高中数学圆的方程典型例题费.pdf

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1、高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例 1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关 系 分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系， 只须看点 P与圆心的距离和圆的半径的大小关系， 若距离大于半径，则点在圆外； 若距离等于半径， 则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为 222 )()(rbyax 圆心在0y上，故0b 圆的方程为 222 )(ryax 又该圆过)4,1(A、)2,3(B两点 22 22 4)3( 16)1 ( ra ra 解之得：1

2、a，20 2 r 所以所求圆的方程为 20) 1( 22 yx 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为 1 31 24 AB k，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为： 23xy即01yx 又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C 半径204)11( 22 ACr 故所求圆的方程为20) 1( 22 yx 又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为 rPCd254)12( 22 点P在圆外 说明： 本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然

3、后 根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何 来判定直线与圆的位置关系呢？ 例 2 求半径为4，与圆0424 22 yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程 分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解 解： 则题意，设所求圆的方程为圆 222 )()(rbyaxC： 圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,( 1 aC或)4,( 2 aC 又已知圆 0424 22 yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3 若两圆相切，则734CA或134CA (1) 当)4,( 1 aC时 ， 222 7) 14()2(a， 或 222 1)

4、14()2(a( 无 解 ) ， 故 可 得 1022a 所求圆方程为 222 4)4()1022(yx，或 222 4)4()1022(yx (2) 当)4,( 2 aC时 ， 222 7)14()2(a， 或 222 1) 14()2(a( 无 解 ) ， 故 622a 所求圆的方程为 222 4)4()622(yx，或 222 4)4()622(yx 说明： 对本题，易发生以下误解： 由 题 意 ， 所 求 圆 与 直 线0y相 切 且 半 径 为4， 则 圆 心 坐 标 为)4,(aC， 且 方 程 形 如 222 4)4()(yax又圆0424 22 yxyx，即 222 3)1()

5、2(yx，其圆心为 )1,2(A， 半径为 3 若两圆相切， 则34CA 故 222 7) 14()2(a， 解之得1022a 所 以欲求圆的方程为 222 4)4()1022(yx，或 222 4)4()1022(yx 上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y下方的情形另外，误 解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的 例 3 求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程 分析：欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A， 故只需确定圆心坐标又 圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上 解： 圆和直线02yx与02yx相切，

6、圆心C在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等 5 2 5 2yxyx 两直线交角的平分线方程是03yx或03yx 又圆过点)5,0(A， 圆心C只能在直线03yx上 设圆心)3,(ttC C到直线02yx的距离等于AC， 22 ) 53( 5 32 tt tt 化简整理得056 2 tt 解得：1t或5t 圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55 所求圆的方程为5)3()1( 22 yx或125)15()5( 22 yx 说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到 圆的方程，这是过定点且与两已知直线相

7、切的圆的方程的常规求法 例 4、 设圆满足： (1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件 (1)(2) 的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程 分析： 要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个 条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线 的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方 程 解法一： 设圆心为),(baP，半径为r 则P到x轴、y轴的距离分别为b和a 由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所

8、得弦长为r2 22 2br 又圆截y轴所得弦长为2 1 22 ar 又),(baP到直线02yx的距离为 5 2ba d 2 2 25bad abba44 22 )(24 2222 baba 12 22 ab 当且仅当ba时取“ =”号，此时 5 5 min d 这时有 12 22 ab ba 1 1 b a 或 1 1 b a 又22 22 br 故所求圆的方程为2)1()1( 22 yx或2) 1()1( 22 yx 解法二： 同解法一，得 5 2ba d dba52 222 5544dbdba 将12 22 ba代入上式得： 015542 22 dbdb 上述方程有实根，故 0) 15(

9、8 2 d， 5 5 d 将 5 5 d代入方程得1b 又12 22 ab1a 由12ba知a、b同号 故所求圆的方程为2)1()1( 22 yx或2) 1()1( 22 yx 说明： 本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5已知圆4 22 yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线 解： 点42，P不在圆O上， 切线PT的直线方程可设为42xky 根据rd 2 1 42 2 k k 解得 4 3 k 所以42 4 3 xy 即01043yx 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 2x

