高中数学必修二人教版点直线平面之间的位置关系证明题精选.pdf

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1、高中数学必修二（人教版）点、直线、平面之间的位置关系证明题精选 一解答题（共 20小题，满分 120分，每小题 6分） 1 （6 分）如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直， ADE=90，AF DE ，DE=DA=2AF=2 （1）求证：AC 平面 BEF ； （2）求四面体 BDEF 的体积 2 （6分） 在四棱锥 P ABCD中， ABC= ACD=90 ， BAC= CAD=60 ， PA 平面 ABCD ， E为 PD的中点， PA=2AB=2 （1）求证：PC AE ； （2）求证：CE 平面 PAB ； （3）求三棱锥 PACE的体积 V 3 （6 分

2、）如图，在棱长均为 4的三棱柱 ABC A1B1C1中，D、D1分别是 BC和 B1C1的中点 （1）求证：A1D1平面 AB1D； （2）若平面 ABC 平面 BCC 1B1，B1BC=60，求三棱锥 B1ABC的体积 4 （6 分）如图所示，四棱锥 P ABCD的底面为直角梯形， AB AD，CD AD，CD=2AB 点 E是 PC的中点 （）求证： BE 平面 PAD ； （）已知平面 PCD 底面 ABCD ，且 PC=DC 在棱 PD上是否存在点 F ，使 CF PA ？请说明理由 5 （6 分）如图，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD是菱形，SA 平面 ABCD ，M，N 分

3、别为 SA ，CD的中点 （I）证明：直线 MN平面 SBC ； （）证明：平面 SBD 平面 SAC 6 （6 分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面 PAB为等腰直角三角形， C为底面圆周上一点 （）若弧 BC的中点为 D求证：AC 平面 POD ； （）如果 PAB面积是 9，求此圆锥的表面积 7 （6 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是菱形，PA 平面 ABCD ，PA=3 ，F 是棱 PA 上的一个动点， E 为 PD 的中点 （）求证：平面BDF 平面 PCF ； （）若 AF=1 ，求证：CE 平面 BDF 8 （6 分）已知，如图， P是平面 ABC外一

4、点，PA不垂直于平面 ABC ，E ，F分别是线段 AC，PC的中点，D 是线段 AB上一点， AB=AC ，PB=PC ，DE EF （1）求证：PA BC ； （2）求证：BC 平面 DEF 9 （6 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是菱形，AB=2 ，DAB=60，EF AC ，EF= （）求证： FC 平面 BDE ； （）若 EA=ED ，求证：ADBE 10 （6分）长方体 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 是正方形， AA1=2，AB=1 ，E是 DD1上的一点 （1）求异面直线 AC与 B1D 所成的角； （2）若 B1D平面 ACE ，求三棱

5、锥 ACDE的体积 11 （6 分）如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面四边形 ABCD为菱形，A1A=AB=2 ，ABC=，E ，F 分别 是 BC ，A1C的中点 （1）求异面直线 EF ，AD所成角的余弦值； （2）点 M 在线段 A1D 上， = 若 CM平面 AEF ，求实数 的值 12 （6分）如图，六面体 ABCDE 中，面 DBC 面 ABC ，AE 面 ABC （1）求证：AE 面 DBC ； （2）若 AB BC ，BDCD ，求证：ADDC 13 （6分）如图：在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是菱形，ABC=60，PA 平面 ABCD ，点 M，N

6、分别为 BC ， PA的中点，且 PA=AB=2 （）证明： BC 平面 AMN； （）求三棱锥 NAMC的体积； （）在线段 PD上是否存在一点 E ，使得 NM平面 ACE ；若存在，求出 PE的长；若不存在，说明理由 14 （6 分）在空间四边形 ABCD中，H，G分别是 AD，CD的中点，E，F分别边 AB ，BC上的点，且=求 证： 点 E，F ，G，H四点共面； 直线 EH ，BD，FG相交于一点 15 （6分）如图长方体 ABCD ABCD 中，AB=BC=1 ，AA=2 ，E、F分别是 BB、AB的中点 （1）求证：E 、F、C 、D四点共面； （2）求异面直线 AC 、CE夹

