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1、1 磁场难题集锦 一解答题（共9 小题） 1 （ 2009?浙江）如图所示， x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上在xOy 平面内与y 轴平行的匀强电场，在 半径为 R 的圆内还有与xOy 平面垂直的匀强磁场在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正方向发射出 一束具有相同质量m、电荷量q（q0）和初速度v 的带电微粒发射时，这束带电微粒分布在0y2R 的区间 内已知重力加速度大小为g （1）从 A 点射出的带电微粒平行于x 轴从 C 点进入有磁场区域，并从坐标原点O 沿 y 轴负方向离开，求电场强度 和磁感应强度的大小与方向 （2）请指出这束带电微粒与x 轴相交的区域，并说明理由
2、（3）在这束带电磁微粒初速度变为2V，那么它们与x 轴相交的区域又在哪里？并说明理由 2 （2011?江苏）某种加速器的理想模型如图1 所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板 间电压 uab的变化图象如图2 所示，电压的最大值为U0、周期为 T0，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场若将 一质量为m0、电荷量为q 的带正电的粒子从板内a 孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T0 后恰能再次从a 孔进入电场加速现该粒子的质量增加了 （粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无 电场，不考虑粒子所受的重力） （1）若在 t=0 时刻将该粒子从板内a 孔处静止释放，
3、求其第二次加速后从b 孔射出时的动能； （2）现在利用一根长为L 的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响），使图 1 中 实线轨迹（圆心为O）上运动的粒子从a孔正下方相距L 处的 c 孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁 屏蔽管； （3）若将电压uab的频率提高为原来的2 倍，该粒子应何时由板内a 孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最 大动能？最大动能是多少？ 2 3如图，在区域内存在与xy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B在 t=0 时刻，一位于坐 标原点的粒子源在xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y 轴正方向
4、的夹角分 布在 0180 范围内已知沿y 轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上点离开磁场求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R 及粒子的比荷； （2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y 轴正方向夹角的取值范围； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间 4图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为 V；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向平 行于板面并垂直于纸面朝里图中右边有一边长为a 的正三角形区域EFG（EF 边与金属板垂直） ，在此区域内及其 边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里假设一系列电荷量为q 的正离子沿平行于金属 板面、
5、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经 EF 边中点 H 射入磁场区域 不 计重力 （1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG 后，从边界EF 穿出磁场，求离子甲的质量 （2）已知这些离子中的离子乙从EG 边上的 I 点（图中未画出）穿出磁场，且GI 长为求离子乙的质量 （3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域 内可能有离子到达 5 （2006?甘肃）如图所示，在x0 与 x0 的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与 B2的匀强磁场，磁场方 向均垂直于纸面向里，且B1 B2一个带负电荷的粒子从坐标原点
6、O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经 过一段时间后又经过O 点， B1与 B2的比值应满足什么条件 3 6如图，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y 轴正方向，磁场方向垂直于xy 平面（纸面）向外，电场和 磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样一带正电荷的粒子从P（x=0，y=h）点以一 定的速度平行于x 轴正方向入射这时若只有磁场，粒子将做半径为R0的圆周运动：若同时存在电场和磁场，粒 子恰好做直线运动现在，只加电场，当粒子从P 点运动到x=R0平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场同时加 上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x 轴交于 M 点，不计重力已知h
