分式重点难点类型题分类试题.pdf

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1、才艺辅导：第一讲分式运算 （一） 、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例 1】下列代数式中： yx yx yx yx ba ba yx x 1 , 2 1 , 22 ，是分式的有：. 题型二：考查分式有意义的条件 【例 2】当x有何值时，下列分式有意义 （1） 4 4 x x （2） 2 3 2 x x （3） 1 2 2 x （4） 3| 6 x x (5) x x 1 1 （6） 3|6 1 x （7） 1) 1( 3 2 x x （8） x 1 1 1 题型三：考查分式的值为0 的条件 【例 3】当x取何值时，下列分式的值为0. （1） 3 1 x x （ 2） 4 2| 2

2、 x x （ 3） 65 32 2 2 xx xx （4） 4 |1|5 x x （5） 56 25 2 2 xx x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例 4】 （1）当x为何值时，分式 x8 4 为正； （2）当x为何值时，分式 2 ) 1(3 5 x x 为负； （3）当x为何值时，分式 3 2 x x 为非负数 . 解下列不等式 （1）0 1 2| x x （2）0 32 5 2 xx x （二）分式的基本性质及有关题型 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1） yx yx 4 1 3 1 3 2 2 1 （ 2） ba

3、 ba 04.0 03.02.0 题型二：分数的系数变号 【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1） yx yx （2） ba a （3） b a 题型三：化简求值题 1 已知：5 11 yx ，求 yxyx yxyx 2 232 的值 . 2 已知：2 1 x x，求 2 21 x x的值 . 3 若0) 32(|1| 2 xyx，求 yx24 1 的值 . 4已知：3 1 x x，求 1 24 2 xx x 的值 . 5已知：3 11 ba ，求 aabb baba232 的值 . 6若01062 22 bbaa，求 ba ba 53 2 的值 . 7如

4、果21x，试化简 x x 2 |2| x x x x| |1| 1 . （三）分式的运算 题型一：通分 【例 1】将下列各式分别通分. （1） cb a ca b ab c 22 5 , 3 , 2 ；（2） ab b ba a 22 , ； （3） 2 2 , 21 , 1 222 xxxx x xx ；（4） a a 2 1 , 2 题型二：约分 【例 2】约分： （1） 3 2 20 16 xy yx ；（2） nm mn 22 ；（ 3） 6 2 2 2 xx xx . 题型三：分式的混合运算 【例 3】计算： （1） 42 2 3 2 )()()( a bc ab c c ba ；（

5、2） 2223 3 )()() 3 ( xy xy yx yx a ； （3） mn m nm n mn nm22 ；（4） 1 1 2 a a a ； （5） 8 7 4 3 2 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 x x x x x x xx ； （6） )5)(3( 1 )3)(1( 1 ) 1)(1( 1 xxxxxx ； （7）) 1 2 () 2 1 44 4 ( 2 2 2 x xx x xx x 题型四：化简求值题 【例 4】先化简后求值 （1）已知：1x，求分子) 1 2 1 ()1 4 4 ( 4 8 1 2 2 xx x x 的值； （2）已知： 432 zyx ，求

6、 222 32 zyx xzyzxy 的值； （3）已知：013 2 aa，试求) 1 )( 1 ( 2 2 a a a a的值 . 题型五：求待定字母的值 【例 5】若 11 1 31 2 x N x M x x ，试求NM ,的值 . 练习： 1计算 （1） bac cb acb cba cba cba232 ；（2） ba b ba 2 2 ； （3）) 4 )( 4 ( ba ab ba ba ab ba；（4） 2 1 2 1 1 1 1 x xx ； （5） )2)(1( 1 )3)(1( 2 ) 3)(2( 1 xxxxxx . 2先化简后求值 （1） 1 1 12 4 2 1

7、22 2 aaa a a a ，其中a满足0 2 aa. （2）已知3:2: yx，求 2 3 22 )()()( y x x yx yx xy yx 的值 . 3已知： 121) 12)(1( 45 x B x A xx x ，试求A、B的值 . 4当a为何整数时，代数式 2 805399 a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四） 、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算 【例 1】计算：（1） 3132 )()(bca（2） 2322123 )5()3(zxyzyx （3） 2 42 53 )()( )()( baba baba （4） 6223 )()()(yxyxyx