7、角的余弦值 16 （6分）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，D，E分别是 AB ，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB （1）证明：BC 1平面 A1CD； （2）求异面直线 BC1和 A1D 所成角的大小 17 （6分）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AC，且 AC=AA1 （1）求证：ABA1C； （2）求异面直线 A1C与 BB 1所成角的大小 18 （6分） （文科）设 A在平面 BCD内的射影是直角三角形 BCD的斜边 BD的中点 O， AC=BC=1 ，CD=， 求（1）AC与平面 BCD所成角的大小； （2）异面直线 AB和 CD的大小 19

8、（6分）三角形 PDC所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直， PD=PC=4 ，BC=3 点 E是 CD边的 中点，点 F、G分别在线段 AB、BC上，且 AF=2FB ，CG=2GB （1）证明：BC 平面 PDA ； （2）求二面角 PADC的大小； （3）求直线 PA与直线 FG所成角的余弦值 20 （6分）如图，在四棱锥 PABCD中，M，N 分别是 AB ，PC的中点，若 ABCD是平行四边形 （1）求证：MN平面 PAD （2）若 PA=AD=2a ，MN 与 P A所成的角为 30 求 MN 的长 高中数学必修二（人教版）点、直线、平面之间的位置关系证明题精选 参考答案与

9、试题解析 一解答题（共 20小题，满分 120分，每小题 6分） 1 （6 分） （2017?雅安模拟）如图所示，正方形 ABCD与直角梯形 ADEF所在平面互相垂直， ADE=90，AF DE ， DE=DA=2AF=2 （1）求证：AC 平面 BEF ； （2）求四面体 BDEF 的体积 【考点】LS ：直线与平面平行的判定； L ：组合几何体的面积、体积问题； LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 菁优网 版权所有 【专题】15 ：综合题 【分析】 （1）设正方形 ABCD的中心为 O，取 BE中点 G，连接 FG ，OG，由中位线定理，我们易得四边形 AFGO是 平行四边形，即 FGOA，由

10、直线与平面平行的判定定理即可得到AC 平面 BEF ； （2）由已知中正方形 ABCD与直角梯形 ADEF所在平面互相垂直，ADE=90 ，我们可以得到 AB平面 ADEF ，结合 DE=DA=2AF=2分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体BDEF 的体积 【解答】证明： （1）设 AC BD=O ，取 BE中点 G，连接 FG ，OG ， 所以，OG DE，且 OG= DE 因为 AF DE，DE=2AF ， 所以 AF OG，且 OG=AF ， 从而四边形 AFGO是平行四边形， FGOA 因为 FG ? 平面 BEF ，AO?平面 BEF ， 所以 AO平面 BEF

11、 ，即 AC 平面 BEF （6分） 解： （2）因为平面 ABCD 平面 ADEF ，ABAD， 所以 AB平面 ADEF 因为 AF DE ，ADE=90 ，DE=DA=2AF=2 所以DEF的面积为 SDEF= ED AD=2， 所以四面体 BDEF 的体积 V=?SDEFAB=（12分） 【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及棱锥的体积， （1）的关键是证明出 FGOA， （2）的关键是 得到 AB平面 ADEF ，即四面体 BDEF 的高为 AB 2 （6 分） （2017?广西一模）在四棱锥 P ABCD中，ABC= ACD=90 ，BAC= CAD=60 ，PA 平面