10、 说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要注意漏 解） 还可以运用 2 00 ryyxx，求出切点坐标 0 x、 0 y的值来解决，此时没有漏解 例 6 两圆0 111 22 1 FyExDyxC：与0 222 22 2 FyExDyxC ：相交于A、B两 点，求它们的公共弦AB所在直线的方程 分析： 首先求 A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程 太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧 解： 设两圆 1 C、 2 C的任一交点坐标为),( 00 yx，

11、则有： 0 10101 2 0 2 0 FyExDyx 0 20202 2 0 2 0 FyExDyx 得：0)()( 21021021 FFyEExDD A、B的坐标满足方程0)()( 212121 FFyEExDD 方程0)()( 212121 FFyEExDD是过A、B两点的直线方程 又过 A、B两点的直线是唯一的 两圆 1 C、 2 C的公共弦AB所在直线的方程为0)()( 212121 FFyEExDD 说明： 上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去 求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧， 从知识内

12、容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本 质认识它的应用很广泛 例 7、过圆1 22 yx外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求 直线 AB的方程。 练习： 1求过点(3,1)M，且与圆 22 (1)4xy相切的直线l的方程 解：设切线方程为1(3)yk x，即310kxyk， 圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2， 2 2 |31| 2 1 kk k ，解得 3 4 k， 切线方程为 3 1(3) 4 yx，即34130xy， 当过点 M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径 2， 故

13、直线3x也适合题意。 所以，所求的直线l的方程是34130xy或3x 2、过坐标原点且与圆0 2 5 24 22 yxyx相切的直线的方程为 解：设直线方程为kxy，即0ykx.圆方程可化为 2 5 ) 1()2( 22 yx，圆心为（2， -1） ，半径为 2 10 .依题意有 2 10 1 12 2 k k ，解得3k或 3 1 k，直线方程为xy3或 xy 3 1 . 3、已知直线0125ayx与圆02 22 yxx相切，则a的值为. 解：圆1)1( 22 yx的圆心为（ 1，0） ，半径为1， 1 125 5 22 a ，解得 8a 或18a. 类型三：弦长、弧问题 例 8、求直线06

14、3:yxl被圆042: 22 yxyxC截得的弦AB的长 . 例 9、直线 0323yx 截圆4 22 yx得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距3d，故弦长22 22 drAB，从而 OAB 是等边三角形，故截 得的劣弧所对的圆心角为 3 AOB. 例 10、求两圆02 22 yxyx和5 22 yx的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系 例 11、已知直线 0323yx 和圆4 22 yx，判断此直线与已知圆的位置关系. 例 12、若直线mxy与曲线 2 4xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围 . 解：曲线 2 4xy表示半圆)0(4 22 yyx，利用数形结合法，可得实数m的

15、取值范 围是22m或22m. 例 13 圆9)3()3( 22 yx上到直线01143yx的距离为1 的点有几个？ 分析： 借助图形直观求解或先求出直线 1 l、 2 l的方程，从代数计算中寻找解答 解法一： 圆 9) 3()3( 22 yx的圆心为)3,3( 1 O，半径3r 设圆心 1 O到直线01143yx的距离为d，则32 43 113433 22 d 如图， 在圆心 1 O同侧，与直线01143yx平行且距离为1 的直线 1 l与圆有两个交点，这两 个交点符合题意 又123dr 与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意 符合题意的点共有3 个 解法二： 符合

16、题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1 的直线和圆的交点设 所求直线为043myx，则1 43 11 22 m d， 511m，即6m，或16m，也即 0643 1 yxl：，或01643 2 yxl ： 设圆9) 3()3( 22 1 yxO：的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d，则 3 43 63433 22 1 d，1 43 163433 22 2 d 1 l与 1 O相切，与圆 1 O有一个公共点； 2 l与圆 1 O相交，与圆 1 O有两个公共点即符合题意的 点共 3 个 说明： 对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心 1 O到直线01143y

17、x的距离为d，则32 43 113433 22 d 圆 1 O到01143yx距离为 1 的点有两个 显然，上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说明此直线与圆有 两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所 求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关 系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断 练习 1：直线1yx与圆)0(02 22 aayyx没有公共点，则a的取值范围是 解：依题意有 a a 2 1 ，解得1212a. 0a ，