8、 题型二：化简求值题 【例 2】已知5 1 xx，求（ 1） 22 xx的值； （2）求 44 xx的值 . 题型三：科学记数法的计算 【例 3】计算：（1） 223 )102.8()103(； （2） 3223 )102()104(. 练习 ： 1计算：（1） 2008200702 4)25. 0()31 (| 3 1 |) 5 1 () 5 1 3 1 ( （2） 322231 )()3(nmnm（3） 2323 2222 )()3( )()2( abba baab （4） 21 222 )()(2 )()(4 yxyx yxyx 2已知015 2 xx，求（ 1） 1 xx， （2） 2

9、2 xx的值 . 第二讲 分式方程 （一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （1） xx 3 1 1 ； （2）0 1 3 2 xx ； （3）1 1 4 1 1 2 x x x ； （4） x x x x 4 5 3 5 题 型 二 ： 特 殊 方 法 解 分 式 方 程（ 1 ） 换 元 法 ， 设y x x 1 ； （ 2）裂项法， 6 1 1 6 7 xx x .） 【例 2】解下列方程 （1）4 44 1x x x x ；（2） 5 6 9 10 8 9 6 7 x x x x x x x x 【例 3】解下列方程组 )3( 4 111 )2(

10、 3 111 ) 1( 2 111 xz zy yx 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于x的分式方程 3 1 3 2 x m x 有增根，求m的值 . 【例 5】若分式方程1 2 2 x ax 的解是正数，求a的取值范围 . （提示：0 3 2a x且2x，2a且4a.） 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于x的方程 )0(dc d c xb ax 题型五：列分式方程解应用题 1解下列方程： （1）0 21 2 1 1 x x x x ；（2） 3 4 2 3xx x ； （3）2 2 3 2 2 xx x ；（4） 1 7 1 37 2 2 22 x x xxxx （5） 2

11、 1 23 52 42 45 x x x x （6） 4 1 2 1 5 1 1 1 xxxx （7） 6 8 1 1 7 9 2x x x x x x x x 2解关于x的方程： （1） bxa 211 )2(ab； （2）)( 11 ba x b bx a a . 3如果解关于x的方程 2 2 2x x x k 会产生增根，求k 的值 . 4当 k 为何值时，关于x的方程1 )2)(1(2 3 xx k x x 的解为非负数 . 5已知关于x的分式方程a x a 1 12 无解，试求a的值 . （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要

12、检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1解方程： 2 31 xx 二、化归法三、左边通分法 例 2解方程： 0 1 2 1 1 2 x x 例 3：解方程：8 7 1 7 8 xx x 四、分子对等法五、观察比较法 例 5解方程： 4 17 4 25 25 4 x x x x 例 4解方程：)( 11 ba x b bx a a 六、分离常数法七、分组通分法 例 7解方程： 4 1 3 1 5 1 2 1 xxxx 例 6解方程： 8 7 3 2 9 8 2 1 x x x x x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法 例1

13、若分式方程 x m x x 22 1 无解，求m的值。 例2若关于 x的方程 1 1 1 2 2 x x x k x x 不会产生增根，求 k的值。 例3若关于x分式方程 4 3 22 1 2 xx k x 有增根，求k的值。 例 4若关于x的方程 1 151 221 x k xx k xx 有增根1x，求k的值。 例题 5如果解关于x的方程 2 2 2x x x k 会产生增根，求k 的值 . 例题 6当 k 为何值时，关于x的方程1 )2)(1(2 3 xx k x x 的解为非负数. 例题 7已知关于x的分式方程a x a 1 12 无解，试求a的值 . 例题 8若关于x的分式方程 3

