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1、选修 2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1.导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数 ( )yf x 在 0xx 处的瞬时变化率是 00 0 ()() lim x f xxf x x ， 我 们 称它 为 函 数( )yf x在 0 xx处 的 导 数 ， 记 作 0 ()fx或 0 |x x y， 即 0 ()fx = 00 0 ()() lim x f xxf x x 2.导数的几何意义： 曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点 nP趋近于P时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线 nPP 的 斜率是 0 0 ()() n n n f xf x k xx
2、，当点 nP趋近于P时，函数( )yf x 在 0xx 处的导数就是切线PT 的斜率 k，即 0 0 0 0 ()() lim() n x n f xf x kfx xx 3.导函数： 当 x 变化时，( )fx便是 x 的一个函数，我们称它为( )f x的导函数 . ( )yf x 的导函数有时 也记作y,即 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1 若 ( )f xc(c 为常数 )，则( )0fx ；2 若( )f xx,则 1 ( )fxx ; 3 若( )sinf xx,则( )cosfxx4 若 ( )cosf xx,
3、则( )sinfxx; 5 若( ) x f xa,则( )ln x fxaa6 若( ) x f xe,则( ) x fxe 7 若( )log x a f x,则 1 ( ) ln fx xa 8 若 ( )lnf xx,则 1 ( )fx x 导数的运算法则 1. ( )( )( )( )f xg xfxgx2. ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xgx 3. 2 ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) f xfxg xf xgx g xg x 复合函数求导 ( )yf u 和 ( )ug x,称则y可以表示成为x的函数 ,即( ( )yf g x为一
4、个复合函数 ( )( )yfg xg x 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间( , )a b 内 (1)如果 ( )0fx ，那么函数 ( )yf x 在这个区间单调递增；(2)如果 ( )0fx ，那么函数 ( )yf x 在这 个区间单调递减 . 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 ( )yf x 的极值的方法是:（1）如果在 0 x 附近的左侧 ( )0fx ,右侧 ( )0fx ,那么 0 ()f x 是极大值 （2）如果在 0 x附近的左侧 ( )0fx ,右侧 ( )0
5、fx ,那么 0 ()f x 是极小值 ; 4.函数的最大 (小)值与导数 求函数 ( )yf x 在 ,a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数 ( )yf x 在 ( , )a b 内的极值； （2）将函数 ( )yf x 的各极值与端点处的函数值 ( )fa ， ( )f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的 是最小值 . 推理与证明 考点一合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推 理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致 )性,推测其中一类事物具有与另外一类事物
6、类似的性质的 推理 ,叫做类比推理 . 类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想 ); (3)一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同 或相似 ,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4)一般情况下 ,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越 可靠 . 考点二演绎推理 (俗称三段论 ) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法 1.它是一个递推的数学论证方法.