7、=6cm，R0=10cm，求： （1）粒子到达x=R0平面时速度方向与x 轴的夹角以及粒子到x 轴的距离； （2）M 点的横坐标xM 7 （2007?江苏）磁谱仪是测量能谱的重要仪器磁谱仪的工作原理如图所示，放射源S 发出质量为m、电量为 q 的 粒子沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场，被限束光栏Q 限制在 2的小角度内，粒子经磁场 偏转后打到与束光栏平行的感光片P 上 （重力影响不计） （1）若能量在EE+E（E0，且 E?E）范围内的粒子均垂直于限束光栏的方向进入磁场试求这些粒 子打在胶片上的范围x1 （2）实际上，限束光栏有一定的宽度，粒子将在2角内进入磁场试求能量均为E 的
8、粒子打到感光胶片上 的范围 x2 4 8如图， 在 x 轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于x y 平面向外 P 是 y 轴上距原点为h 的一点， N0为 x 轴上距原点为 a 的一点 A 是一块平行于x 轴的挡板，与x 轴的距离为， A 的中点在y 轴上，长度略小于 带点粒子与挡板碰撞前后，x 方向的分速度不变，y 方向的分速度反向、大小不变质量为m，电荷量为q（ q 0）的粒子从P 点瞄准 N0点入射，最后又通过P 点不计重力求粒子入射速度的所有可能值 9 （ 2007?浙江）两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为x 和 y 轴，交点 O 为原点， 如图
9、所示在y0，0xa 的区域有垂直于纸面向内的匀强磁场，在y0， xa 的区域有垂直于纸面向外的匀 强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B在 O 点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q0）的粒子沿x 周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的 各种数值已知速度最大的粒子在0 xa 的区域中运动的时间与在xa 的区域中运动的时间之比为2：5，在磁 场中运动的总时间为7T/12，其中 T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中做圆周运动的周期试求两个荧光屏 上亮线的范围（不计重力的影响） 5 磁场难题集锦 参考答案与试题解析 一解答题（共9
10、 小题） 1 （ 2009?浙江）如图所示， x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上在xOy 平面内与y 轴平行的匀强电场，在 半径为 R 的圆内还有与xOy 平面垂直的匀强磁场在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正方向发射出 一束具有相同质量m、电荷量q（q0）和初速度v 的带电微粒发射时，这束带电微粒分布在0y2R 的区间 内已知重力加速度大小为g （1）从 A 点射出的带电微粒平行于x 轴从 C 点进入有磁场区域，并从坐标原点O 沿 y 轴负方向离开，求电场强度 和磁感应强度的大小与方向 （2）请指出这束带电微粒与x 轴相交的区域，并说明理由 （3）在这束带电磁微粒初速度变为
11、2V，那么它们与x 轴相交的区域又在哪里？并说明理由 考点 ： 带电粒子在匀强磁场中的运动 专题 ： 压轴题 分析：带电粒子沿半径方向射入匀强磁场中，做匀速圆周运动后，沿半径的方向射出当没有沿半径 方向射入时仍做匀速圆周运动，则圆心必经过入射点与出射点连线的中垂线 解答：解：本题考查带电粒子在复合场中的运动 带电粒子平行于x 轴从 C 点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡设电场强度大小 为 E，由 mg=qE 可得 方向沿 y 轴正方向带电微粒进入磁场后，将做圆周运动且 r=R 如图（ a）所示，设磁感应强度大小为B由 得 6 方向垂直于纸面向外 （2） 一：从任一点P 水平进入磁场的
12、带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，其圆心位于其 正下方的Q 点，如图b 所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图b的虚线半圆，此圆 的圆心是坐标原点 二：从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动 如图 b 示， 高 P 点与 O 点的连线与y 轴的夹角为 ，其圆心 Q 的坐标为（ Rsin ，Rcos ） ，圆周运动轨迹 方程为 （x+Rsin ）2+（yRcos ） 2=R2 得 x=0 或 x=Rsin ，y=0 或 y=R（1+cos ） 可得带电微粒做圆周运动的轨迹与磁场边界的交点为，求，坐标为 后者的点就是P 点，须舍去，可见，这束带电微粒都
