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1、中考数学专题复习分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定 的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次 ” 方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合
2、）中动点问题的分类。 1：分式方程无解的分类讨论问题 例题 1：（2011武汉）a 3 4 93 3 2 无解，求 xx ax x 解：去分母，得： 1.6,8 01a3 1-a 21 -3 1-a 21 - 211-a )3(4)3(3 aaa x xaxx 或者 或或由已知 ）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？68aa或 例题 2：（2011郴州）a2 11 2 无解，求 x a x 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题 3：（2010上海）已知方程01) 12( 22 xmxm有实数根，求 m 的取值范围。 （1）当0 2 m时，即 m=0 时，方程为一元一次方程x+1=
3、0，有实数根 x=1 A B C （2）当0 2 m时 ， 方 程 为 一 元 二 次 方 程 ， 根 据 有 实 数 根 的 条 件 得 ： 4 1 -m,0144)12( 22 即mmm，且0 2 m 综（1）（2）得， 4 1 m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略0 2 m的条件） 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式， 即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二 次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 例题 4：（2011 益阳）当m 是什么
4、整数时，关于x 的一元二次方程044 2 xmx与 05444 22 mmmxx的根都是整数。 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即0 2 m，0m，1.m,0 1 解得 同理，. 4 5 m,0 2 解得1m 4 5 且0m，又因为m 为整数.11或取m （1）当 m=1 时，第一个方程的根为222x不是整数，所以m=1 舍去。 （2）当 m=1 时，方程1、 2的根均为整数，所以m=1. 练习：已知关于的一元二次方程01) 1( 2 xxm有实数根，则的取值范围是： 1m 4 5 0 01 且m m 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题 :5：（2011青海）
5、方程0189 2 xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形 的周长为（） 12 12 或 15 15 不能确定 例题 6：（2011武汉）三角形一边长AB 为 13cm，另一边 AC 为 15cm，BC 上的高为 12cm, 求此三角形的面积。（ 54 或 84） 例题 8：（2011 四校联考）一条绳子对折后成右图A、B, A.B 上一点 C，且有 BC=2AC,将 其从 C 点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为： 60cm 或 120cm A B 1 p C D 2 p 4 p 3 p 4：动点问题的分类分类讨论问题 4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论
6、； 例题 9：（2011 永州）正方形 ABCD 的边长为 10cm，一动点 P从点 A 出发，以 2cm/秒的速度 沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A 点停止，求点 P运动 t 秒时， P，D 两点间的距 离。 解：点 P 从 A 点出发，分别走到B，C，D，A 所用时间是秒，秒，秒，秒， 即 5 秒，10 秒，15秒，20 秒。 （ 1）当0t5 时，点P 在线段AB上， |PD|=|P1D|= (cm) （2） 当 5 t10 时 ， 点 P 在 线段 BC 上 ， |PD|=|P2D|= （3）当 10t15 时，点 P在线段 CD 上，|PD|=|P3D|=30-2t （4）当
7、 15t20 时，点 P在线段 DA 上，|PD|=|P4D|=2t-30 综上得： |PD|= 总结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点 D 之间的距离，应根据P点的不同位置构 造出不同的几何图形，将线段PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。 4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。 例题 10：（2010福建）已知一次函数33 3 3 xy与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，试在 x 轴上找一点 P，使 PAB 为等腰三角形。 分析： 本题中 PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没 有确定。 PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB； （2）PA=AB ；（3）PB=AB。先可以求出B 点坐标 ()033， ，A 点坐标（ 9，0）。设 P 点坐 标为)0( ，x，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有四解，分别 为)0369()0369()03()09(，、，、，、，。（不适合条件的解已舍去） 总结： 解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧 扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动 引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。