勾股定理的各类题型.pdf

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1、勾股定理各种题型： 一：勾股定理面积相等法： 方法 1： 方法 2： 方法 3： 二：方程思想和勾股定理结合的题目 1. （2016 春?宜春期末）一旗杆在其的 B 处折断，量得 AC=5 米， 则旗杆原来的高度为 （） A米B2米C10 米 D米 【考点】 勾股定理的应用 【分析】 可设 AB=x ，则 BC=2x ，进而在 ABC 中，利用勾股定理求解x 的值即可 【解答】 解：由题意可得，AC 2=BC2AB2，即（ 2x）2x2=52，解得 x= ， 所以旗杆原来的高度为3x=5，故选 D 【点评】 能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形 2.（2016 春?防城区期中）如图，在AB

2、C 中， B=40 ，EFAB， 1=50 ，CE=3，EF 比 CF 大 1，则 EF 的长为（） A5 B6 C3 D4 【考点】 勾股定理；平行线的性质 【分析】 由平行线的性质得出A= 1=50 ，得出 C=90 ，设 CF=x，则 EF=x+1，根据勾 股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF 的长 【解答】 解： EFAB， A=1=50 ， A+B=50 +40 =90 ， C=90 ， 设 CF=x，则 EF=x+1， 根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2， 即 32+x 2=（x+1）2， 解得： x=4， EF=4+1=5， 故选： A 【点评】 本题考查了平行线的性质

3、、直角三角形的判定、勾股定理； 熟练掌握平行线的性质， 并能进行推理论证与计算是解决问题的关键 3.（2015 春?蚌埠期中）已知，如图长方形ABCD 中， AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折 叠，使点 B 与 D 重合，折痕为EF，则 BE 的长为（） A3cm B4cm C5cm D6cm 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 根据折叠的性质可得BE=ED ，设 AE=x ，表示出BE=9x，然后在RtABE 中， 利用勾股定理列式计算即可得解 【解答】 解：长方形折叠点B 与点 D 重合， BE=ED ， 设 AE=x ，则 ED=9 x，BE=9x， 在 RtABE 中，

4、 AB 2+AE2=BE2， 即 32+x 2=（9x）2， 解得 x=4， AE 的长是 4， BE=94=5， 故选 C 【点评】 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE 的长的 方程是解题的关键 4.（ 2008 秋?奎文区校级期末）在我国古代数学著作九章算术 中记载了一个有趣的问题， 这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根 新生的芦苇，它高出水面1 尺，如图所示， 如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到 达岸边的水面那么水深多少？芦苇长为多少？ 【考点】 勾股定理的应用 【分析】 找到题中的直角三角形，设水深为

5、x 尺，根据勾股定理解答 【解答】 解；设水深为x 尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：， 解得： x=12（尺）， 芦苇的长度 =x+1=12+1=13（尺）， 答：水池深12 尺，芦苇长13 尺 【点评】 此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数 学的辉煌成就 三：勾股定理应用：求最短距离问题 1.（2014 秋?环翠区期中）如图，长方体的底面边长为1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一 根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（） A12cm B11cm C10cm D9cm 【考点】 平面展开 -最短路径问题 【分

6、析】 要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“ 两点之间线段最短” 得出结果 【解答】 解：将长方体展开，连接A、B， 则 AA =1+3+1+3=8（cm）， A B =6cm， 根据两点之间线段最短，AB =10cm 故选 C 【点评】 本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“ 化立体为平 面” ，用勾股定理解决 2.（2016 春?繁昌县期末）如图，是一长、宽都是3cm，高 BC=9cm 的长方体纸箱，BC 上 有一点 P，PC=BC，一只蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是（） A6cm B3cm C10cm D 12cm 【考点】 平面

7、展开 -最短路径问题 【分析】 将图形展开，可得到安排AP 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可 【解答】 解： （1） 如图 1， AD=3cm ， DP=3+6=9cm， 在 RtADP 中，AP=3cm； （2）如图 2，AC=6cm ，CP=3+3=6cm， Rt ADP 中， AP=6cm 综上，蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是6cm 故选 A 【点评】 本题考查了平面展开最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键 3.（2016?大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是 20cm，那么所

8、需彩带最短的是（） A13cm B4cm C4cm D 52cm 【考点】 平面展开 -最短路径问题 【分析】 要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“ 两点之间线段最短” 得出结果，在 求线段长时，借助于勾股定理 【解答】 解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A 处绕易拉罐4 圈后到达顶端的B 处，将易 拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 易拉罐底面周长是12cm，高是 20cm， x 2=（124）2+202， 所以彩带最短是52cm 故选 D 【点评】 本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长 等于圆柱底面周长，高等于

9、圆柱的高， 本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“ 化曲面为平面 ” ， 用勾股定理解决 4.（2016?游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm 和 6cm，在罐 内点 E 处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD 中心的正上方 2cm 处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm（） A7 B C24 D 【考点】 平面展开 -最短路径问题 【分析】 做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根 据勾股定理即可计算 【解答】 解： 若蚂蚁从平面ABCD 和平面 CDFE 经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离如图1： HE=7， 若蚂蚁

10、从平面ABCD 和平面 BCEH 经过， 则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2： HE= 故选 B 【点评】考查了平面展开最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点， 然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段 5.（2015 秋?宜兴市校级期中）如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是10cm 【考点】 平面展开 -最短路径问题 【分析】 此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答 【解答】 解：底面圆周长为2 r，底面半圆弧长为 r，即半圆弧长为： 2 =6 （cm）， 展开得： BC=8cm ，AC=6

11、cm ， 根据勾股定理得：AB=10（cm） 故答案为： 10 【点评】 此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出 展开图，表示出各线段的长度 四：网格问题 （简单）1、 在边长为1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则ABC 中 BC 边上的高为 答案：设 ABC 中 BC 边上的高为h AB 2 =5 ，AC 2 =20 ，BC 2 =25 ， BC 2 =AB 2 +AC 2 ， A=90 ， S ABC = 2 1 ABAC= 2 1 BCh，即 525 =5h 解得， h=2 故答案是： 2 2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为

12、1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称 为“ 格点多边形 ” 如图（一）中四边形ABCD 就是一个 “ 格点四边形 ” （1）求图（一）中四边形ABCD 的面积； （2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使 EFG 的面积等于四边形ABCD 的 面积且为轴对称图形 D C B A 图（一）图（二） 答案：解：（ 1）方法一： S 1 2 6 4 12 方法二： S 4 6 1 2 2 1 1 2 4 1 1 2 3 4 1 2 2 3 12 （2）（只要画出一种即可） 3、如图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上 请按要求完成下列各题： （1）画

13、ADBC（D 为格点），连接CD； （2）试判断 ABC 的形状？请说明理由； 答案：（ 1）图象如图所示； （2）由图象可知AB 2=12+22=5， AC2=22+42=20， BC2=32+42=25， BC2=AB 2+AC 2， ABC 是直角三角形。 4、如图，是一块由边长为20cm 的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A 处， ?它想先 后吃到小朋友撒在B、C 处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？ C B A 答案： AB=5cm ，BC=13cm ?所以其最短路程为18cm （难题） 5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （ 1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （ 2）图中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是 多少？ （ 3）求出图中线段AC 的长（可作辅助线）。 【答案】（ 1）单位正三角形的高为，面积是。 （2）如图可直接得出平行四边形ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积 。 （3）过 A 作 AK BC 于点 K（如图所示），则在RtACK 中，