18、120a. 练习2：若直线2kxy与圆1) 3()2( 22 yx有两个不同的交点，则k的取值范围 是. 解：依题意有1 1 12 2 k k ，解得 3 4 0k，k的取值范围是) 3 4 ,0(. 3、圆0342 22 yxyx上到直线01yx的距离为2的点共有（） （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 分 析 ： 把0342 22 yxyx化 为821 22 yx， 圆 心 为21 ， 半 径 为 22r，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C 4、过点43，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆421 22 yxC：有公共点，如 图所示 分析

19、： 观察动画演示，分析思路 解： 设直线l的方程为 34xky 即 043kykx 根据rd有 2 1 432 2 k kk 整理得 043 2 kk 解得 3 4 0k 类型五：圆与圆的位置关系 问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？ 例 14、判断圆02662: 22 1 yxyxC与圆0424: 22 2 yxyxC的位置关系， 例 15：圆02 22 xyx和圆04 22 yyx的公切线共有条。 解：圆1) 1( 22 yx的圆心为)0, 1( 1 O，半径1 1 r，圆4)2( 22 yx的圆心为)2,0( 2 O， 半径2 2 r，1, 3,5 122121 rrrrOO. 2121

20、12 rrOOrr，两圆相交 .共有 2 条公切线。 练习 P E O y x 1：若圆042 222 mmxyx与圆08442 222 mmyxyx相切，则实数m的取 值集合是. 解：圆 4)( 22 ymx的圆心为)0,( 1 mO，半径2 1 r，圆9)2() 1( 22 myx的圆心为 )2, 1( 2 mO， 半 径3 2 r， 且 两 圆 相 切 ， 2121 rrOO或 1221 rrOO， 5)2() 1( 22 mm或1)2()1( 22 mm，解得 5 12 m或2m，或0m或 2 5 m， 实数m的取值集合是 2, 0, 2 5 , 5 12 . 2：求与圆5 22 yx

21、外切于点)2, 1(P，且半径为52的圆的方程 . 解：设所求圆的圆心为),( 1 baO，则所求圆的方程为20)()( 22 byax.两圆外切于点P， 1 3 1 OOOP ， ),( 3 1 )2, 1(ba， 6,3 ba， 所求圆的方程为20)6()3( 22 yx. 类型六：圆中的对称问题 例 16、圆 22 2690xyxy关于直线250xy对称的圆的方程是 例 17自点33，A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在 的直线与圆 0744 22 yxyxC：相切 （ 1）求光线l和反射光线所在的直线方程 （ 2）光线自A到切点所经过的路程 分析、 略解： 观察动画演示，

22、分析思路 根据对称关系， 首先求出点 A 的对称点A的坐标为33，其次设过A的圆C的切线方程为 33xky 根据rd，即求出圆C的切线的斜率为 3 4 k或 4 3 k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 0334yx或0343yx 最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为 0334yx或0343yx G O B N M y A x 图 C A 光路的距离为MA，可由勾股定理求得7 222 CMCAMA 说明： 本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解 类型七：圆中的最值问题 例 18：圆 01044 22 yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是 解 ： 圆1

23、8)2()2( 22 yx的 圆 心 为 （ 2， 2） ， 半 径23r， 圆 心 到 直 线 的 距 离 rd25 2 10 ， 直 线 与 圆 相 离 ， 圆 上 的 点 到 直 线 的 最 大 距 离 与 最 小 距 离 的 差 是 262)()(rrdrd. 例 19(1)已知圆 1)4()3( 22 1 yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求 22 yxd的最大、最 小值 (2)已知圆1)2( 22 2 yxO ：，),(yxP为圆上任一点 求 1 2 x y 的最大、 最小值， 求yx2的 最大、最小值 分析： (1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数

24、形结合解决 解： (1)(法 1)由圆的标准方程1)4()3( 22 yx 可设圆的参数方程为 ,sin4 ,cos3 y x （是参数） 则 2222 sinsin816coscos69yxd )cos(1026sin8cos626（其中 3 4 tan） 所以361026 max d，161026 min d (法 2)圆上点到原点距离的最大值 1 d等于圆心到原点的距离 1d加上半径1，圆上点到原点距离 的最小值 2 d等于圆心到原点的距离 1d减去半径 1 所以 6143 22 1 d 4143 22 2 d 所以36 max d16 min d (2) ( 法 1)由1)2( 22

