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1、二次函数知识点 一、基本概念： 1二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是 全体实数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式， x的最高次数是2 abc， ，是常数， a是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项 二、基本形式 1. 二次函数基本形式： 2 yax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc的性质：（上加下减） a的符号开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a向上0
2、0，y 轴 0x时，y 随 x的增大而增大；0x时，y随 x的增大而减小；0x时， y 有最小值0 0a向下00，y 轴 0x时，y 随 x的增大而减小；0x时，y随 x的增大而增大；0x时， y 有最大值0 a的符号开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0c， y 轴 0x时，y 随 x的增大而增大；0x时，y随 x的增大而减小；0x时， y 有最小值 c 0a向下0c，y 轴 0x时，y 随 x的增大而减小；0x时，y随 x的增大而增大；0x时， y 有最大值 c 3. 2 ya xh的性质：（左加右减） 4. 2 ya xhk的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
3、 方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a (x-h)2 y=ax 2+k y=ax2 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减， 上加下减” a的符号开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a向上0h，X=h xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y
4、随 x的增大而减小；xh时， y 有最小值0 0a向下0h，X=h xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时， y 有最大值0 a的符号开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a向上hk，X=h xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时， y 有最小值k 0a向下hk，X=h xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时， y 有最大值k 方法 2： cbxaxy 2 沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 （或mcbxaxy 2 ） cbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移m
5、个单位，cbxaxy 2 变成 cmxbmxay)()( 2 （或cmxbmxay)()( 2 ） 四、二次函数 2 ya xhk与 2 yaxbxc的比较 从解析式上看， 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bacb hk aa ， 五、二次函数 2 yaxbxc图象的画法 五点绘图法： 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点 为： 顶点、与y轴的
6、交点0c，、 以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、 与x轴的交点 1 0x ， 2 0x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 六、二次函数 2 yaxbxc的性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时， y随 x的增大而减小；当 2 b x a 时， y随 x的增大而增大；当 2 b x a 时， y 有 最小值 2 4 4 acb a 2. 当0a时，抛物线开口向下， 对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ，当 2 b x a 时， y 随 x的增大而增大；当 2 b x a 时， y 随 x的增大而减小；当 2 b x a 时， y有最大值 2 4 4 acb a 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（ a，b， c为常数，0a） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk（ a，h，k为常数，0a） ； 3. 两根式： 12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与 x轴两交点的横坐标）.