14、1 1 xa xx 无解，则a。 例题 9、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算如下：ab= ba ba ， 如 32=5 23 23 那么 124= 例题 10用换元法解方程063x x 3 ) 1 ( 2 x x时，若设y x 1 x，则原方程变形为 关于 y 的方程是 例题 11已知12,4 xyyx，求 1 1 1 1 y x x y 的值； （10 分） 例题 12计算 )1999x)(1998x( 1 . )3x)(2x( 1 )2x)(1x( 1 )1x(x 1 并求当 x=1 时, 该代数式的值.(10 分) 例题 13解方程 1 4x + 1 7x = 1 5x + 1

15、 6x 例题 14、已知 2 1 x xx =5，求 2 42 1 x xx 的值。 例题 15已知 2 410xx，求 4 4 1 x x 的值。 例题 16设1abc，求 111 abc ababcbcac 的值。 18已知 M 22 2 yx xy 、N 22 22 yx yx ，用“ +”或“”连结M、N,有三种不同的形式， M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x： y=5：2。 第三讲分式的实际应用 1.分式有意义的应用 2.例 1. 若abab10，试判断 1 1 1 1ab ，是否有意义。 分析： 要判断 1 1 1 1ab ，是否有意义，须看其

16、分母是否为零，由条件中等式左边因 式分解，即可判断ab11，与零的关系。 解：abab10 a bb()()110 即()()ba110 b10或a10 1 1 1 1ab ，中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例 2. 计算： aa a aa a 22 1 1 31 3 分析：如果先通分， 分子运算量较大， 观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分 离分式法”简化计算。 解： 原式 a a a a a a ()()11 1 31 3 a a a a aa aa aa a aa 1 1 1 3 1 1 1 3 31 13 22 13 ()

17、()() ()() ()() 例 3. 解方程：1 1 76 55 56 2 2 2 xx xx xx 分析： 因为xxxx 2 7616()()，xxxx 2 5623()()，所以最简公 分母为：()()()()xxxx1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于 xx xx xx xxxx 2 2 2 22 55 56 561 56 1 1 56 故可得如下解法。 解： xx xxxx 2 22 561 56 1 1 56 原方程变为1 1 76 1 1 56 22 xxxx 1 76 1 56 7656 0 22 22 xxxx xxxx x 经检验，x0是原方程的根。 3. 在

18、代数求值中的应用 例 4. 已知aa 2 69与|b1互为相反数，求代数式 () 42 2 2222 22 22 ab ab aba b aabb a bab b a 的值。 分 析 ： 要 求 代 数 式 的 值 ， 则 需 通 过 已 知 条 件 求 出a、 b的 值 ， 又 因 为 aaa 22 6930()，|b10，利用非负数及相反数的性质可求出a、 b的值。 解： 由已知得ab3010，解得ab31， 原式 ()()() () 42 2 22 abab ab ab ba aabb ab ab b a () ()() () () ()() () ()() ab ab abab aba

19、bb ab ab b a ab ab ab ab ab ab abab b a ab a b 2222 2 2 2 2 1 把ab31，代入得：原式 1 12 4. 用方程解决实际问题 例 5. 一列火车从车站开出，预计行程450 千米，当它开出3 小时后，因特殊任务多停一 站，耽误30 分钟，后来把速度提高了0.2 倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 解： 设这列火车的速度为x 千米 /时 根据题意，得 450 3 1 2 4503 12x x x. 方程两边都乘以12x，得5400 42450030xx 解得x75 经检验，x75是原方程的根 答： 这列火车原来的速度为75 千米

20、/时。 5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。 而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。 例 6. 已知x y y 23 32 ，试用含 x 的代数式表示y，并证明()()32 3213xy。 解： 由x y y 23 32 ，得3223xyxy 3223 3223 23 32 xyyx xyx y x x () () () ()() 32 3 23 32 2 6964 32 13 32 32 3213 x y y yy yy xy 6、中考原题： 例 1已知 M xy xyy xy xy xy 22 2 22 2 ，则 M_。 分析： 通过分式

21、加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出 M。 解： 2 2 22 xyy xy xy xy 22 222 22 2 22 22 xyyxxyy xy x xy M xy Mx 2 例 2已知xx 2 320，那么代数式 ()xx x 11 1 32 的值是 _。 分析：先化简所求分式，发现把xx 2 3看成整体代入即可求的结果。 解：原式()()xxxxxxx112113 222 xxxx 22 32032 原式xx 2 32 7、题型展示： 例 1. 当 x 取何值时，式子 | |x xx 2 32 2 有意义？当x 取什么数时，该式子值为零？ 解： 由xxxx 2

