)对 (3)对 (4)不对当a0 时成立 (5)不对当b0 时成立 (6)不对当ab0 时成立 例 2 设有理数 a， b， c 在数轴上的对应点如图1-1 所示， 化简 b-a + a+c+c-b 解 由图 1-1 可知， a0，b 0，c0，且有 c a b 0根据有理数加 减运算的符号法
3、则，有b-a 0， ac0，c-b 0 再根据绝对值的概念，得 b-a =a-b ， a+c =-(a+c) ， c-b=b-c 于是有 原式 =(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c 例 3 已知 x -3，化简： 3+2-1+x 分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号 解 原式 =3+2+(1+x) (因为 1+x0) =3+3+x =3-(3+x) (因为 3+x 0) =-x =-x 解 因为abc 0，所以 a0，b0，c0 (1)当 a，b，c 均大于零时，原式=3； (2)当 a，b，c 均小于零时，原式=-3； (3)
4、当 a，b，c 中有两个大于零，一个小于零时，原式=1； (4)当 a，b，c 中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1 说明本例的解法是采取把a，b， c 中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种 解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用 例 5 若 x=3， y =2，且 x-y =y-x ，求 x+y 的值 解 因为 x-y 0，所以 y-x 0，yx由 x=3， y=2 可知， x0，即 x=-3 (1)当 y=2 时， x+y=-1 ； (2)当 y=-2 时， x+y=-5 所以 x+y 的值为 -1 或-5 例 6 若 a，b，c 为整数，且 a-b 19+c-a 99
5、 =1，试计算 c-a +a-b +b-c 的值 解 a，b，c 均为整数，则a-b ，c-a 也应为整数，且a-b 19， c-a99 为两个非负 整数，和为1，所以只能是 a-b 19=0 且 c-a99=1 ， 或 a-b 19=1 且 c-a99=0 由有 a=b 且 c=a 1，于是 b-c =c-a=1； 由有 c=a 且 a=b 1，于是 b-c =a-b=1无论或都有 b-c =1 且 a-b + c-a=1， 所以 c-a +a-b +b-c=2 解 依相反数的意义有 x-y+3 =-x+y-1999 因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有x-y+3 =0 且 x+y-1999 =0即