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1、高中数学函数知识点梳理复习指导 1函数的单调性 (1) 设 2121 ,xxbaxx那么 1212 ()()()0xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在上是增函数； 1212 ()()()0xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果 0)(xf，则)(xf为减函数 . 注：如果函数)(xf和)(xg都是减函数 ,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减 函 数 ; 如 果 函 数)(ufy和)(xgu在 其 对 应 的
2、定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 )(xgfy是增函数 . 2.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ;反过来，如果一个函数的图象关 于原点对称， 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称， 那么这个函数是 偶函数 注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶 函数，则)()(axfaxf. 注： 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是 函数 2 ba x; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线 2 ba x对称 . 注 ： 若)
3、()(axfxf, 则 函 数)(xfy的 图 象 关 于 点)0 , 2 ( a 对 称 ; 若 )()(axfxf, 则函数)(xfy为周期为a2的周期函数 . 3.多项式函数 1 10 ( ) nn nn P xa xaxa的奇偶性 多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零. 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零. 23. 函数( )yf x的图象的对称性 (1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax (2)( )faxf x. (2) 函数( )yf x的图象关于直线 2
4、 ab x对称()()f amxf bmx ()()f abmxf mx. 4.两个函数图象的对称性 (1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0x( 即y轴) 对称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线 2 ab x m 对称 . (3) 函数)(xfy和)( 1 xfy的图象关于直线y=x 对称 . 25. 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图 象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位， 得到曲线0),(byaxf的图 象. 5.互为反函数的两个函数的关系 abfbaf)()( 1 . 27. 若
5、 函 数)(bkxfy存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为)( 11 bxf k y , 并 不 是 )( 1 bkxfy , 而函数)( 1 bkxfy 是)( 1 bxf k y的反函数 . 6.几个常见的函数方程 (1) 正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)f xyfxf yfc. (2) 指数函数( ) x f xa,()( )( ),(1)0f xyf x f yfa. (3) 对数函数( )log a f xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xfyf aaa. (4) 幂函数( )f xx , ()( )( ),(1)f xyf x fy
6、f. (5) 余弦函数( )cosf xx, 正弦函数( )sing xx，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y， 0 ( ) (0)1,lim1 x g x f x . 7.几个函数方程的周期(约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a； （2）0)()(axfxf， 或)0)( )( 1 )(xf xf axf， 或 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f x, 或 2 1 ( )( )(),( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x, 则)(xf的周期 T=2a； (3)0)( )( 1 1)(xf axf xf，则
7、)(xf的周期 T=3a； (4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf且 1212 ( )1()()1,0| 2 )f af xf xxxa，则 )(xf的周期 T=4a； (5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a； (6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 8.分数指数幂 (1) 1 m n nm a a （0,am nN，且1n）. (2) 1 m n m n a a
8、 （0,am nN，且1n） . 9.根式的性质 （1）() nn aa. （2）当n为奇数时， nn aa； 当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . 10.有理指数幂的运算性质 (1)(0, ,) rsrs aaaar sQ. (2)()(0, ,) rsrs aaar sQ. (3)()(0,0,) rrr aba babrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式 log b aN ba N ( 0,1,0)aaN . 34. 对数的换底公式 log log
9、 log m a m N N a (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglog m n a a n bb m (0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 11.对数的四则运算法则 若 a0，a1，M 0，N0，则 (1)log ()loglog aaa MNMN; (2)logloglog aaa M MN N ; (3)loglog() n aa MnM nR. 注：设函数)0)(log)( 2 acbxaxxf m , 记acb4 2 . 若)(xf的定义域为 R, 则0a，且0; 若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 , 需要 单独检验 . 12.对数换底不等式及其推论 若 0a , 0b , 0x , 1 x a , 则函数log() ax ybx (1) 当a b时, 在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log() ax ybx为增函数 . (2)(2)当a b时 , 在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log() ax ybx为减函数 . 推论 :设 1nm ， 0p ， 0a ，且 1a ，则 （1）log()log m pm npn. （2） 2 logloglog 2 aaa mn mn.