22、32120()() 得x 1或2 所以，当x1和x2时，原分式有意义 由分子| | x 20得x2 当x2时，分母xx 2 320 当x2时，分母xx 2 320，原分式无意义。 所以当x2时，式子 | | x xx 2 32 2 的值为零 例 2. 求 xmn xmn xmn xmn xm xn 2 2 22 22 () () 的值，其中xmn23 1 2 。 分析： 先化简，再求值。 解： 原式 ()() ()() ()() ()() xmxn xmxn xmxm xnxn () () xm xn 2 2 xmn xmxnmn 23 1 2 23 1 4 1 6 ， 原式 () () ()

23、 () xm xn mm nn 2 2 2 2 2 3 m n 2 2 2 24 1 4 4 1 6 9 16 () () 【实战模拟】 1. 当 x 取何值时，分式 21 1 1 x x 有意义？ 1. 解： 由题意得 x x 0 1 1 0 解得x0且x1 当x0且x1时，原式有意义 2. 有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是t0，它放出热量 Q 后，温度降为多少？（铁的 比热为 c） 2. 解： 设温度降为t，由已知得： Qmc tttt Q mc tt Q mc () 00 0 答： 温度降为()t Q mc 0 3. 计算：xy y xy x y yx 2 4 2 4 4 22 22

24、. 分析： 此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。 因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。 解： 原式 ()() ()() xyxyy xy x y yxyx 224 2 4 22 22 x xy x y xyxy xx yx y xyxy xxy xyxy x xy 22 322 2 2 2 4 22 24 22 2 22 2 ()() ()() () ()() 4. 解方程： x x x x x x x x 2 1 4 3 6 5 8 7 解： 原方程化为1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 7xxxx 1 1 1 3 1 5

25、1 7xxxx 方程两边通分，得 2 13 2 57()()()()xxxx ()()()()xxxx5713 化简得832x 解得x4 经检验：x4是原方程的根。 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单 独做则要超过3 天。现在甲、乙两人合作2 天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日 期是多少天 5. 分析： 设规定日期是x 天，则甲的工作效率为 1 x ，乙的工作效率为 1 3x ，工作总量为1 解： 设规定日期为x 天 根据题意，得2 11 3 2 3 1() xx x x 解得x6 经检验x6是原方程的根 答： 规定日期是6 天。 6.已知

26、43602700xyzxyzxyz，求 xyz xyz2 的值。 解：436012702xyzxyz( )( )， 由(1)(2)解得 xz yz 3 2 xyz xyz zzz zzz2 32 322 4 3 7、阅读下列材料： 111 1 1 323 ， 1111 35235 ， 1111 57257 ， 1111 17 192 1719 ， 1111 1 3355 71719 = 111 111 11111 (1)()()() 232 352 572 1719 = 11111111 (1) 2335571719 = 119 (1) 21919 解答下列问题： （1）在和式 111 1 3

27、3 557 中，第 6 项为_，第 n 项是_ （2）上述求和的想法是通过逆用_法则，将和式中的各分数转化为两个 数之差，使 得除首末两项外的中间各项可以_，从而达到求和的目的 （3）受此启发，请你解下面的方程： 1113 (3)(3)(6)(6)(9)218x xxxxxx 8、如果 abc=1, 求证 1 1 aab + 1 1 bbc + 1 1 cac =1 解：原式 = 1 1 aab + aababc a + ababcbca ab 2 = 1 1 aab + aab a 1 + aba ab 1 = 1 1 aab aab =1 9、已知 a 1 + b 1 = )(2 9 ba ，则 a b + b a 等于多少？ 解： a 1 + b 1 = )(2 9 ba ab ba = )(2 9 ba 2(ba) 2 =9ab 2 2 a+4ab+2 2 b=9ab 2（ 22 ba） =5ab ab ba 22 = 2 5 a b + b a = 2 5