25、yx得圆的参数方程： ,sin ,cos2 y x 是参数 则 3cos 2sin 1 2 x y 令t 3cos 2sin ， 得tt32cossin， tt32)sin(1 2 1)sin( 1 32 2 t t 4 33 4 33 t 所以 4 33 max t， 4 33 min t 即 1 2 x y 的最大值为 4 33 ，最小值为 4 33 此时 )cos(52sin2cos22yx 所以yx2的最大值为52，最小值为52 (法 2)设k x y 1 2 ，则02kykx由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如 图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值 由1 1 22

26、2 k kk d，得 4 33 k 所以 1 2 x y 的最大值为 4 33 ，最小值为 4 33 令tyx2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值 由1 5 2m d，得52m 所以yx2的最大值为52，最小值为52 例 20：已知)0,2(A，)0, 2(B，点P在圆4)4()3( 22 yx上运动，则 22 PBPA的最小 值是. 解：设),(yxP，则828)(2)2()2( 2 222222 22 OPyxyxyxPBPA.设圆心 为)4, 3(C，则 325 min rOCOP ， 22 PBPA的最小值为26832 2 . 练习： 1：已知点),(yxP在圆1) 1(

27、22 yx上运动 . （1）求 2 1 x y 的最大值与最小值； （2）求yx2的最大值与最小值. 解： （1）设k x y 2 1 ，则k表示点),(yxP与点（ 2，1）连线的斜率 .当该直线与圆相切时，k取得 最大值与最小值.由1 1 2 2 k k ，解得 3 3 k， 2 1 x y 的最大值为 3 3 ，最小值为 3 3 . （2）设myx2，则m表示直线myx2在y轴上的截距 . 当该直线与圆相切时，m取得最 大值与最小值.由1 5 1m ，解得51m，yx2的最大值为51，最小值为51. 2 设点),(yxP是圆1 22 yx是任一点，求 1 2 x y u的取值范围 分析一

28、： 利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决 解法一： 设圆1 22 yx上任一点)sin,(cosP 则有cosx，siny)2,0 1cos 2sin u，2sincosuu )2(sincosuu 即 2)sin(1 2 uu（utan） 1 )2( )sin( 2 u u 又1)sin( 1 1 2 2 u u 解之得： 4 3 u 分析二： 1 2 x y u的几何意义是过圆1 22 yx上一动点和定点)2,1(的连线的斜率，利用 此直线与圆1 22 yx有公共点，可确定出u的取值范围 解法二： 由 1 2 x y u得：) 1(2xuy，此直线与圆1 22 yx有公

29、共点，故点)0,0(到 直线的距离1d 1 1 2 2 u u 解得： 4 3 u 另外，直线)1(2xuy与圆 1 22 yx的公共点还可以这样来处理： 由 1 )1(2 22 yx xuy 消去y后得：0)34()42() 1( 2222 uuxuuxu， 此方程有实根，故 0)34)(1(4)42( 2222 uuuuu， 解之得： 4 3 u 说明： 这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的 有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便 3、已知点)2, 4(),6, 2(),2,2(CBA，点P在圆4 22 yx上运动，求

30、 222 PCPBPA 的 最大值和最小值. 类型八：轨迹问题 例 21、基础训练：已知点M与两个定点)0,0(O，)0 ,3(A的距离的比为 2 1 ，求点M的轨迹方程 . 例 22、已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3） ，端点A在圆4)1( 22 yx上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程 . 例 23 如图所示， 已知圆4 22 yxO：与y轴的正方向交于A点，点B在直线2y上运动，过B 做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹 分析： 按常规求轨迹的方法，设),(yxH，找yx ,的关系非常难由于H点随B，C点运动 而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系 解： 设),(yx

31、H， ),( yxC，连结AH，CH， 则BCAH，ABCH，BC是切线BCOC， 所以AHOC /，OACH /，OCOA， 所以四边形AOCH是菱形 所以2OACH，得 . ,2 xx yy 又),( yxC满足4 2 2 yx， 所以 )0(4)2( 22 xyx即是所求轨迹方程 说明： 题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时 应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知， 可考虑代入法 例 24 已知圆的方程为 222 ryx， 圆内有定点),(baP， 圆周上有两个动点A、B， 使PBPA， 求矩形APBQ的顶

