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1、大题专项练(三)立体几何A组基础通关1.如图,在三棱锥A-BCD中,ABC是等边三角形,BAD=BCD=90,点P是AC的中点,连接BP,DP.(1)证明:平面ACD平面BDP;(2)若BD=6,且二面角A-BD-C为120,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.(1)证明因为ABC是等边三角形,BAD=BCD=90,所以RtABDRtCBD,可得AD=CD.因为点P是AC的中点,则PDAC,PBAC,因为PDPB=P,PD平面PBD,PB平面PBD,所以AC平面PBD.因为AC平面ACD,所以平面ACD平面BDP.(2)解方法一:如图,作CEBD,垂足为E,连接AE.因为RtABDRtCBD
2、,所以AEBD,AE=CE,AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120,知AEC=120.在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=3AE,因为ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=3AE.在RtABD中,有12AEBD=12ABAD,得BD=3AD,因为BD=6,所以AD=2.又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.则AE=233,ED=63.由CEBD,AEBD可知BD平面AEC,则平面AEC平面BCD.过点A作AOCE,交CE的延长线于O,则AO平面BCD.连接OD,则ADO为直线AD与平面BCD所成的角.在RtAEO中,AEO=60,所以AO=32AE=
3、1,sinADO=AOAD=22.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为22.方法二:如图,作CEBD,垂足为E,连接AE.因为RtABDRtCBD,所以AEBD,AE=CE,AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120,知AEC=120.在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=3AE,因为ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=3AE.在RtABD中,有12AEBD=12ABAD,得BD=3AD,因为BD=6,所以AD=2.又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.则AE=233,ED=63.以E为坐标原点,以向量EC,ED的方向分别为x轴,y轴的正方向,以过点
4、E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,则D0,63,0,A-33,0,1,向量AD=33,63,-1,平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),设直线AD与平面BCD所成的角为,则cos=mAD|m|AD|=-121=-22,sin=|cos|=22.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为22.2.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1为菱形,A1C=BC.(1)求证:A1B平面AB1C;(2)若ABB1=60,CBA=CBB1,ACB1C,求二面角B-AC-A1的余弦值.(1)证明因为侧面ABB1A1为菱形,所以A1BAB1,记A1BAB1=O,连
5、接CO,因为A1C=BC,BO=A1O,所以A1BCO,又AB1CO=O,所以A1B平面AB1C.(2)解方法一:因为CBA=CBB1,AB=BB1,BC=BC,所以CBACBB1,所以AC=B1C.又O是AB1的中点,所以COAB1,又A1BCO,A1BAB1=O,所以CO平面ABB1A1.令BB1=2,因为ACB1C,O为AB1的中点,所以CO=1.如图,以O为坐标原点,OB所在的直线为x轴,OB1所在的直线为y轴,OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系.O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,0,1),A1(-3,0,0),AB=(3,1,0),AC=(0,1,1
6、),AA1=(-3,1,0),A1C=(3,0,1).设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则n1AB=0,n1AC=0,即3x+y=0,y+z=0,令x=1,则n1=(1,-3,3),同理可得平面A1AC的一个法向量为n2=(1,3,-3).cos=n1n2|n1|n2|=-57,由图知二面角B-AC-A1为钝角,所以二面角B-AC-A1的余弦值为-57.方法二:因为CBA=CBB1,AB=BB1,BC=BC,所以CBACBB1,所以AC=B1C.设AB=2,因为ABB1=60,侧面ABB1A1为菱形,所以AA1=AB1=2,OA=OB1=1,OB=OA1=3.又ACB1C,所以CO=