7、 2.步骤 :A.命题在 n=1（或 0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立；C.证明 n=k+1 时 命题也成立 , 完成这两步 ,就可以断定对任何自然数(或 n= 0 n,且nN)结论都成立。 考点三证明 1.反证法 : 2、分析法 : 3、综合法 : 数系的扩充和复数的概念 复数的概念 (1)复数 :形如 (,)abi aR bR 的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2)分类 :复数 (,)abi aR bR 中,当0b,就是实数 ; 0b,叫做虚数 ;当0,0ab时,叫做纯虚数 . (3)复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
8、(4)共轭复数 :当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5)复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 复数的运算 1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设 12 ,( , , ,)zabi zcdi a b c dR则 （ 1 ） 12 ()()zzacbd i（ 2 ） 12 ()()zzacbdadbc i（ 3 ） 1 2 22 2 ()() (0) zacbdadbc i z zcd 2,几个重要的结论 (1) 2222 121
9、212 |2(| )zzzzzz(2) 22 |zzzz(3)若z为虚数 ,则 22 |zz 3.运算律 (1) mnm n zzz;(2) () mnmn zz;(3) 1212 ()(,) nnn zzzzm nR 4.关于虚数单位i 的一些固定结论： （1） 2 1i（2） 3 ii（3） 4 1i（2） 234 0 nnnn iiii 练习一组 一、选择题 1在平均变化率的定义中，自变量x 在 x0处的增量 x() A大于零B小于零 C等于零D不等于零 答案 D 解析 x 可正，可负，但不为0，故应选 D. 2设函数yf(x)，当自变量x 由 x0变化到 x0 x 时，函数的改变量 y
10、 为() Af(x0 x) B f(x0) x Cf(x0) xD f(x0 x)f(x0) 答案 D 解析 由定义，函数值的改变量 yf(x0 x) f(x0)，故应选 D. 3已知函数f(x) x 2x，则 f(x)从 1 到 0.9 的平均变化率为 () A3 B 0.29 C2.09 D 2.9 答案 D 解析 f(1) (1) 2(1) 2. f(0.9) (0.9) 2(0.9) 1.71. 平均变化率为 f(0.9)f(1) 0.9(1) 1.71(2) 0.1 2.9，故应选D. 4已知函数f(x)x 24 上两点 A，B，x A1，xB1.3，则直线 AB 的斜率为 () A
11、2 B 2.3 C2.09 D 2.1 答案 B 解析 f(1)5，f(1.3)5.69. kAB f(1.3)f(1) 1.31 5.695 0.3 2.3，故应选B. 5已知函数f(x) x 22x，函数 f(x)从 2 到 2 x 的平均变化率为 () A2 xB 2 x C2 xD ( x) 22 x 答案 B 解析 f(2) 2 2220， f(2 x) (2 x) 22(2 x) 2 x( x)2， f(2 x)f(2) 2 x2 2 x，故应选B. 6已知函数yx 21 的图象上一点 (1,2)及邻近一点 (1 x,2 y)，则 y x等于 ( ) A2 B 2x C2 xD 2
12、( x) 2 答案 C 解析 y x f(1 x)f(1) x (1 x) 212 x 2 x.故应选 C. 7质点运动规律S(t)t 23，则从 3 到 3.3 内，质点运动的平均速度为 () A6.3 B 36.3 C3.3 D 9.3 答案 A 解析 S(3)12，S(3.3)13.89， 平均速度v S(3.3) S(3) 3.33 1.89 0.3 6.3，故应选A. 8在 x1 附近，取 x0.3，在四个函数y x、 yx 2、 yx3、 y1 x中，平均 变化率最大的是() AB CD 答案 B 解析 x0.3 时， yx 在 x1 附近的平均变化率k1 1；yx 2 在 x1
13、附近的 平均变化率k22 x2.3；yx3在 x1 附近的平均变化率k333 x( x)2 3.99； y 1 x 在 x1 附近的平均变化率k4 1 1 x 10 13.k3k2k1k4，故应选 B. 9物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数 ss(t)，则物体在时间间 隔t0，t0 t内的平均速度是() Av0B. t s(t0 t)s(t0) C.s(t 0 t)s(t0) t D.s(t) t 答案 C 解析 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C. 10已知曲线y 1 4x 2 和这条曲线上的一点P 1， 1 4 ，Q 是曲线上点P 附近的一点， 则点 Q 的坐标为
