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1、大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数 : 1. 类型 : (1)数列 : *( ) n af n; * 1 () nn af a (2)初等函数 : (3)分段函数 : * 01 02 ( ) ( ), ( ) xxf x F x xxfx ; * 0 0 ( ) ( ), xxf x F x xxa ;* (4)复合 (含f)函数 : ( ),( )yf uux (5)隐式 (方程 ): ( , )0F x y (6)参式 (数一 ,二): ( ) ( ) xx t yy t (7)变限积分函数 : ( )( , ) x a F xf x t dt (8)级数和
2、函数 (数一 ,三): 0 ( ), n n n S xa xx 2. 特征 (几何 ): (1)单调性与有界性(判别 ); ( )f x单调 000 , ()( )()xxxf xf x定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数: 11 ( )( )( )yf xxfyyfx 二. 极限性质 : 1. 类型 : *lim n n a; *lim( ) x fx(含x); * 0 lim( ) xx f x(含 0 xx) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量 ): 3. 未定型 : 000 , 1 , 0, 0 , 0 4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并
3、性 三. 常用结论 : 1 1 n n, 1 (0)1 n aa, 1 ()m ax (,) nnnn abca b c, 00 ! n a a n 1 (0)x x , 0 lim1 x x x, l i m0 n x x x e , ln lim0 n x x x , 0 l i ml n0 n x xx, 0 , x x e x 四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当( )0u x时, s i n()()u xu x; tan ( )( )u xu x; 2 1 1cos ( )( ) 2 u xux; () 1( ) u x eu x; ln(1( )( )u xu x; (1(
4、 )1( )u xu x; ar c si n()(u xu x; arctan ( )( )u xu x 2. 泰勒公式 : (1) 221 1() 2! x exxo x; (2) 221 ln(1)() 2 xxxo x; (3) 341 sin() 3! xxxo x; (4) 245 11 cos1() 2!4! xxxo x; (5) 22 (1) (1)1() 2! xxxo x. 五. 常规方法 : 前提 : (1)准确判断 0 ,1 , 0 M(其它如 : 00 , 0,0 ,); (2)变量代换 (如: 1 t x ) 1. 抓大弃小(), 2. 无穷小与有界量乘积(M)
5、(注: 1 sin1,x x ) 3. 1 处理 (其它如 : 00 0 ,) 4. 左右极限 (包括x): (1) 1 (0)x x ; (2)() x ex; 1 (0 ) x ex; (3)分段函数 : x, x, max( )f x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则 (1)先” 处理 ” ,后法则 ( 0 0 最后方法 ); (注意对比 : 1 ln lim 1 x xx x 与 0 ln lim 1 x xx x ) (2)幂指型处理 : ( )( )ln( ) ( ) v xv xu x u xe(如: 11111 11 (1) xxx
6、xx eeee) (3)含变限积分 ; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : ( )lim( , ) n f xF x n(分段函数 ) 六. 非常手段 1. 收敛准则 : (1)( )lim( ) n x af nf x (2)双边夹 : *? nnn bac, *,? nn b ca (3)单边挤 : 1 () nn af a* 21? aa*? n aM*( )0?fx 2. 导数定义 (洛必达 ?): 0 0 l i m () x f fx x 3. 积分和 : 1 0 112 l i m()()() () n n ffffx
7、 d x nnnn , 4. 中值定理 : lim ()( )lim( ) xx fxaf xaf 5. 级数和 (数一三 ): (1) 1 n n a 收敛lim0 n n a, (如 2! lim n n n n n ) (2) 12 1 lim() nn n n aaaa, (3) n a与 1 1 () nn n aa 同敛散 七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 (等价 ,阶): *( ),(0)? n f xkxx (1) (1)( ) (0)(0)(0)0,(0) nn ffffa( )() ! nnnaa f xxxx nn (2) 00 ( ) xx n f t dtkt d
8、t 2. 渐近线 (含斜 ): (1) ( ) lim,lim( ) xx f x abf xax x ( )fxaxb (2)( )f xaxb,( 1 0 x ) 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2)分段函数连续性(附:极限函数 , ( )fx连续性 ) 八. , a b上连续函数性质 1. 连通性 : ( , ),fa bm M(注:01, “ 平均 ” 值 : 0 ( )(1)( )()f af bf x) 2. 介值定理 : (附: 达布定理 ) (1)零点存在定理 : ( )( )0f a f b 0 ()0f x(根的个数 ); (2)( )0( )0 x a
9、 f xf x dx. 第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一. 基本概念 : 1. 差商与导数 : ( )fx 0 ()( ) lim x fxxf x x ; 0 ()fx 0 0 0 ( )() lim xx f xf x xx (1) 0 ( )(0) (0)lim x f xf f x (注: 0 ( ) lim( x f x A f x 连续 )(0)0,(0)ffA) (2)左右导 : 00 (),()fxfx; (3)可导与连续 ; (在0x处, x连续不可导 ; x x可导 ) 2. 微分与导数 : ()( )( )()( )ff xxf xfxxoxdffx