12、ABCD ，E为 PD的中点， PA=2AB=2 （1）求证：PC AE ； （2）求证：CE 平面 PAB ； （3）求三棱锥 PACE的体积 V 【考点】LS ：直线与平面平行的判定； LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 菁优网版权所有 【专题】31 ：数形结合 【分析】 （1）取 PC中点 F，利用等腰三角形的性质可得 PC AF ，先证明 CD 平面 P AC ，可得 CDPC ，从而 EF PC ，故有 PC 平面 AEF ，进而证得 PC AE （2）取 AD中点 M，利用三角形的中位线证明 EM平面 PAB ，利用同位角相等证明 MCAB ，得到平面 EMC 平 面 PAB ，证得

13、EC 平面 PAB （3） 由（1）知 AC=2 ，EF= CD ，且 EF 平面 PAC ，求得 EF 的值，代入 V=进行运算 【解答】解： （1）在 RtABC中，AB=1 ，BAC=60 ， BC=，AC=2 取 PC中点 F ，连 AF，EF ， PA=AC=2 ，PC AF PA 平面 ABCD ，CD ? 平面 ABCD ， PA CD ，又ACD=90 ，即 CD AC ， CD 平面 PAC ，CDPC ， EF PC ，PC 平面 AEF ，PCAE （2）证明：取 AD中点 M，连 EM，CM则 EMPA EM?平面 PAB ，P A? 平面 PAB ， EM平面 PAB

14、 在 RtACD中，CAD=60 ，AC=AM=2 ， ACM=60 而BAC=60 ，MCAB MC?平面 PAB ，AB ? 平面 PAB ，MC平面 PAB EMMC=M，平面 EMC 平面 PAB EC ? 平面 EMC ，EC 平面 PAB （3）由（1）知 AC=2 ，EF= CD，且 EF 平面 PAC 在 RtACD中，AC=2 ，CAD=60 ， CD=2，得 EF= 则 V= 【点评】本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，取PC中点 F，AD中点 M，利用三角形的中位线的性质是解题 的关键 3 （6 分） （2017?汉中二模）如图，在棱长均为 4 的三棱柱 ABC A1B

15、1C1中，D、D1分别是 BC和 B1C1的中点 （1）求证：A1D1平面 AB 1D； （2）若平面 ABC 平面 BCC 1B1，B1BC=60，求三棱锥 B1ABC的体积 【考点】LS ：直线与平面平行的判定； LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；14 ：证明题 【分析】 （1）欲证 A1D1平面 AB 1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面 AB1D 内一直线平行， 连接 DD1，根据中位线定理可知 B1D1BD，且 B1D1=BD ，则四边形 B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D 为平行四边形，则 A1D1AD

16、又 A1D1?平面 AB 1D，AD? 平面 AB1D，满足定理所需条件； （2） 根据面面垂直的性质定理可知 AD平面 B1C1CB ，即 AD是三棱锥 AB1BC的高，求出三棱锥 AB1BC的体积， 从而求出三棱锥 B1ABC的体积 【解答】解： （1）证明：连接 DD1，在三棱柱 ABC A1B1C1中， D、D1分别是 BC和 B1C1的中点 B1D1BD，且 B1D1=BD 四边形 B1BDD 1为平行四边形 BB1DD1，且 BB1=DD1 又因 AA1BB 1，AA1=BB1 所以 AA1DD1，AA1=DD1 所以四边形 AA1D1D为平行四边形，所以 A1D1AD 又 A1D

17、1?平面 AB1D，AD? 平面 AB1D 故 A1D1平面 AB1D； （2）在ABC中，棱长均为 4，则 AB=AC ，D为 BC的中点，所以 ADBC 因为平面 ABC 平面 B1C1CB，交线为 BC ，AD? 平面 ABC 所以 AD平面 B1C1CB ，即 AD是三棱锥 AB1BC的高 在ABC中，AB=AC=BC=4 得 AD=2 在B1BC中，B1B=BC=4 ，B1BC=60 所以B1BC的面积为 4 三棱锥 B1ABC的体积即为三棱锥 AB1BC的体积 V= =8 【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转 化与划归

