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1、勾股定理教学设计 一、内容和内容解析 本节课为人教版八年级数学下册第十七章第一节，教材 22页至 30页的内容。 其内容包括章前对勾股定理整章的引入：2002 年北京召开的国际数学家大会的 会徽及“赵爽弦图”的简介，反映了我国古代对勾股定理的研究成果，是对学生 进行爱国主义教育的良好素材。 教材正文中从毕达哥拉斯发现等腰直角三角形的 边之间的数量关系这一事实引入对勾股定理的探究，用面积法得到勾股定理的结 论，而后教材又重点从“赵爽弦图”的方法对勾股定理进行了详细的论证；课后 习题针对勾股定理的内容适当的加以巩固，特别是对面积法运用的巩固。 勾股定理是几何中几个重要定理之一，揭示了直角三角形三边
2、之间的数量关 系，是对直角三角形性质的进一步学习和深入，它可以解决许多直角三角形中的 计算问题，在实际生活中用途很大。 它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域 中也被广泛地应用，说明数学是一门基础学科，是人们生活的基本工具。 学生接受勾股定理的内容 “在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平 方”这一事实从学习的角度不难，包括对它的应用也不成问题。但对勾股定理的 论证，教材中介绍的面积证法即：依据图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没 有空隙，面积就不会改变。学生接受起来有障碍，因此从面积的“分割”“补全” 两种方法进行演示同时学生动手亲自拼接图形构成“赵爽弦图”并亲自验证三个 正方形之间的面
3、积关系得到勾股定理的证明。有利的让学生经历了 “感知、猜想、 验证、概括、证明”的认知过程，感触知识的产生、发展、形成以提高学生学习 习惯和能力。 本节的后续学习中，对勾股定理运用的探究和勾股定理逆命题的论证和应 用，都是将图形与数量紧密的结合， 将有利的培养学生数形结合的意识以提高学 生分析问题、 解决问题的能力。 同时也为后期学习四边形、 圆中的有关计算及计 算物体面积奠定基础， 因此本节课无论从知识的角度还是从数学技能、数学思想 方法及数学活动经验等层面都起着举足轻重的作用。 教学重点：勾股定理的内容 教学难点：勾股定理的论证 二、教学目标及目标解析 1、教学目标 知识技能：了解勾股定理
4、的文化背景， 体验勾股定理的探索过程， 掌握勾股 定理的内容。 数学思考：在勾股定理的探索过程中， 发展合情推理能力， 体会数形结合的 思想。在探究活动中，体验解决问题方法的多样性。 问题解决：通过观察课件探究拼图等活动，体验数学思维的严谨性， 发展形 象思维，培养学生的合作交流意识和探索精神。 情感态度：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情操，激 发学习热情。 2、目标解析 通过学生了解“赵爽弦图” 、了解“毕达哥拉斯”探究勾股定理的过程而 猜想、验证勾股定理，自愿接受这一理论事实并能简单运用。 通过面积法探究勾股定理，让学生感触到直角三角形这一图形与a 2+b2=c2 建立对
5、应关系，同时应用面积的分割法、补全法，培养建立数形结合的数学思 想方法。 通过观察、 探究的活动让学生感触知识的产生过程，学生从中学会合作交 流，协作探究、归纳总结的学习方法，提高学生的探索能力。 勾股定理知识是我国数学领域的璀璨明珠，代表着历代人民智慧和探索精 神的结晶。通过学生亲身体验， 从中感触我国数学知识源远流长和数学价值的伟 大。 三、教学问题诊断分析 学生对勾股定理的形式容易接受甚至利用结论进行有关的计算难度也不大， 但究其缘由有难度， 这正是数学学习活动中学生要具备的基本的学习品质和学习 技能。所以，在学习勾股定理由来的教学时，应有针对性地设计图形形式的多样 呈现，让学生亲自动手
6、拼接图形来揭示概念的由来及正确性。 对于图形面积的计算学生有基本的技能，但如何最合理的进行分割或补全一 时是不易理解， 这属于思想方法层面的问题，学生往往只停留在能听懂， 但不能 内化的层面，需要我进行精心的设计，充分展示“分割、补全、拼凑”以发挥教 师的引导作用， 为学生探究一般的直角三角形的三边关系做好铺垫，为数学多渠 道多方法的探究证明做好引导。 四、教学支持条件分析 根据本节课的教材内容特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，提 高课堂效率，采用以观察发现、动手操练、演算探究为主，多媒体演示为辅的教 学组织方式在教学过程中， 给学生提供充足的活动时间和空间， 创设问题情景， 启发学
7、生思维，学生亲自动手操作、测量、演算，让学生亲身体验知识的产生、 发展和形成的过程 五、教学过程设计 （一）回顾旧知 问题 1：你对直角三角形知多少？ 【设计意图】 教师获得学生的知识储备以便以后的教学定位。再次让学生感 触勾股定理的存在、 作用即勾股定理是研究直角三角形边之间的关系的定理，明 确学习目标。 （二）创设情境，导入新课 问题 2：请同学们欣赏2002 年国际数学家大会会场情景的的图片，重点抽 取会徽图案，你能发现它是有什么图形构成的？（材料附后） 教师展示 PPT课件，介绍数学家大会及会徽“赵爽弦图”，学生观察、发表 意见、聆听介绍。 【设计意图】以国际数学家大会-“赵爽弦图”为