10、dx (1)可微可导 ; (2)比较,fdf与“0“的大小比较 (图示 ); 二. 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式; (注: ( )f x) 2. 法则 : (1)四则运算 ; (2)复合法则 ; (3)反函数 1 dx dyy 三. 各类求导 (方法步骤 ): 1. 定义导 : (1)( )fa与( ) x a fx; (2)分段函数左右导; (3) 0 ()() lim h f xhf xh h (注: 0 0 ( ) ( ), xxF x f x xxa , 求: 0 (),( )fxfx及( )fx的连续性 ) 2. 初等导 (公式加法则 ): (1)( )uf g x, 求
11、: 0 ()u x(图形题 ); (2)( )( ) x a F xf t dt, 求:( )Fx(注: ( , ), ( , ), ( ) xbb aaa f x t dtf x t dtf t dt) (3) 01 02 ( ) , ( ) xxfx y xxfx ,求 00 (),()fxfx 及 0 ()fx(待定系数 ) 3. 隐式 ( , )0f x y)导 : 2 2 , dyd y dxdx (1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法 . 4. 参式导 (数一 ,二): ( ) ( ) xx t yy t , 求: 2 2 , dyd y d
12、xdx 5. 高阶导 () ( ) n fx公式 : ( ) () axnnax ea e; () 1 1! () () n n n b n abxabx ; ( ) (sin)sin() 2 nn axaaxn; ( ) (cos)cos() 2 nn axaaxn ()( )1(1)2(2) ()“ nnnn nn uvuvC uvC uv 注: ( ) (0) n f与泰勒展式 : 2 012 ( ) n n f xaa xa xa x ( ) (0) ! n n f a n 四. 各类应用 : 1. 斜率与切线 (法线 ); (区别 : ( )yf x上点 0 M和过点 0 M的切线
13、) 2. 物理 : (相对 )变化率速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): 23 “( ) ( 1 ( ) fx fx (曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三 ): (附: 需求 , 收益 , 成本 , 利润 ) 五. 单调性与极值(必求导 ) 1. 判别 (驻点 0 ()0fx): (1) ( )0( )fxf x; ( )0( )fxf x; (2)分段函数的单调性 (3)( )0fx零点唯一 ; “( )0fx驻点唯一 (必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : (1)表格 ( )fx变号 ); (由 000 2 ( )( )( ) lim0, lim0, li
14、m00 xxxxxx fxfxfx x xxx 的特点 ) (2)二阶导 ( 0 ()0fx) 注(1)f与,“ff的匹配 (f图形中包含的信息); (2)实例 : 由( )( )( )( )fxx f xg x确定点 “ 0 xx” 的特点 . (3)闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 ) 3. 不等式证明 ( )0f x) (1)区别 : * 单变量与双变量? * , xa b与 ,),(,)xax? (2)类型 : *0,( )0ff a; *0,( )0ff b *“0,( ),( )0ff af b; * 00 “( )0,()0,()0fxfxf x (3)
15、注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . (如: max ( )( )f xMfxM) 4. 函数的零点个数: 单调介值 六. 凹凸与拐点 (必求导 !): 1. “y表格 ; ( 0 “()0fx) 2. 应用 : (1)泰勒估计 ; (2)f单调 ; (3)凹凸 . 七. 罗尔定理与辅助函数: (注 : 最值点必为驻点) 1. 结论 : ( )( )( )( )0F bF aFf 2. 辅助函数构造实例: (1)( )f( )( ) x a F xf t dt (2)( ) ( )( )( )0( )( )( )fgfgF xf x g x (3) ( ) ( ) ( )( )( )0( )
16、( ) fx fgfgF x g x (4)( )( )( )0ff ( ) ( )( ) x dx F xef x; 3. ( ) ( )0( ) n ff x有1n个零点 (1) ( ) n fx有2个零点 4. 特例 : 证明 ( ) ( ) n fa的常规方法 :令( )( )( ) n F xf xP x有1n个零点 ( ) n P x待定 ) 5. 注: 含 12 ,时,分家 !(柯西定理 ) 6. 附(达布定理 ): ( )f x在 , a b可导 ,( ),( )cfafb, , a b,使:( )fc 八. 拉格朗日中值定理 1. 结论 : ( )( )( )()f bf a
17、fba; ( )( ),( )0ab) 2. 估计 : ( )ffx 九. 泰勒公式 (连接,“fff之间的桥梁 ) 1. 结论 : 23 000000 11 ( )()()()“()()“( )() 2!3! f xf xfxxxfxxxfxx; 2. 应用 : 在已知( )f a或( )f b值时进行积分估计 十. 积分中值定理(附:广义 ): 注:有定积分 (不含变限 )条件时使用 第三讲 : 一元积分学 一. 基本概念 : 1. 原函数( )F x: (1)( )( )Fxf x; (2)( )( )f x dxdF x; (3)( )( )f x dxF xc 注(1)( )( )
18、x a F xf t dt(连续不一定可导); (2)() ( )( )( ) xx aa xt f t dtf t dtf x( )f x连续 ) 2. 不定积分性质: (1)( )( )f x dxf x; ( )( )df x dxf x dx (2) ( )( )fx dxf xc; ()()d fxfxc 二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法 : 拆(线性性 ) 1212 ()() )()()k fxk gxd xkfx d xkgx d x 3. 凑微法 (基础 ): 要求巧 ,简,活 ( 22 1sincosxx) 如: 211 (),ln, 2 dx dxd axbxdxdxdx ax 2 dx dx x 2 2 1,(1ln)( ln) 1 x dxdxx dxd xx x 4. 变量代换 : (1)常用 (三角代换 ,根式代换 ,倒代换 ): 1 sin ,1 x xtaxbttet x (2)作用与引伸 (化简 ): 2 1xxt