7、1,AC=B1C=2,又A1C=BC,O为A1B的中点,所以BC=A1C=2,所以ABC为等腰三角形,A1AC为等腰三角形.如图,取AC的中点M,连接BM,A1M,则BMA1为二面角B-AC-A1的平面角.在BMA1中,可得BM=A1M=142,A1B=23,所以cosBMA1=BM2+A1M2-A1B22BMA1M=-57,所以二面角B-AC-A1的余弦值为-57.3.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC平面BCGF,CB=2GF,BF=CF.(1)求证:ABCG;(2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.(1)证明取BC的中点为D,连接DF,如图.由题意得
8、,平面ABC平面EFG,平面ABC平面BCGF=BC,平面EFG平面BCGF=FG,从而BCFG.CB=2GF,CDGF,四边形CDFG为平行四边形,CGDF.BF=CF,D为BC的中点,DFBC,CGBC.平面ABC平面BCGF,且平面ABC平面BCGF=BC,CG平面BCGF,CG平面ABC,又AB平面ABC,CGAB.(2)解连接AD.由ABC是正三角形,且D为BC的中点得,ADBC.由(1)知,CG平面ABC,CGDF,DFAD,DFBC,DB,DF,DA两两垂直.以D为坐标原点,DB,DF,DA所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.设BC=2,则A(0,0,3)
9、,B(1,0,0),F(0,3,0),G(-1,3,0),BG=(-2,3,0).CB=2GF,AB=2EF,E-12,3,32,AE=-12,3,-32,BE=-32,3,32.设平面BEG的法向量为n=(x,y,z),由BGn=0,BEn=0,可得-2x+3y=0,-32x+3y+32z=0.令x=3,则y=2,z=-1,n=(3,2,-1)为平面BEG的一个法向量.设AE与平面BEG所成的角为,则sin=|cos|=AEn|AE|n|=64.直线AE与平面BEG所成角的正弦值为64.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,PCD为正三角形,BAD=30,AD=4,A
10、B=23,平面PCD平面ABCD,E为PC的中点.(1)证明:BEPC;(2)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值.(1)证明如图,连接BD,DE,BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=4,BD=2,AB2+BD2=AD2,ABBD,BDCD.平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,BD平面PCD,BDPC.PCD为正三角形,E为PC的中点,DEPC,PC平面BDE,BEPC.(2)解方法一:作PGCD且PG=12CD,则PGAB,PG为平面PAB与平面PCD的交线,连接GD,GB,设F为CD的中点,连接PF,则PG=DF,故四边形DFPG为平行四边形,所以D
11、GPG,由(1)可知BDCD,BDPG,PG平面BDG,BGPG,BGD就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角.DG=PF=3,BD=2,BG=13,cosBGD=DGBG=313=31313.即平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为31313.方法二:如图建立空间直角坐标系D-xyz,则A(2,-23,0),B(2,0,0),P(0,3,3),PA=(2,-33,-3),PB=(2,-3,-3),可知平面PCD的一个法向量为m=(1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x0,y0,z0),则nPA=2x0-33y0-3z0=0,nPB=2x0-3y0-3z0=0,即n=(
12、3,0,2).设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为,cos=|mn|m|n|=313=31313.即平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为31313.5.如图,在等腰梯形ABCD中,ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,CD=2AB=2EF=4,M为DF的中点.现将四边形BEFC沿EF折起,使平面BEFC平面AEFD,得到如图所示的多面体.在图中:(1)证明:EFMC;(2)求二面角M-AB-D的余弦值.(1)证明由题意,可知在等腰梯形ABCD中,ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,EFCD.折叠后,EFDF,EFCF.DFCF=F,EF平面DCF.又MC平面DCF,EFMC
