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1、2.3.2抛物线的简单几何性质（1）,高二数学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程,一、温故知新,(一) 圆锥曲线的统一定义,平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e1时，是双曲线 .,当0e1时，是椭圆；,(定点F不在定直线l上),当e=1时，是抛物线 .,(二) 抛物线的标准方程,(1)开口向右,y2 = 2px (p0),(2)开口向左,y2 = -2px (p0),(3)开口向上,x2 = 2py (p0),(4)开口向下,x2 = -2py (p0),由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何
2、性质?,即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.,则 (-y)2 = 2px,若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0.,即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本
3、特征的草图.,2p,2p越大，抛物线张口越大.,练习1:已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 .,16,通径的长度|AB|=,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,|PF|=x0+p/2,焦半径公式：,F,焦点弦长度公式：,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,二、讲授新课,特点:,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线
4、;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），,解:,所以设方程为：,因此所求抛物线标准方程为：,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），求它的标准方程.,三、典例精析,题型一：求抛物线的标准方程-待定系数法,当焦点在x(y)轴上，开口方向不定时，设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0)，可避免讨论,练习：P63 1、2、3,想一想,题型二：弦
5、长问题,方法探究：,具体步骤由同学们给出.,答案：,法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);,法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);,法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理, 计算弦长.,法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.,【变式训练】,A,练习2: 2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为_ 3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.,y2 = 8x,X=3,16,（1）已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P = 。,（2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ， 则焦
6、点到AB的距离为 。,4,2,（3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两 点，那么线段AB的中点坐标是 。,四、课堂练习,5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线 上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6,4、求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点在直线x-2y-4=0上. (2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为,6、已知Q(4,0)，P为抛物线 上任一点，则|PQ|的最小值为( ) A. B. C. D.,B,C,五、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
7、,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.,1、范围：,2、对称性：,3、顶点：,4、离心率：,5、通径：,6、光学性质：,从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.,再见！,作 业：,课本 P64：A组 3,探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。,抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。,灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。,平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后
8、，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。,例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。,(40,30),解:,设抛物线的标准方程为:y2=2px,由条件可得A (40,30),代入方程得:,302=2p40,解之: p=,故所求抛物线的标准方程为: y2= x,焦点为( ,0),例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？,o,A,思考题,2,B,A（2,2）,x2=2y,B（1，y）,y=0.5,B到水面的距离为1.5米,不能安全通过,y=3代入得,