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1、等比数列 知识梳理： 1、等比数列的定义： * 1 2, n n a q qnnN a 0且，q称为 公比 2、通项公式： 11 11 0,0 nnn n a aa qqA BaqA B q ，首项： 1 a；公比：q 推广： n mn mnn n m nm mm aa aa qqq aa 3、等比中项： （1） 如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项， 即： 2 Aab或Aab 注意： 同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项有两个 （两个等比中项 互为相反数） （2）数列 n a是等比数列 2 11nnn aaa 4、等比数列的前n项和 n S公式： （1）当1q
2、时， 1n Sna （2）当1q时， 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 11 11 nnnaa qAA BA BA qq （,A B A B为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n，都有 1 1 (0) n nnnn n a aqaq qaa a 或为常数，为 等比数列 （2）等比中项： 2 1111 (0) nnnnnn aaaaaa为等比数列 （3）通项公式：0 n nn aA BA Ba为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 * 1 2, n n a q qnnN a 0且或 1 nnn aqaa为等比数列 7、等比数列的性质： （1
3、）当1q时 等比数列通项公式 11 1 0 nnn n a aa qqA BA B q 是关于n的带有系数的类 指数函数，底数为公比q； 前n项和 1 1111 1 1111 n n nnn n aq aa qaa SqAA BA BA qqqq ，系 数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q。 （2）对任何 * ,m nN，在等比数列 n a中，有 n m nm aa q，特别的，当1m时，便得 到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 （3）若 * (, , ,)mnst m n s tN，则 nmst aaaa。特别的，当2mnk时，得 2 nmk a
4、aa注： 12132nnn aaaaa a （4）数列 n a， n b为等比数列，则数列 n k a ， n k a， k n a， nn k ab， n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。 （5）数列 n a为等比数列，每隔 * ()k kN项取出一项 23 (,) mm kmkmk aaaa仍为等 比数列 （6）如果 n a是各项均为正数的等比数列 ，则数列log an a是 等差数列 （7）若 n a为等比数列，则数列 n S， 2nn SS， 32 , nn SS，成等比数列 （8）若 n a为等比数列，则数列 12n aaa， 122nnn aaa， 21223nnn a
5、aa成 等比数列 （9）当1q时， 1 1 0 0 n n aa aa ，则为递增数列 ，则为递减数列 当1q0时， 1 1 0 0 n n aa aa ，则为递减数列 ，则为递增数列 当1q时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； 当0q时 ,该数列为摆动数列. （10）在等比数列 n a中，当项数为 * 2 ()n nN时， 1 S Sq 奇 偶 二 例题解析 【例 1】已知 S n 是数列 a n的前 n 项和，Snpn(pR， nN*) ， 那么数列 an （） A是等比数列B当 p0 时是等比数列 BC当 p0，p1 时是等比数列D不是等比数列 【例 2】已知等比数列1，x1，x
6、2， x2n，2，求 x1x2x3 x2n 【例3】a(1)a= 4a n25 等比数列中，已知，求通项公 1 2 式； (2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值 【例 4】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2 【例 5】求数列的通项公式： (1)a n 中， a12，an+13an2 (2)a n 中， a1=2， a25，且 an+23an+12an0 三 考点分析 考点一：等比数列定义的应用 1、数列 n a满足 1 1 2 3 nn aan， 1 4 3 a，则 4 a_ 2、在数列 n a中，若 1 1a， 1 211 nn
7、aan， 则该数列的通项 n a_ 考点二：等比中项的应用 1、已知等差数列 n a的公差为2，若 1 a， 3 a， 4 a成等比数列，则 2 a（） A4B6C8D10 2、若a、b、c成等比数列，则函数 2 yaxbxc的图象与x轴交点的个数为（） A0B1C2D不确定 3、已知数列 n a为等比数列， 3 2a， 24 20 3 aa，求 n a的通项公式 考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算 1、若公比为 2 3 的等比数列的首项为 9 8 ，末项为 1 3 ，则这个数列的项数是（） A3B4C5D6 2、已知等比数列 n a中， 3 3a， 10 384a，则该数列的通项 n
8、a_ 3、若 n a为等比数列，且 465 2aaa，则公比q_ 4、设 1 a， 2 a， 3 a， 4 a成等比数列，其公比为2，则 12 34 2 2 aa aa 的值为（） A 1 4 B 1 2 C 1 8 D1 5、等比数列 an中，公比 q= 2 1 且 a2+a4+ +a100=30，则 a1+a2+ +a100=_. 考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用 1、在等比数列 n a中，如果 6 6a， 9 9a，那么 3 a为（） A4 B 3 2 C 16 9 D2 2、如果1，a，b， c ，9成等比数列，那么（） A3b，9acB3b，9ac C3b，9ac D3b，9
9、ac 3、在等比数列 n a中， 1 1a， 10 3a，则 23456789 a a a a a a a a等于（） A81B 5 27 27C3D243 4、在等比数列 n a中， 910 0aaa a， 1920 aab，则 99100 aa等于（） A 9 8 b a B 9 b a C 10 9 b a D 10 b a 5、 在等比数列 n a中， 3 a和 5 a是二次方程 2 50xkx的两个根，则 246 a a a的值为（） A25B5 5C5 5D5 5 6、若 n a是等比数列，且0 n a，若 243546 225a aa aa a，那么 35 aa的值等于 考点五：
10、公式 1 1 , (1) , (2) n nn Sn a SSn 的应用 1、若数列的前n 项和 Sn=a1+a2+an，满足条件log2Sn=n，那么 an 是( ) A.公比为 2 的等比数列 B.公比为 2 1 的等比数列 C.公差为 2 的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2、等比数列前n 项和 Sn=2 n-1，则前 n 项的平方和为 ( ) A.(2 n-1)2 B. 3 1 (2 n-1)2 C.4 n-1 D. 3 1 (4 n-1) 3、设等比数列an 的前 n 项和为 Sn=3n+r，那么 r 的值为 _. 4、设数列 an的前 n 项和为 Sn且 S1=3，若对任意的 nN *都有 S n=2an-3n. (1) 求数列 an的首项及递推关系式an+1=f(an); (2) 求an的通项公式 ;