18、的思想，属于中档题 4 （6 分） （2017?漳州模拟）如图所示，四棱锥 PABCD的底面为直角梯形， ABAD，CD AD，CD=2AB 点 E是 PC的中点 （）求证： BE 平面 PAD ； （）已知平面 PCD 底面 ABCD ，且 PC=DC 在棱 PD上是否存在点 F ，使 CF PA ？请说明理由 【考点】LS ：直线与平面平行的判定； L Y ：平面与平面垂直的判定 菁优网版权所有 【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想； 4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离 【分析】 （1）根据线面平行的判定定理即可证明： BE 平面 PAD ； （2）棱 PD上存在点 F为 PD

19、的中点，使 CF PA ，利用三垂线定理可得结论 【解答】 （1）证明：取 PD中点 Q，连结 AQ、EQ （1分） E为 PC的中点， EQ CD且 EQ= CD （2 分） 又AB CD且 AB=CD ， EQ AB且 EQ=AB （3分） 四边形 ABED是平行四边形， BE AQ （4 分） 又BE ?平面 PAD ，AQ? 平面 PAD ， BE 平面 PAD （5 分） （2）解：棱 PD上存在点 F为 PD的中点，使 CF PA ， 平面 PCD 底面 ABCD ，平面 PCD 底面 ABCD=CD ，ADCD ， AD平面 PCD ， DP是 PA在平面 PCD中的射影， PC

20、=DC ，PF=DF ， CF DP ， CF PA 【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理考查学生的推理能力 5 （6 分） （2017?乐山一模）如图，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD 是菱形，SA 平面 ABCD ，M，N 分别为 SA ， CD的中点 （I）证明：直线 MN平面 SBC ； （）证明：平面 SBD 平面 SAC 【考点】LS ：直线与平面平行的判定； LW ：直线与平面垂直的判定 菁优网版权所有 【专题】5F ：空间位置关系与距离 【分析】 （）取 SB中点 E ，连接 ME、CE ，由三角形中位线定理、 菱形性质得四边形

21、 MECN是平行四边形，由此能 证明直线 MN平面 SBC （）连接 AC、BD，交于点 O，由线面垂直得 SA BD，由菱形性质得 AC BD，由此能证明平面 SBD 平面 SAC 【解答】 （）证明：如图，取 SB中点 E，连接 ME、CE ， 因为 M 为 SA的中点，所以 MEAB ，且 ME=， （2 分） 因为 N 为菱形 ABCD边 CD的中点， 所以 CNAB ，且 CN=， （3 分） 所以 MECN ，ME=CN ， 所以四边形 MECN是平行四边形， 所以 MNEC ， （5分） 又因为 EC ? 平面 SBC ，MN?平面 SBC ， 所以直线 MN平面 SBC （6分

22、） （）证明：如图，连接 AC 、BD，交于点 O， 因为 SA 底面 ABCD ，所以 SA BD （7 分） 因为四边形 ABCD是菱形，所以 AC BD （8 分） 又 SA AC=A ，所以 BD平面 SAC （10分） 又 BD? 平面 SBD ，所以平面 SBD 平面 SAC （12分） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培 养 6 （6 分） （2017? 新罗区校级模拟）如图， O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面P AB为等腰直角三角形， C 为底 面圆周上一点 （）若弧 BC的中点为 D求证：AC 平面 POD

23、 ； （）如果 PAB面积是 9，求此圆锥的表面积 【考点】LS ：直线与平面平行的判定； LE ：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 菁优网版权所有 【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想； 44 ：数形结合法； 5F ：空间位置关系与距离 【分析】 （）证法 1：设 BC OD=E ，由已知可证 ACOE ，线线平行即可证明线面平行 AC 平面 POD ；证法 2： 由 AB是底面圆的直径，可证 ACBC ，利用 ODBC ，可证 AC OD，即可判定 AC 平面 POD （）设圆锥底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，由圆锥的轴截面 PAB为等腰直角三角形，可求， 利用三角形面积公式可