13、是通过坐标原点离开磁场的 （3） 带电微粒初速度大小变为2v，则从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做匀速圆周运动 的半径 r 为 带电微粒在磁场中经过一段半径为r的圆弧运动后，将在y 轴的右方（ x0）的区域离开磁场 并做匀速直线运动， 如图 c 所示 靠近圆磁场上边发射出来的带电微粒在恰好没有磁场力，则会射向x 轴正方向的无穷远处， 靠近圆磁场下边发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场 所以，这束带电微粒与x 轴相交的区域范围是x0 答案： （1）；方向垂直于纸面向外；（2）通过坐标原点离开磁场的；（3）与 x 同相交的区域 7 范围是 x0 点评：带电粒子以相同的速度方向，沿不
14、同位置进入匀强磁场时，轨迹的圆弧长度不同，则运动的时 间不同，但半径仍相同 2 （2011?江苏）某种加速器的理想模型如图1 所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板 间电压 uab的变化图象如图2 所示，电压的最大值为U0、周期为 T0，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场若将 一质量为m0、电荷量为q 的带正电的粒子从板内a 孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T0 后恰能再次从a 孔进入电场加速现该粒子的质量增加了 （粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无 电场，不考虑粒子所受的重力） （1）若在 t=0 时刻将该粒子从板内a 孔处静止释放，求其第二次
15、加速后从b 孔射出时的动能； （2）现在利用一根长为L 的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响），使图 1 中 实线轨迹（圆心为O）上运动的粒子从a孔正下方相距L 处的 c 孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁 屏蔽管； （3）若将电压uab的频率提高为原来的2 倍，该粒子应何时由板内a 孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最 大动能？最大动能是多少？ 分析： （1）求第二次加速后从b孔射出时的动能只需知道加速时所对应的电压，故图2 求电压即可 （2）加入屏蔽管后粒子在屏蔽管中做匀速直线运动，离开屏蔽管后运动轨迹与原来的运动轨迹相似，只是 向下平移了l （
16、3）从图象可以看出，时间每改变（图象中为1） ，电压改变为（图象中为4） ， 所以图象中电压分别为50，46， 42，38， 10，6，2，共 13 个， 设某时刻t，u=U0时被加速，此时刻可表示为，静止开始加速的时刻t1为， 其中 n=12，将 n=12 代入得，因为，在 u0 时，粒子被加速，则最多连续 被加速的次数：N=， 所以只能取N=25，解得，由于电压的周期为，所以（ n=0，1，2，3 ） 故粒子由静止开始被加速的时刻（n=0，1，2， ） 故加速时的电压分别， 加速电压做的总功，即动能的最大值，故粒子的最大动能 解得 8 解答： 解： （1）质量为m0的粒子在磁场中作匀速圆周
17、运动Bqv=， 则 当粒子的质量增加了m0，其周期增加T=T0 根据题图2 可知，粒子第一次的加速电压u1=U0 经过第二次加速，第2次加速电压u2，如图 2 在三角形中， 所以粒子第二次的加速电压 粒子射出时的动能Ek2=qu1+qu2 解得 （2）因为磁屏蔽管使粒子匀速运动至以下L 处，出管后仍然做圆周运动，可到C 点水平射出磁屏蔽管 的位置如图1 所示粒子运动的轨迹如图3 （3）如图 4（用 Excel 作图）设T0=100，U0=50，得到在四分之一周期内的电压随时间变化的图象 从图象可以看出，时间每改变（图象中为1） ，电压改变为（图象中为4） ， 所以图象中电压分别为50，46，
18、42，38， 10，6，2，共 13 个， 设某时刻t，u=U0时被加速，此时刻可表示为， 静止开始加速的时刻t1为，其中 n=12，将 n=12 代入得， 因为，在 u0 时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数：N=，得 N=25 所以只能取N=25，解得，由于电压的周期为，所以（ n=0，1，2，3 ） 故粒子由静止开始被加速的时刻（n=0，1，2， ） 故加速时的电压分别， 加速电压做的总功，即动能的最大值，故粒子的最大动能 解得 9 3如图，在区域内存在与xy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B在 t=0 时刻，一位于坐 标原点的粒子源在xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒
19、子的初速度大小相同，方向与y 轴正方向的夹角分 布在 0180 范围内已知沿y 轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上点离开磁场求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R 及粒子的比荷； （2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y 轴正方向夹角的取值范围； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间 解答： 解： （1）初速度与y 轴方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图1 中的弧 OP 所示， 其圆心为C由 几何关系可知，POC=30 ；OCP 为等腰三角形 故 OCP= 此粒子飞出磁场所用的时间为 t0= 式中 T 为粒子做圆周运动的周期 设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由
