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1、高中数学抛物线练习题 一、选择题： 1. (浙江 )函数 yax 21 的图象与直线 yx 相切，则 a( ) (A) 1 8 (B) 4 1 (C) 2 1 (D)1 2. （上海 ）过抛物线xy4 2 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则 这样的直线（） A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在 3. 抛物线 2 4xy 上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线xy4 2 的准线重合，则 该双曲线与抛物线xy4
2、2 的交点到原点的距离是（） A 23+6B21C21218D21 5 .（江苏卷） 抛物线 y=4 2 x上的一点M 到焦点的距离为1，则点 M 的纵坐标是 ( ) ( A ) 16 17 ( B ) 16 15 ( C ) 8 7 ( D ) 0 6. （湖北卷）双曲线)0(1 22 mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线xy4 2 的焦点重合，则mn 的值为（） A 16 3 B 8 3 C 3 16 D 3 8 二、填空题： 7顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6 的抛物线方程是. 8若抛物线mxxy2 2 1 2 的焦点在x 轴上，则m 的值是. 9过（ 1，2）作直
3、线与抛物线xy4 2 只有一个公共点，则该直线的斜率为. 10抛物线 2 2xy为一组斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方程是. 三、解答题： 11. （江西卷） 如图， M 是抛物线上y 2=x 上的一点， 动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、 B 两点，且MA=MB. （1）若 M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若 M 为动点，且EMF=90 ，求 EMF 的重心 G 的轨迹 12.（上海 ）本题共有3 个小题 ,第 1 小题满分4 分, 第 2 小题满分6 分, 第 3 小题满分6 分. x y O A B E F M 已知抛物线y 2=2px(p0) 的焦点为 F,A
4、是抛物线上横坐标为 4、且位于x 轴上方的点 ,A 到抛物线准线的 距离等于5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN FA, 垂足为 N,求点 N 的坐标 ; (3)以 M 为圆心 ,MB 为半径作圆M.当 K(m,0) 是 x 轴上一动点时,丫讨论直线AK 与圆 M 的位置关系 . 当 m0) 则直线 MF 的斜率为 k，方程为 2 00 ().yyk xy 由 2 00 2 ()yyk xy yx ，消 2 00 (1)0xkyyyky得解得 2 00 2 1(1) , FF kyky yx kk 00 22 0 0
5、00 2 22 112 1 4 (1)(1)2 EF EF EF kyky yy kkk k ky kykyxxy k kk (定值 ) 所以直线EF 的斜率为定值 （2）90,45 ,1,EMFMABk当时所以直线 ME 的方程为 2 00 ()yyk xy 由 2 00 2 yyxy yx 得 2 00(1) ,1)Eyy同理可得 2 00(1) , (1).Fyy 设重心 G（x, y） ，则有 2222 0000 0000 (1)(1)23 333 (1)(1) 333 MEF MEF yyyyxxx x yyyyxxx x 消去参数 0 y得 2122 (). 9273 yxx 4.
6、 解(1) 抛物线 y 2=2px 的准线为 x=- 2 p ,于是 4+ 2 p =5, p=2.抛物线方程为y 2=4x. (2)点 A 是坐标是 (4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又 F(1,0), kFA= 3 4 ;MN FA, kMN=- 4 3 , x y O A B 则 FA 的方程为y= 3 4 (x-1),MN 的方程为y-2=- 4 3 x,解方程组得x= 5 8 ,y= 5 4 , N 的坐标 ( 5 8 , 5 4 ). (1) 由题意得 , ,圆 M.的圆心是点 (0,2), 半径为 2, 当 m=4 时, 直线 AK 的方程为x=4,此时 ,直线
7、 AK 与圆 M 相离 . 当 m4 时, 直线 AK 的方程为y= m4 4 (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0, 圆心 M(0,2) 到直线 AK 的距离 d= 2 )4(16 82 m m ,令 d2,解得 m1当 m1 时, AK 与圆 M 相离 ; 当 m=1 时, AK 与圆 M 相切 ; 当 m1 时 , AK 与圆 M 相交 . 8. 解： （）FlFAFBAB、两点到抛物线的准线的距离相等， 抛物线的准线是x轴的平行线， 12 00yy，依题意 12 yy，不同时为0 上述条件等价于 22 121212120yyxxxxxx 12 xx 上述条件等价于 12 0x
8、x即当且仅当 12 0xx时，l经过抛物线的焦点F。 （）设l在y轴上的截距为b，依 题意得l的方程为2yxb；过点AB、的 直线方程可写为 1 2 yxm，所以 12 xx、满足方程 2 1 20 2 xxm得 12 1 4 xx AB、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 1 80 4 m，即 1 32 m 13.解： （I）设 AOB 的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 3 3 21 21 yy y xx x （1） OA OB 1 OBOA kk,即1 2121 yyxx， (2) 又点 A，B 在抛物线上，有 2 22 2 11 ,xyxy，代入（ 2
9、）化简得1 21x x 3 2 3 3 2 )3( 3 1 2)( 3 1 )( 3 1 3 22 21 2 21 2 2 2 1 21 xxxxxxxx yy y 所以重心为G 的轨迹方程为 3 2 3 2 xy （II） 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 | 2 1 yyyxyxxxyxyxOBOAS AOB 由（ I）得 12 2 1 2)1(2 2 1 22 2 1 2 2 166 2 6 1 6 2 6 1 xxxxS AOB 当且仅当 6 2 6 1 xx即1 21 xx时，等号成立。所以 AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；