24、求 r，进而可求此圆锥的表面积 【解答】解： （）证法 1：设 BC OD=E ，D 是弧 BC的中点， E是 BC的中点， 又O是 AB的中点，AC OE ， 又AC ?平面 POD ，OE ? 平面 POD ， AC 平面 POD 证法 2：AB是底面圆的直径， AC BC ， 弧 BC的中点为 D，OD BC ， 又 AC ，OD共面，AC OD， 又 AC ?平面 POD ，OD? 平面 POD ， AC 平面 POD （）解：设圆锥底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， 圆锥的轴截面 PAB为等腰直角三角形， ， 由，得 r=3， 【点评】本题主要考查了线面平行的判定，考查了三角形

25、面积公式，考查了圆锥的表面积的求法，考查了空间想象 能力和推理论证能力，属于中档题 7 （6 分） （2017?青岛一模）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA 平面 ABCD ，PA=3 ，F 是棱 P A 上的一个动点， E 为 PD 的中点 （）求证：平面BDF 平面 PCF ； （）若 AF=1 ，求证：CE 平面 BDF 【考点】LS ：直线与平面平行的判定； L Y ：平面与平面垂直的判定 菁优网版权所有 【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想； 4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离 【分析】 （）连接 AC交 BD于 O，证明 BD 平面 PAC ，

26、即可证明结论； （）取 PF中点 G，连接 EG ，CG ，连接 FO 由三角形中位线定理可得 FO GC ，GE FD然后利用平面与平面平 行的判定得到面 GEC 面 FOD ，进一步得到 CE 面 BDF 【解答】证明： （）连接 AC交 BD于 O，则 AC BD ， PA 平面 ABCD ，BD? 平面 ABCD ， PA BD ， PA AC=A ， BD平面 PAC ， BD? 平面 BDF ， 平面 BDF 平面 PAC ，即平面 BDF 平面 PCF ； （）如图所示，取 PF中点 G，连接 EG ，CG ，连接 FO 由题可得 F为 AG中点，O为 AC中点， FOGC ；

27、又 G为 PF中点，E为 PD中点， GE FD 又 GE GC=G ，GE 、GC ? 面 GEC ， FO FD=F ，FO ，FD ? 面 FOD 面 GEC 面 FOD CE ? 面 GEC ， CE 面 BDF ； 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，是 中档题 8 （6 分） （2017? 达州模拟）已知，如图， P是平面 ABC外一点，PA不垂直于平面 ABC ，E，F分别是线段 AC ，PC 的中点，D是线段 AB上一点，AB=AC ，PB=PC ，DE EF （1）求证：PA BC ； （2）求证：BC 平面 DE

28、F 【考点】LS ：直线与平面平行的判定； LX ：直线与平面垂直的性质 菁优网版权所有 【专题】14 ：证明题；48 ：分析法；5F ：空间位置关系与距离 【分析】 （1）设线段 BC的中点为 G，分别连接 AG 、PG 构建线面垂直：BC平面 AGP 根据线面垂直的性质证得 结论； （2）利用三角形中位线定理推知 EF AP 结合已知条件得到 P ADE 因为 PA BC ，BC 、DE是平面 ABC内两条 直线，如果 BC 、DE相交，则 PA 平面 ABC ，与 PA不与平面 ABC的垂直矛盾 故 BC DE最后根据线面平行的判定定理得到结论 【解答】 （1）证明：设线段 BC的中点为

29、 G，分别连接 AG 、PG AB=AC ，PB=PC ， AGBC ，PG BC ， AG、PG是平面 AGP内的两条相交线， BC 平面 AGP PA ? 平面 AGP ， PA BC （2）证明：E 、F分别是线段 AC 、PC的中点， EF AP DE EF ， PA DE 因为 PA BC ，BC 、DE是平面 ABC内两条直线， 如果 BC 、DE相交，则 PA 平面 ABC ，与 PA不与平面 ABC的垂直矛盾 BC DE 又 BC ?平面 DEF ，DE ? 平面 DEF ， BC 平面 DEF 【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理，考查了