20、几何关系可得 R=a 由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有 qvB=m T= 10 联立 解得 （2）仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120 ，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大 时从磁场左边界穿出依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O 点距离相同在t0时刻仍在磁场中 的粒子应位于以O 点为圆心、 OP 为半径的弧上如图所示 设此时位于P、M、N 三点的粒子的初速度分别为vP、vM、vN由对称性可知vP与 OP、vM与 OM 、 vN与 ON 的夹角均为 设 vM、vN与 y 轴正向的夹角分别为M、N，由几何关系有 对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y 轴正方向所成的夹角应满足 （3）
21、在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图2 所示由几何关 系可知： OM=OP 由对称性可知ME=OP 由图可知，圆的圆心角为240 ，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间2t0； 4图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为 V；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向平 行于板面并垂直于纸面朝里图中右边有一边长为a 的正三角形区域EFG（EF 边与金属板垂直） ，在此区域内及其 边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里假设一系列电荷量为q 的正离子沿平行于金属 板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经
22、 EF 边中点 H 射入磁场区域 不 计重力 （1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG 后，从边界EF 穿出磁场，求离子甲的质量 （2）已知这些离子中的离子乙从EG 边上的 I 点（图中未画出）穿出磁场，且GI 长为求离子乙的质量 （3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域 内可能有离子到达 11 解答： 解： （1）粒子进入正交的电磁场做匀速直线运动，设粒子的速度为v，电场的场强为E0，根据平衡条件得 E0q=B0qv 由化简得 粒子甲垂直边界EF 进入磁场，又垂直边界EF 穿出磁场，则轨迹圆心在EF 上粒子运动中经过EG，说明
23、圆轨迹与EG 相切， 在如图的三角形中半径为R=acos30 tan15 连立 化简得 在磁场中粒子所需向心力由洛仑兹力提供， 根据牛顿第二定律得 连立 化简得 （2）由于 I 点将 EG 边按 1 比 3 等分，根据三角形的性质说明此轨迹的弦与EG 垂直， 在如图的三角形中，有 同理 （3）最轻离子的质量是甲的一半，根据半径公式离子的轨迹半径与离子质量成正比， 所以质量在甲和最轻离子之间的所有离子都垂直边界EF 穿出磁场，甲最远离H 的距离为， 最轻离子最近离H 的距离为， 所以在离H 的距离为到之间的 E F 边界上有离子穿出磁场 12 比甲质量大的离子都从EG 穿出磁场，其中甲运动中经过
24、EG 上的点最近， 质量最大的乙穿出磁场的1 位置是最远点， 所以在 EG 上穿出磁场的离子都在这两点之间 5 （2006?甘肃）如图所示，在x0 与 x0 的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与 B2的匀强磁场，磁场方 向均垂直于纸面向里，且B1 B2一个带负电荷的粒子从坐标原点O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经 过一段时间后又经过O 点， B1与 B2的比值应满足什么条件 解答： 解：根据牛顿第二定律得 化简得 如右图是粒子在一个周期的运动，则粒子在一个周期内经过y 负半轴的点在y 负半轴下移2 （ R2R1） ， 在第 n 次经过 y 负半轴时应下移2R1， 则有2n（
25、R2R1）=2R1 连立 化简得 ，n=1，2， 3， 6如图，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y 轴正方向，磁场方向垂直于xy 平面（纸面）向外，电场和 磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样一带正电荷的粒子从P（x=0，y=h）点以一 定的速度平行于x 轴正方向入射这时若只有磁场，粒子将做半径为R0的圆周运动：若同时存在电场和磁场，粒 子恰好做直线运动现在，只加电场，当粒子从P 点运动到x=R0平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场同时加 上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x 轴交于 M 点，不计重力已知h=6cm，R0=10cm，求： （1）粒子到达x=R0平面时速