32、点Q的轨迹方程 分析： 利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解 解法一： 如图，在矩形APBQ中，连结AB，PQ交于M，显然ABOM，PQAB， 在直角三角形AOM中，若设),(yxQ，则) 2 , 2 ( byax M 由 222 OAAMOM，即 22222 )()( 4 1 ) 2 () 2 (rbyax byax ， 也即)(2 22222 baryx，这便是Q的轨迹方程 解法二： 设),(yxQ、),( 11 yxA、),( 22 yxB，则 22 1 2 1 ryx， 22 2 2 2 ryx 又 22 ABPQ，即 )(22)()()()( 2121 22 21 2

33、21 22 yyxxryyxxbyax 又AB与PQ的中点重合，故 21 xxax， 21 yyby，即 )(22)()( 2121 222 yyxxrbyax ，有 )(2 22222 baryx 这就是所求的轨迹方程 解法三： 设)sin,cos(rrA、)sin,cos(rrB、),(yxQ， 由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有 coscosrrax， sinsinrrby， 又由PBPA有1 cos sin cos sin ar br ar br 联立、消去、，即可得Q点的轨迹方程为)(2 22222 baryx 说明： 本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充

34、分利用图形的几何性质，否则， 将使解题陷入困境之中 本题给出三种解法其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法 二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法解法二涉及到了 1 x、 2 x、 1 y、 2 y四个参 数，故需列出五个方程；而解法三中， 由于借助了圆 222 ryx的参数方程， 只涉及到两个参数、 ，故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结 合的思想方法求解 练习： 1、由动点P向圆1 22 yx引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=60 0，则动点 P 的轨迹方程是. 解：设),(yxP.APB=60 0

35、， OPA=30 0. APOA，22OAOP， 2 22 yx， 化简得4 22 yx，动点P的轨迹方程是4 22 yx. 练习巩固：设)0)(0 ,(),0,(ccBcA为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 )0(aa，求P点的轨迹 . 解：设动点P的坐标为),(yxP.由)0(aa PB PA ，得a ycx ycx 22 22 )( )( ， 化简得0)1()1(2)1()1( 2222222 acxacyaxa. 当 1a 时，化简得 0 1 )1(2 2 2 2 22 cx a ac yx ，整理得 2 2 22 2 2 ) 1 2 () 1 1 ( a ac yc

36、 a a x； 当 1a 时，化简得 0x . 所以当 1a 时，P点的轨迹是以)0, 1 1 ( 2 2 c a a 为圆心， 1 2 2 a ac 为半径的圆； 当1a时，P点的轨迹是y轴. 2、已知两定点)0,2(A，)0 , 1(B，如果动点P满足PBPA2，则点P的轨迹所包围的面积等于 解 ： 设 点P的 坐 标 是),(yx. 由PBPA2， 得 2222 ) 1(2)2(yxyx， 化 简 得 4)2( 22 yx，点P的轨迹是以（ 2，0）为圆心， 2 为半径的圆，所求面积为4. 4、已知定点)0,3(B，点A在圆1 22 yx上运动，M是线段AB上的一点，且MBAM 3 1

37、， 问点M的轨迹是什么？ 解：设),(),( 11 yxAyxM.MBAM 3 1 ，),3( 3 1 ),( 11 yxyyxx， yyy xxx 3 1 )3( 3 1 1 1 ， yy xx 3 4 1 3 4 1 1 .点A在圆1 22 yx上运动，1 2 1 2 1 yx， 1) 3 4 ()1 3 4 ( 22 yx，即 16 9 ) 4 3 ( 22 yx ，点M的轨迹方程是 16 9 ) 4 3 ( 22 yx. 例 5、已知定点)0 ,3(B，点A在圆1 22 yx上运动，AOB的平分线交AB于点M，则点M的 轨迹方程是. 解：设),(),( 11 yxAyxM.OM是AOB

38、的平分线， 3 1 OB OA MB AM ， MBAM 3 1 .由变式 1 可得点M的轨迹方程是 16 9 ) 4 3 ( 22 yx . 练习巩固：已知直线1kxy与圆4 22 yx相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四 边形OAPB，求点P的轨迹方程 . 解：设),(yxP，AB的中点为M.OAPB是平行四边形，M是OP的中点，点M的坐标为 ) 2 , 2 ( yx ， 且ABOM. 直 线1kxy经 过 定 点)1 ,0(C， CMOM， 0) 1 2 ( 2 ) 2 () 1 2 , 2 () 2 , 2 ( 2 yyxyxyx CMOM，化简得1)1( 22 yx.点P的轨