30、空间想象能力、推理 能力，属于中档题 9 （6 分） （2017?济南一模）如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD是菱形，AB=2 ，DAB=60，EF AC ，EF= （）求证： FC 平面 BDE ； （）若 EA=ED ，求证：ADBE 【考点】LS ：直线与平面平行的判定； LO ：空间中直线与直线之间的位置关系 菁优网版权所有 【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想； 4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离 【分析】 （）设 AC BD=O ，连接 EO ，证明 FC EO ，即可证明：FC 平面 BDE ； （）取 AD中点 M，连接 EM，BM，证明 AD平面 E

31、MB，即可证明：ADBE 【解答】证明： （）设 AC BD=O ，连接 EO 底面 ABCD是菱形， DAB=60 ，OC=， EF AC ， EFCO 为平行四边形， FC EO ， FC ?平面 BDE ，EO ? 平面 BDE ， FC 平面 BDE ； （）取 AD中点 M，连接 EM，BM， EA=ED ，EMAD AB=AD=BD ，BMAD， EMBM=M， AD平面 EMB ， BE ? 平面 EMB， ADEB 【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 10 （6分） （2017? 上海模拟）长方体 ABCD A1B1

32、C1D1中，底面 ABCD是正方形，AA1=2，AB=1 ，E是 DD1上的一点 （1）求异面直线 AC与 B1D 所成的角； （2）若 B1D平面 ACE ，求三棱锥 ACDE的体积 【考点】LM：异面直线及其所成的角； LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 菁优网版权所有 【专题】5F ：空间位置关系与距离； 5G ：空间角 【分析】 （1）建立如图所示的空间直角坐标系， 利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角； （2）利用线面垂直的性质定理即可得到点 E的坐标，利用 VACDE=VEADC即可得到体积 【解答】解：以 D 为原点， DA、DC 、DD1所在直线分别为 x轴、

33、y轴、z轴建立空间直角坐标系 （1）依题意，D（0，0，0） ，A（1，0，0） ，C （0，1，0） ，B1（1，1，2） ， ， ， 异面直线 AC与 B1D所成的角为 （2）设 E （0，0，a） ，则， B1D平面 ACE ，AE ? 平面 ACE ，B1DAE ，1+2a=0 ， VACDE=VEADC= = 【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两条异面直线所成的角、 及掌握线面垂直的性质定理、 “ 等积变形” 、三棱锥的体积计算公式是解题的关键 11（6分）（2017?南京二模） 如图， 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， 底面四边

34、形 ABCD为菱形， A1A=AB=2 ， ABC=， E ，F分别是 BC ，A1C的中点 （1）求异面直线 EF ，AD所成角的余弦值； （2）点 M 在线段 A1D 上， = 若 CM平面 AEF ，求实数 的值 【考点】LM：异面直线及其所成的角； LT ：直线与平面平行的性质 菁优网版权所有 【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想； 4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离； 5G ：空间角 【分析】 （1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD所成角的余弦值； （2）点 M 在线段 A1D 上， = 求出平面 AEF的法向量，利用 CM平面 AEF

35、，即可求实数 的值 【解答】解：因为四棱柱 ABCD A1B1C1D1为直四棱柱， 所以 A1A平面 ABCD 又 AE ? 平面 ABCD ，AD? 平面 ABCD ， 所以 A1AAE ，A1AAD 在菱形 ABCD中ABC=，则ABC是等边三角形 因为 E是 BC中点，所以 BC AE 因为 BC AD，所以 AE AD 建立空间直角坐标系则 A（0，0，0） ，C（，1，0） ，D（0，2，0） ， A1（0，0，2） ，E（ ，0，0） ，F（，1） （1）=（0，2，0） ，=（，1） ， 所以异面直线 EF ，AD所成角的余弦值为= （4分） （2）设 M（x，y，z） ，由于点

