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1、144 81 A 勾股定理培优提高专题 一、知识要点回顾： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的；如果直角三角形两直角 边分别为a、b，斜边为c ，那么。 思考 ：（ 1）a 2,b2,c2 分别代表什么？（2）a 2 与 a 的单位的关系。 （3）变式：由 a 2+b2=c2 得 a= 或 b= ,或 c= （4）运用勾股定理的前 提是：必须知道有一个直角 ） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足，那么这个三角形是 _. 3、勾股数：满足a 2+b2=c2 的三个a,b,c,成为勾股数；写出常用的几组勾股 数， 4如图，直角ABC的主要性质是： C=90， （用几
2、何语言表 示） 两锐角之间的关系：； 若 D 为斜边中点，则斜边中线； 若 B=30，则 B 的对边和斜边：； 三边之间的关系：。 二、典型例题解析 考点 1：利用勾股定理求面积 例 1、如图，图中A,B 两个字母代表的正方形的面积是多少？ 巩固练习1： 1如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为 S1，S2，S3，则 S1，S2，S3之间的关系是（ ） （A） 321 SSS（B） 321 SSS（C） 321 SSS（D）无法确定 2求： （1） 阴影部分是正方形；（2） 阴影部分是长方形；（3）
3、阴影部分是半圆 3在直线上依次摆着七个正方形(如图 )，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3， 正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则 S1S2 S3S4_ 4如图， ABC 中， C90 ， (1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图 )，探究S1S2与 S3的关 系； A C B D 400 625 B3 2 1 S S S (2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图 )，探究S1S2与 S3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图 )，探究 S1S2与 S3的关系 图图图 4如图，已知直角ABC的两直角边分别为6， 8，分
4、别以其三边为直径作半圆，求图中 阴影部分的面积 考点 2：已知两边，求第三边 2 (1)90 ,5,12, (2)90 ,3,4, (3)90,: (4)90 ,30 ,: ABCCabc ABCBabc ABCCAB ACBC ABCCBABAC BC 例 、填空： 在直角中，则 在直角中，则 在等腰直角中，则 在直角中，则 巩固练习2： 1若直角三角形的三边长分别为2，4， x，则 x 的值可能有 ( ) (A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个 2在直角三角形中, 若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 3 （易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另
5、一条边长的平方是 4、已知直角三角形两直角边长分别为5 和 12， 求斜边上的高 考点 3：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 1. 如图 1所示，等腰中，是底边上的高，若 ，求AD的长； ABC 的面积 8 6 C BA 2.如图，已知一等腰三角形的周长是 16，底边上的高是4. 求这个三角形各边的长. 考点 4: 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 1. 如图 4-1， 相邻的两边互相垂直， 则从点 B 到点 A 的最短距离为 （） A.13 B.12 C.8 D.5 2. 如图 4-1 ，在一个高为3 米，长为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度 为米。 考点 5：利用列方程求线段的长
6、（折叠问题） 1. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC沿直线 AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 2、如图，在矩形ABCD中，,6AB将矩形ABCD折叠， 使点 B 与点 D 重合，C落在C处，若21 ：BEAE，则折痕 EF的长为。 3在一棵树的10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的A处。另 一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这 棵树高 _米。 考点 6：直角三角形的判定 例题 ：1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5 （2
7、）5、12、13 （3）8、 15、 17 （ 4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 2. 已知 ABC中，三条边长分别为an 2 ，b2n，cn 2 （ n1） 试判断该三 角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角 练习： C B A D E D B C A 第 3 题图 题2图 1、下列各组数中，以a，b，c 为边的三角形不是Rt的是（） A、a=1.5，b=2, c=3 B、 a=7,b=24,c=25 C、a=6, b=8, c=10 D、 a=3,b=4,c=5 2、三角形的三边长分别为a 2b2、2ab、a2b2（a、b 都是正整数） ，则这个三角形是（ ） A
8、.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定 3、已知 222 6810500xyzxyz求由此zyx,为三边的三角形的面积。 考点 7：勾股定理的应用 1、如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm，高为 12cm 的圆形水杯中，设筷子 露在外面的长度为hcm，则 h 的取值范围是 2、如图，四边形ABCD 中， AB=3cm ，BC=4cm ， CD=12cm， DA=13cm ，且 ABC=90， 则四边形 ABCD 的面积是cm2 3、如图， A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的 B处，以每小时40km的速度向 北偏东 60的 BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域. (1)A 城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2) 若 A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 考点 8：与展开图有关的计算（最短路程问题） 1. 如图，在棱长为1 的正方体 ABCD ABCD的表面上，求从顶点A到顶点 C的最短 距离 2. 如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高 4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到 B点，则最 少要爬行 cm AB C D h A B