39、迹方程是 1) 1( 22 yx. 类型九：圆的综合应用 例 25、 已知圆06 22 myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原点，且 OQOP，求实数m的值 分析： 设P、Q两点的坐标为),( 11 yx、),( 22 yx，则由1 OQOP kk，可得0 2121 yyxx， 再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为 x y ，由直线l与圆的方 程构造以 x y 为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 OQOP kk的值，从而使问题得以解决 解法一： 设点P、Q的坐标为),( 11 yx、),( 22 yx一方面，由OQOP，得 1 OQOP kk，即

40、1 2 2 1 1 x y x y ，也即：0 2121 yyxx 另一方面，),( 11 yx、),( 22 yx是方程组 06 032 22 myxyx yx 的实数解，即 1 x、 2 x是方 程0274105 2 mxx 的两个根 2 21 xx， 5 274 21 m xx 又P、Q在直线032yx上， )(39 4 1 )3( 2 1 )3( 2 1 21212121 xxxxxxyy 将代入，得 5 12 21 m yy 将、代入，解得3m，代入方程，检验0成立， 3m 解法二： 由直线方程可得yx23，代入圆的方程06 22 myxyx，有 0)2( 9 )6)(2( 3 12

41、22 yx m yxyxyx， 整理，得 0)274()3(4)12( 22 ymxymxm 由于0x，故可得 012)3(4)(274( 2 m x y m x y m OP k， OQ k是上述方程两根故1 OQOP kk得 1 274 12 m m ，解得3m 经检验可知3m为所求 说明： 求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的m值 进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在 解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于 x y 的二次 齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人

42、以一种淋漓酣畅， 一气呵成之感 例 26、已知对于圆1) 1( 22 yx上任一点),(yxP，不等式0myx恒成立，求实数m的 取值范围 分析一： 为了使不等式0myx恒成立， 即使myx恒成立， 只须使myx min )( 就行了因此只要求出yx的最小值，m的范围就可求得 解法一： 令yxu， 由 1)1( 22 yx uyx 得：0) 1(22 22 uyuy 0且 22 8)1(4uu， 0) 12(4 2 uu 即0) 12 2 uu，2121u， 21 min u，即21)( min yx 又0myx恒成立即myx恒成立 myx21)( min 成立， 12m 分析二：设圆上一点)

43、sin1,(cosP因为这时P点坐标满足方程1)1( 22 yx问题转化 为利用三解问题来解 解法二： 设圆1) 1( 22 yx上任一点)sin1,(cosP)2,0 cosx，sin1y 0myx恒成立 0sin1cosm 即)sincos1(m恒成立 只须m不小于)sincos1(的最大值 设1) 4 sin(21)cos(sinu 12 max u即12m 说明： 在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆 222 )()(rbyax上的 点设为)sin,cos(rbra()2,0)采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面 可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实

44、质就是三角代换 例 27 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回 的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3 倍已知A、B两地距离为10 公里，顾客选 择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求A、B两地的售货区域的 分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点 分析： 该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意 识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用解题时要 明确题意，掌握建立数学模型的方法 解： 以A、B所确定的直线为x轴，AB的

45、中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标 系 10AB，)0,5(A，)0,5(B 设某地 P的坐标为),(yx ， 且P地居民选择 A地购买商品便宜， 并设A地的运费为a3 元 /公里， B地的运费为a元 /公里因为P地居民购货总费用满足条件： 价格A地运费价格B地的运费 即： 2222 )5()5(3yxayxa 0a， 2222 )5()5(3yxyx 化简整理得： 222 ) 4 15 () 4 25 (yx 以点)0, 4 25 (为圆心 4 15 为半径的圆是两地购货的分界线 圆内的居民从A地购货便宜， 圆外的居民从B地购货便宜， 圆上的居民从A、B两地购货的总 费用相等因此可随意从A、B两地之一购货 说明： 实际应用题要明确题意，建议数学模型