13、.(2)解平面BEFC平面AEFD,平面BEFC平面AEFD=EF,且DFEF,DF平面BEFC,DFCF,DF,CF,EF两两垂直.以F为坐标原点,分别以FD,FC,FE所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.由题意知DM=FM=1.M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2).MA=(0,0,2),AB=(-1,1,0),DA=(-1,0,2).设平面MAB、平面ABD的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2).由MAm=0,ABm=0,得2z1=0,-x1+y1=0,取x1=1,则m=(1,1,0)为平面MAB的一
14、个法向量.由DAn=0,ABn=0,得-x2+2z2=0,-x2+y2=0,取x2=2,则n=(2,2,1)为平面ABD的一个法向量.cos=mn|m|n|=2+223=223,二面角M-AB-D的余弦值为223.6.如图,四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,CC1底面ABCD,且BAD=60,CD=CC1=2C1D1=4,E是棱BB1的中点.(1)求证:AA1BD;(2)求二面角E-A1C1-C的余弦值.证明(1)因为CC1底面ABCD,所以CC1BD.因为底面ABCD是菱形,所以BDAC.由四棱台ABCD-A1B1C1D1知,A1,A,C,C1四点共面.又ACCC1=C
15、,所以BD平面ACC1.所以BDAA1.(2)如图,设AC与BD交于点O,连接OA1,依题意得,A1C1OC且A1C1=OC,所以四边形A1OCC1是平行四边形,所以A1OCC1,且A1O=CC1.所以A1O底面ABCD.以O为坐标原点,OA,OB,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.则A(23,0,0),A1(0,0,4),C1(-23,0,4),B(0,2,0),由A1B1=12AB得,B1(-3,1,4).因为E是棱BB1的中点,所以E-32,32,2.所以EA1=32,-32,2,A1C1=(-23,0,0).设平面EA1C1的法向量为n1=(x,y,z),则n1A
16、1C1=0,n1EA1=0,即-23x=0,32x-32y+2z=0,取z=3,则n1=(0,4,3)为平面EA1C1的一个法向量.又n2=(0,1,0)为平面AA1C1C的一个法向量,所以cos=n1n2|n1|n2|=45,由图可知,二面角E-A1C1-C为锐二面角,所以二面角E-A1C1-C的余弦值为45.B组能力提升7.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ABCD,BAD=90,CD=2AB=2,PA平面ABCD,PA=AD=2,M为PC的中点.(1)求证:平面PBC平面BMD;(2)求二面角M-BD-P的余弦值.(1)证明在直角梯形ABCD中,BD=3,cosBDC=
17、cosDBA=13=33,在BCD中,由余弦定理得,BC=3.因为PA平面ABCD,所以PAAB,PAAD,所以PB=3,PD=2,所以PCD,PCB是等腰三角形,又M为PC的中点,所以PCMD,PCMB,又MDMB=M,所以PC平面MDB,又PC平面PBC,所以平面PBC平面BDM.(2)解如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),所以PB=(1,0,-2),PC=(2,2,-2),PD=(0,2,-2).设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),由PDn=
18、0,PBn=0,得2y-2z=0,x-2z=0,取x=2,则可得平面PBD的一个法向量n=(2,1,1).由(1)可得平面BDM的一个法向量为PC=(2,2,-2).cos=nPC|n|PC|=2242=12,所以二面角M-BD-P的余弦值为12.8.如图,等腰直角三角形ABC中,B=90,平面ABEF平面ABC,2AF=AB=BE,FAB=60,AFBE.(1)求证:BCBF;(2)求二面角F-CE-B的正弦值.(1)证明等腰直角三角形ABC中,B=90,即BCAB,又平面ABC平面ABEF,平面ABC平面ABEF=AB,BC平面ABC,BC平面ABEF,又BF平面ABEF,BCBF.(2)
19、解由(1)知BC平面ABEF,故建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,设AF=1,则由已知可得B(0,0,0),C(0,2,0),F32,0,32,E(-1,0,3),EC=(1,2,-3),EF=52,0,-32,BC=(0,2,0),设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),则有nEC=0nEF=0x+2y-3z=0,52x-32z=0,令x=3,则z=5,y=23,即n=(3,23,5)为平面CEF的一个法向量.设平面BCE的法向量为m=(x1,y1,z1),则有mEC=0mBC=0x1+2y1-3z1=0,2y1=0,y1=0,x1=3z1,令x1=3,则m=(3,0,1)为平面BCE的一个法向量.设二面角F-CE-B的平面角为,则|cos|=mn|m|n|=3+52210=105,sin=155,二面角F-CE-B的正弦值为155.