26、度方向与x 轴的夹角以及粒子到x 轴的距离； （2）M 点的横坐标xM 13 解答： 解： （1）做直线运动有：qE=qBv0 做圆周运动有：qBv0=m 只有电场时，粒子做类平抛运动，有： qE=ma R0=v0t vy=at 从解得 ，从 得 E=Bv0 ，从 式得 ，将 、 代入 得： vy=v0粒子速度大小为： v=v0 速度方向与x 轴夹角为： = 粒子与 x 轴的距离为： H=h+at2=h+ 代入数据得H=11cm （2）撤电场加上磁场后，有：qBv=m 解得： R=R0，代入数据得R=14cm 粒子运动轨迹如图所示，圆心C 位于与速度v 方向垂直的直线上，该直线与x 轴和 y
27、轴的夹角均为， 由几何关系得C 点坐标为： xc=2R0，代入数据得xC=20cm yc=HR0=h，代入数据得yC=1cm 过 C 作 x 轴的垂线，在CDM 中：=R=R0 =yc=h 解得：= M 点横坐标为： xM=2R0+ 代入数据得xM=34cm 答： （1）粒子到达x=R0平面时速度方向与x 轴的夹角为，粒子到x 轴的距离为11cm； （ 2）M 点的横坐标xM为 34cm 14 7 （2007?江苏）磁谱仪是测量能谱的重要仪器磁谱仪的工作原理如图所示，放射源S 发出质量为m、电量为 q 的 粒子沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场，被限束光栏Q 限制在 2的小角度内，粒
28、子经磁场 偏转后打到与束光栏平行的感光片P 上 （重力影响不计） （1）若能量在EE+E（E0，且 E?E）范围内的粒子均垂直于限束光栏的方向进入磁场试求这些粒 子打在胶片上的范围x1 （2）实际上，限束光栏有一定的宽度，粒子将在2角内进入磁场试求能量均为E 的 粒子打到感光胶片上 的范围 x2 解答： 解析：设 粒子以速度v 进入磁场，打在胶片上的位置距S 的距离为x 圆周运动 粒子的动能 且x=2R 解得： x1= 当 x 1 时， （1+x）n 1+x n 由上式可得： （2）动能为E 的 粒子沿 角入射，轨道半径相同，设为R 圆周运动 粒子的动能 由几何关系得 15 答： （ 1）（
29、2） 8如图， 在 x 轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于x y 平面向外 P 是 y 轴上距原点为h 的一点， N0为 x 轴上距原点为 a 的一点 A 是一块平行于x 轴的挡板，与x 轴的距离为， A 的中点在y 轴上，长度略小于 带点粒子与挡板碰撞前后，x 方向的分速度不变，y 方向的分速度反向、大小不变质量为m，电荷量为q（ q 0）的粒子从P 点瞄准 N0点入射，最后又通过P 点不计重力求粒子入射速度的所有可能值 解答：解：设粒子的入射速度为v，第一次射出磁场的点为N 0，与板碰撞后再次进入磁场的位置为N1，子在磁 场中运动的轨道半径为R，有 （1） 粒子速率不变，每次
30、进入磁场与射出磁场位置间距离x1保持不变有x1=N0 N0=2Rsin （2） 粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离x2始终不变，与N0 N0相等由图可以看出x2=a （3） 设粒子最终离开磁场时，与档板相碰n 次（ n=0、1、2、3 ） 若粒子能回到P点，由对称性，出射点的x 坐标应为 a，即（ n+1）x1nx2=2a （4） 由（ 3） （4）两式得 （5） 若粒子与挡板发生碰撞，有 （6） 联立（ 3） （4） （6）得： n3 （7） 联立（ 1） （2） （5）得： （8） 把代入（ 8）中得 ； ； 16 ； 答：粒子入射速度的所有可能值为； 9 （ 2007?浙江）两屏幕
31、荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为x 和 y 轴，交点 O 为原点， 如图所示在y0，0xa 的区域有垂直于纸面向内的匀强磁场，在y0， xa 的区域有垂直于纸面向外的匀 强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B在 O 点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q0）的粒子沿x 周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的 各种数值已知速度最大的粒子在0 xa 的区域中运动的时间与在xa 的区域中运动的时间之比为2：5，在磁 场中运动的总时间为7T/12，其中 T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中做圆周运动的周期试求
32、两个荧光屏 上亮线的范围（不计重力的影响） 解答： 解：对于 y 轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1 所示：带电粒子的轨迹和x=a 相切， 此时 r=a，y 轴上的最高点为y=2r=2a； 对于x 轴上光屏亮线范围的临界条件如图2 所示：左边界的极限情况还是和x=a 相切， 此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，由几何知识得到在x 轴上的坐标为x=2a； 速度最大的粒子是如图2 中的实线， 又两段圆弧组成，圆心分别是c 和 c 由对称性得到c在 x 轴上， 设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和 t2， 满足 解得 由数学关系得到：OP=2a+R 17 代入数据得到： 所以在 x 轴上的范围是