《高一数学人教版必修一第一章1.2.2复合函数问题练习(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学人教版必修一第一章1.2.2复合函数问题练习(含答案).pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2 ( )( )()f f xaf xba axbba xabb 复合函数问题 一、复合函数定义：设 y=f(u) 的定义域为A，u=g(x) 的值域为B，若 AB，则 y 关于 x 函数的 y=f g(x) 叫做函数f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 . 二 复合函数解析式 1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例 1设)(xf是一次函数，且34)(xxff，求)(xf 解：设baxxf)()0(a，则 3 4 2 bab a ， 3 2 1 2 b a b a 或 32)(12)(xxfxxf 或 2、配凑法：已知复合函数( )f g x的表达式，求( )f x的解
2、析式， ( )f g x的表达式容易配 成( )g x的运算形式时，常用配凑法但要注意所求函数( )f x的定义域不是原复合函数的 定义域，而是( )g x的值域 例 2已知 2 2 1 ) 1 ( x x x xf)0(x，求( )f x的解析式 解：2) 1 () 1 ( 2 x x x xf，2 1 x x，2)( 2 xxf)2(x 3、换元法：已知复合函数( )f g x的表达式时，还可以用换元法求( )f x的解析式 与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化 例 3已知xxxf2)1(，求)1(xf 解：令1xt，则1t， 2 )1(tx xxxf2)1(，, 1)1(2)1()
3、( 22 ttttf 1)( 2 xxf)1(x，xxxxf21)1()1( 22 )0(x 4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法 例 4 已知：函数)( 2 xgyxxy与的图象关于点)3 ,2(对称，求)(xg的解析式 解：设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3 ,2(的对称点 则 3 2 2 2 yy xx ，解得： yy xx 6 4 ， 点),(yxM在)(xgy上，xxy 2 把 yy xx 6 4 代入得：)4()4(6 2 xxy 整理得67 2 xxy，67)( 2 xxxg 5、构造方程组法：若已知的函数关
4、系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方 程组，通过解方程组求得函数解析式 例 5设,) 1 (2)()(x x fxfxf满足求)(xf 解x x fxf) 1 (2)( 显然,0x将x换成 x 1 ，得： x xf x f 1 )(2) 1 ( 解联立的方程组，得： x x xf 3 2 3 )( 6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性” 的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式 例 7已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式) 12()()(yxyxfyxf恒成立， 求)(xf 解对于任意实数x、y，等式) 12()()(yx
5、yxfyxf恒成立， 不妨令0x，则有1)1(1)1()0()( 2 yyyyyyfyf 再令xy得函数解析式为：1)( 2 xxxf 7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭 加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式 例8设)(xf是定义在 N上的函数，满足1) 1(f，对任意的自然数ba,都有 abbafbfaf)()()(，求)(xf 解Nbaabbafbfaf,)()()(， 不妨令1,bxa，得：xxffxf)1()1 ()(， 又1)()1(, 1)1 (xxfxff故 令式中的x 1，2，n1 得：(2)(1)2(3)(2)3( )(1)fff
6、ff nf nn， 将上述各式相加得：nfnf32)1()(， 2 )1( 321)( nn nnf，Nxxxxf, 2 1 2 1 )( 2 三 复合函数定义域问题 (1)、已知的定义域，求的定义域 思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又 f 对作 用，作用范围不变，所以Dxg)(，解得，E为的定义域。 例 1. 设函数的定义域为（0，1） ，则函数的定义域为 _。 解析：函数的定义域为（ 0， 1）即，所以的作用范围为（0，1） 又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 解得，故函数的定义域为（1，e） 例 2. 若函数，则函数的定义域为 _。 解析：先求f 的作用范围，
7、由，知 即 f 的作用范围为，又 f 对 f(x)作用 所以，即中 x 应满足 即，解得 故函数的定义域为 （2） 、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D，即，由此得，所以 f 的作用范围为E， 又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以为的定义域。 例 3. 已知的定义域为，则函数的定义域为 _。 解析：的定义域为，即，由此得 所以 f 的作用范围为，又 f 对 x作用，作用范围不变，所以 即函数的定义域为 例 4. 已知，则函数的定义域为 _。 解析：先求f 的作用范围，由，知 解得，f 的作用范围为，又 f 对 x作用，作用范围不变，所以 ，即的定义域为 （3） 、已知的定义域，
8、求的定义域 思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E， 又 f 对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。 例 5. 若函数的定义域为，则的定义域为 _。 解析：的定义域为，即，由此得 的作用范围为 又 f 对作用，所以，解得 即的定义域为 四、复合函数单调性问题 （1）引理证明 已知函数)(xgfy. 若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c ，d)，又 函数)(ufy在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数)(xgfy在区间ba,(）上 是增函数 . 证明：在区间ba,(）内任取两个数 21, x x，使bxxa 21 因为)(xgu在区间ba,(）上是减函
9、数，所以)()( 21 xgxg, 记)( 11 xgu, )( 22 xgu即),(, 21,21 dcuuuu且 因为函数)(ufy在区间 (c,d)上是减函数，所以)()( 21 ufuf, 即 )()( 21 xgfxgf， 故函数)(xgfy在区间ba,(）上是增函数 . （2） 复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便， 我们把它们总结成一个图表： )(ufy 增 减 )(xgu 增 减 增 减 )(xgfy 增 减 减 增 以上规律还可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）例题演练 例 1、 求函数)32(log 2 2 1 xx
10、y的单调区间，并用单调定义给予证明 解：定义域13032 2 xxxx或 单调减区间是),3(设 2121 ),3(,xxxx且则 )32(log 1 2 1 2 11 xxy)32(log 2 2 2 2 12 xxy )32( 1 2 1 xx)32( 2 2 2 xx=)2)( 1212 xxxx 3 12 xx0 12 xx02 12 xx )32( 1 2 1 xx )32( 2 2 2 xx又底数1 2 1 0 0 12 yy即 12 yy y在), 3(上是减函数 同理可证： y在)1,( 上是增函数 例 2、讨论函数) 123(log)( 2 xxxf a 的单调性 . 解由
11、0123 2 xx得函数的定义域为 . 3 1 , 1|xxx或 则当 1a 时，若 1x ， 123 2 xxu为增函数， ) 123(log)( 2 xxxf a 为增 函数 . 若 3 1 x，123 2 xxu为减函数 . )123(log)( 2 xxxf a 为减函数。 当10a时 ， 若1x， 则) 123(lo g)( 2 xxxf a 为 减 函 数 ， 若 3 1 x， 则 ) 123(lo g)( 2 xxxf a 为增函数 . 例 3、. 已知 y= a log(2- x a) 在 0， 1上是 x 的减函数，求a 的取值范围 . 解： a0 且 a1 当 a1 时，函数 t=2- x a0 是减函数 由 y= a log (2- x a)在 0，1上 x 的减函数，知y= a logt 是增函数， a1 由 x0， 1时， 2- x a2-a 0, 得 a 2, 1a2 当 00 是增函数 由 y= a log (2- x a)在 0，1上 x 的减函数，知y= a logt 是减函数， 0a1 由 x0， 1时， 2- x a2-1 0, 0a1 综上述， 0a1 或 1 a2