36、 M 在线段 A1D 上，且 = ， 则（x，y，z2）= （0，2，2） 则 M（0，2 ，22 ） ，=（，2 1，22 ） （6分） 设平面 AEF的法向量为=（x0，y0，z0） 因为=（，0，0） ，=（，1） ， 由，得 x0=0， y0+z0=0 取 y0=2，则 z0=1， 则平面 AEF的一个法向量为 n=（0，2，1） （8 分） 由于 CM平面 AEF ，则=0，即 2（2 1）（22 ）=0，解得 = （10分） 【点评】本题考查线面角，考查线面平行的运用，考查向量知识的运用，属于中档题 12 （6分） （2017?南京一模）如图，六面体 ABCDE 中，面 DBC 面

37、 ABC ，AE 面 ABC （1）求证：AE 面 DBC ； （2）若 AB BC ，BDCD ，求证：ADDC 【考点】LO ：空间中直线与直线之间的位置关系； LS ：直线与平面平行的判定 菁优网版权所有 【专题】5F ：空间位置关系与距离 【分析】 （1）过点 D作 DO BC ，O为垂足，由已知得 DO面 ABC ，由此能证明 AE 面 DBC （2）由已知得 DOAB，AB面 DBC ，从而 ABDC ，由此能证明 ADDC 【解答】证明： （1）过点 D 作 DO BC，O为垂足 因为面 DBC 面 ABC ，又面 DBC 面 ABC=BC ，DO? 面 DBC ， 所以 DO面

38、 ABC 又 AE 面 ABC ，则 AE DO 又 AE ?面 DBC ，DO ? 面 DBC ，故 AE 面 DBC （2）由（1）知 DO 面 ABC ，AB? 面 ABC ，所以 DOAB 又 AB BC ，且 DO BC=O ，DO，BC ? 平面 DBC ，则 AB 面 DBC 因为 DC ? 面 DBC ，所以 AB DC 又 BDCD，AB DB=B ，AB，DB? 面 ABD ，则 DC 面 ABD 又 AD? 面 ABD ，故可得 ADDC 【点评】本题第（1）问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第（2）问通过线 面垂直证线线垂直问题 13 （

39、6 分） （2017? 湖南三模）如图：在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是菱形，ABC=60，PA 平面 ABCD ，点 M， N 分别为 BC ，PA的中点，且 PA=AB=2 （）证明： BC 平面 AMN； （）求三棱锥 NAMC的体积； （）在线段 PD上是否存在一点 E ，使得 NM平面 ACE ；若存在，求出 PE的长；若不存在，说明理由 【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系； LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；14 ：证明题 【分析】 （I）要证线与面垂直，只要证明线与面上的两条相交线垂直，找面上的两条线，根据四边形是一个菱

40、形， 从菱形出发找到一条，再从 P A平面 ABCD ，得到结论 （II）要求三棱锥的体积，首先根据所给的体积确定用哪一个面做底面，会使得计算简单一些，选择三角形AMC， 做出底面面积，利用体积公式得到结果 （III）对于这种是否存在的问题，首先要观察出结论，再进行证明，根据线面平行的判定定理，利用中位线确定线 与线平行，得到结论 【解答】解： （）证明： ABCD为菱形， AB=BC 又ABC=60 ， AB=BC=AC ， 又 M 为 BC中点，BC AM 而 PA 平面 ABCD ，BC ? 平面 ABCD ，PA BC 又 PA AM=A，BC 平面 AMN （II） 又 PA 底面