8、背景导入新课，提出 问题， 首先可以激发学生强烈的好奇心和求知欲，感受我国古代数学知识的伟大， 进行爱国教育， 增强学好数学的信心； 其次让学生在观察、 思考、交流的过程中， 对勾股定理先有初步的感性认识 （三）观察演算，合作探究，初具概念 问题 3：介绍毕达哥拉斯发现勾股定理的故事。利用PPT课件展示毕达哥拉 斯的发现和他的探究的过程。 提问：这三个正方形之间的面积有什么关系？从中 可以转化得到等腰直角三角形三边在数量上有什么关系？ 教师口述故事， PPT课件同步演示；学生借助直观的课件，学生个体或学生 间观察交流探究得到结论。 【设计意图】 首先，故事中代出问题既激发学生的兴趣又降低了学生
9、探究的 难度，让每个学生都可做， 可得；其次得到三个正方形面积间的关系而得到等腰 直角三角形三边之间的关系， 由特殊的图形为研究定理的一般性做好铺垫；再者 学生初步具有了勾股定理的雏形， 即在等腰直角三角形中两直角边的平方和等于 斜边的平方。 问题 4：毕达哥拉斯想到：这一结论是不是所有的直角三角形都具备呢？于 是展开了进一步的探索。 教师利用 PPT课件展示，提出问题；学生利用学习案中第1 题自己进一 步探究，交流；猜测验证。 （学习案附后） 【设计意图】 问题更深一层次， 调动学生高涨的探究热情， 同时有效的渗透 了由特殊到一般的数学思想。 问题 5：你是怎样演算的？ 教师关注学生之间的交
10、流， 关注学生借助面积法探究问题的不同解法，选取 代表性的方法演示。学生个体或小组探究、交流。 （四）引导实验，探究论证，形成体系。 问题 6：上一环节是从数字上的验证，本环节上升到理论层面，以加强数学 学习的严谨性。 学生用 4 个全等的直角三角形和一个正方形拼凑图形，学生或小 组间进行合作实验，共同协作探究；教师巡视指导。 观看演示 PPT拼凑图形、面积法论证。 【设计意图】学生自主探究， 再次理解勾股定理， 学会面积法论证勾股定理。 培养学生的动手探究能力，养成严谨的学习习惯；学会交流，达到知识、方法共 享，体验合作的乐趣、合作的成功。 问题 7：我们已经对直角三角形三边之间关系有了充分
11、的认识，但它的正确 性需要数学理论做基础， 我国古代数学家赵爽就对该命题进行了严谨的论证。我 们刚才欣赏的会徽就是他的论证方法。 教师用 PPT课件演示，精讲强调面积的无缝、不重叠拼接得到面积相等。 【设计意图】 让学生学懂面积法， 再次加深对勾股定理的理解。感受我国数 学知识的悠久历史，唤起爱国精神，启发学习数学的兴趣。 （四）归纳提高，巩固运用，形成能力。 问题 8：我们这节课研究的勾股定理是对什么的研究？它侧重是研究直角三 角形的什么关系？ 学生回忆，发言。教师强调：勾股定理的前提条件是直角三角形，也就是说 其他的三角形是不具备的， 但要解决其他三角形的计算问题，我们要借助辅助线 （特别
12、是高线）把它转化为直角三角形。 【设计意图】 更新知识系统， 逐渐完善知识脉络， 提高分析问题解决问题的 能力。 问题 9：牛刀小试， PPT习题 第 1 题，学生直接回答；第2 题，做一做， 展示学生习题过程；第3 题，比一比看谁做的快？激发学生兴趣。 学生独立完成；教师巡视指导，板书得数，介绍勾股数。 【设计意图】针对勾股定理的直接运用，提高学生对新知识的理解、运用， 巩固目标。 问题 10：回归生活， PPT习题 1、2、3，教师适时引导鼓励。 【设计意图】 诗情画意的情景呈现数学问题增强美的感受，在愉悦、放松的 氛围中感受数学在生活中的作用，体验数学是一门基础学科， 激发学生兴趣， 提
13、 高分析问题解决问题的能力。让学生真正学会数学，会学数学，会用数学。 问题 11：能力比拼， PPT习题 1、2 【设计意图】针对学生认知的差异设计了有层次有习题，既使学生巩固知识， 形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展。 （五）归纳小结，反思提高 问题 12：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 学生谈本节课的学习感受， 教师梳理、 概括本节课主要的学习内容，并揭示 蕴涵的数学思想方法及评价学生在课堂上的表现对学生进行思想教育。 【设计意图】 教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对直 角三角形有一个整体全面认识，形成完整知识结构， 培养归纳概括能力， 同时感 受数形结合的数学思想。 （六）布置作业 PPT习题 【设计意图】 考虑学生的个性差异， 不同层次学生的能力， 采用分层布置作 业的方法，提高学生兴趣，达到巩固知识、形成能力的目的。 六、板书设计 勾股定理 在 RtABC中，C=90 1、A+B=90 2、如果 B=30 ，那么 AC= AB. 3、面积公式： S= ab= ch 4、勾股定理： 1 2 1 2 1 2 a 2 +b2 =c2