41、ABCD ，PA=2 ，AN=1 三棱锥 NAMC的体积SAMC?AN = （III）存在点 E ， 取 PD中点 E ，连接 NE，EC ，AE ， N，E分别为 PA ，PD中点， 又在菱形 ABCD中， ，即 MCEN是平行四边形 NMEC ， 又 EC ? 平面 ACE ，NM?平面 ACE MN平面 ACE ， 即在 PD上存在一点 E，使得 NM平面 ACE ， 此时 【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是一个非常适合作为高考题目出现的问题，题目包含的知识 点比较全面，重点突出，是一个好题 14 （6分） （2017春?龙海市校级月考） 在空间四边形 ABCD 中，H，

42、G分别是 AD，CD的中点，E，F分别边 AB ，BC 上的点，且=求证： 点 E，F ，G，H四点共面； 直线 EH ，BD，FG相交于一点 【考点】LJ ：平面的基本性质及推论 菁优网版权所有 【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合； 49 ：综合法； 5F ：空间位置关系与距离 【分析】利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理， 得到 EF 、GH都平行于 AC，由平行线的传递性得到 EF GH， 根据两平行线确定一平面得出证明； （2）利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明 【解答】证明：如图所示， 空间四边形 ABCD中，H，G分别是 AD，CD的中点

43、， HGAC ； 又=， EF AC ， EF HG， E 、F 、G、H 四点共面； 设 EH与 FG交于点 P， EH? 平面 ABD P在平面 ABD内， 同理 P在平面 BCD内， 且平面 ABD 平面 BCD=BD ， 点 P在直线 BD上， 直线 EH ，BD，FG相交于一点 【点评】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以 及三线共点的应用问题 15 （6 分） （2017春?东湖区校级月考） 如图长方体 ABCD ABCD 中，AB=BC=1 ，AA=2，E 、F分别是 BB、AB 的中 点 （1）求证：E 、F、C 、D四点

44、共面； （2）求异面直线 AC 、CE夹角的余弦值 【考点】LM：异面直线及其所成的角； LJ ：平面的基本性质及推论 菁优网版权所有 【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想； 4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离； 5G ：空间角 【分析】 （1）证明：EF DC ，即可证明 E、F、C、D四点共面； （2）连接 AC ，则 ACE为异面直线 AC 、CE夹角，即可求异面直线 AC 、CE夹角的余弦值 【解答】 （1）证明：如图所示，连接 AB，DC ，则 EF ABDC ， E 、F 、C、D四点共面； （2）解：连接 AC，则ACE为异面直线 AC 、CE夹角， AB=BC=1

45、，AA=2 ， AE=CE=AC= 异面直线 AC、CE夹角的余弦值为 【点评】本题考查平面的基本性质，考查异面直线所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 16（6分）（2017春?桥西区校级月考） 如图， 直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E分别是 AB ， BB1的中点， AA1=AC=CB=AB （1）证明：BC 1平面 A1CD； （2）求异面直线 BC 1和 A1D 所成角的大小 【考点】LM：异面直线及其所成的角； LS ：直线与平面平行的判定 菁优网版权所有 【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合； 41 ：向量法； 5F ：空间位置关系与距离； 5G ：空间角

46、 【分析】 （1）连接 AC1与 A1C相交于点 F ，连接 DF ，推导出 BC 1DF ，由此能证明 BC1平面 A1CD （2）法一（几何法） ： 由（1）得A1DF或其补角为异面直线 BC1和 A1D 所在角，由此能求出异面直线 BC1和 A1D所成角的大小 法二（向量法） ： 以 C为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，的方向为 y 轴正方向，的方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐 标系 Cxyz 利用向量法能求出异面直线 BC 1与 A1D 所成角 【解答】证明： （1）连接 AC1与 A1C相交于点 F ，连接 DF 由矩形 ACC 1A1可得点 F是 AC1的中点，又 D 是 AB的中点， BC 1DF， BC1?平面 A1CD ，DF ? 平面 A1CD ， BC 1平面 A1CD 解： （2）解法一（几何法） ： 由（1）得A1DF或其补角为异面直线 BC1和 A1D 所在角， 设 AB=2 ，则， ， 在A1DF中，由余弦定理得： ，且A