14、() A. 1 x， 1 4( x) 2 B. x， 1 4( x) 2 C. 1 x， 1 4( x 1) 2 D. x， 1 4(1 x) 2 答案 C 解析 点 Q 的横坐标应为1 x，所以其纵坐标为f(1 x)1 4( x1) 2，故应选 C. 二、填空题 11已知函数yx 32，当 x2 时， y x_. 答案 ( x) 26 x12 解析 y x (2 x) 32(232) x ( x) 36( x)212 x x ( x) 26 x12. 12在 x2 附近， x 1 4时，函数 y 1 x的平均变化率为 _ 答案 2 9 解析 y x 1 2 x 1 2 x 1 42 x 2
15、9. 13函数 yx在 x 1附近，当 x1 2时的平均变化率为 _ 答案 62 解析 y x 1 x1 x 1 1 x1 62. 14已知曲线yx 21 上两点 A(2,3)，B(2 x,3 y)，当 x1 时，割线 AB 的斜率 是_；当 x0.1 时，割线AB 的斜率是 _ 答案 54.1 解析 当 x1 时，割线AB 的斜率 k1 y x (2 x) 21221 x (21) 222 1 5. 当 x0.1 时，割线AB 的斜率 k2 y x (20.1) 21221 0.1 4.1. 三、解答题 15已知函数f(x)2x1，g(x) 2x，分别计算在区间3， 1，0,5上函数f(x)
16、 及 g(x)的平均变化率 解析 函数 f(x)在 3， 1 上的平均变化率为 f(1)f(3) 1(3) 2 (1)12(3)1 2 2. 函数 f(x)在0,5上的平均变化率为 f(5)f(0) 50 2. 函数 g(x)在3， 1上的平均变化率为 g(1)g(3) 1(3) 2. 函数 g(x)在0,5上的平均变化率为 g(5) g(0) 5 0 2. 16过曲线 f(x) 2 x 2的图象上两点 A(1,2)，B(1 x,2 y)作曲线的割线AB，求出当 x 1 4时割线的斜率 解析 割线 AB 的斜率 k (2 y)2 (1 x)1 y x 2 (1 x) 22 x 2( x2) (
17、1 x) 2 72 25. 17求函数 yx 2在 x1、2、3 附近的平均变化率， 判断哪一点附近平均变化率最大？ 解析 在 x2 附近的平均变化率为 k1 f(1 x)f(1) x (1 x) 21 x 2 x； 在 x2 附近的平均变化率为 k2 f(2 x)f(2) x (2 x) 222 x 4 x； 在 x3 附近的平均变化率为 k3 f(3 x)f(3) x (3 x) 232 x 6 x. 对任意 x 有， k1k2k3， 在 x3 附近的平均变化率最大 18路灯距地面8m，一个身高为1.6m 的人以 84m/min 的速度在地面上从路灯在地面 上的射影点C 处沿直线离开路灯
18、(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率 解析 (1)如图所示，设人从C 点运动到B处的路程为xm，AB 为身影长度，AB 的长 度为 ym，由于 CDBE， 则 AB AC BE CD ， 即 y yx 1.6 8 ，所以 yf(x) 1 4x. (2)84m/min 1.4m/s，在 0,10内自变量的增量为 x2 x1 1.410 1.4014， f(x2)f(x1) 1 414 1 4 0 7 2. 所以 f(x2)f(x1) x2x1 7 2 14 1 4. 即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为 1 4.
19、 练习二组 一、选择题 1函数在某一点的导数是() A在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B一个函数 C一个常数，不是变数 D函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 答案 C 解析 由定义， f(x0)是当 x 无限趋近于0 时， y x无限趋近的常数，故应选 C. 2如果质点A 按照规律s 3t 2 运动，则在t03 时的瞬时速度为() A6B 18 C54D 81 答案 B 解析 s(t)3t 2，t 03， ss(t0 t)s(t0)3(3 t)23 32 18 t3( t) 2 s t183 t. 当 t0 时， s t 18，故应选B. 3yx 2 在 x1 处的导数为 ()
20、A2xB 2 C2 xD 1 答案 B 解析 f(x)x 2，x1， yf(1 x)2f(1) (1 x)21 2x( x)2 y x2 x 当 x0 时， y x2 f(1)2，故应选B. 4一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)4t 23(s(t)的单位： m， t 的单位： s)，则 t5 时的瞬时速度为() A37B 38 C39D 40 答案 D 解析 s t 4(5 t) 23 4523 t 404 t， s(5)li m t0 s tli m t0 (404 t)40.故应选 D. 5已知函数yf(x)，那么下列说法错误的是() A yf(x0 x)f(x0)叫
21、做函数值的增量 B. y x f(x0 x) f(x0) x 叫做函数在x0到 x0 x 之间的平均变化率 Cf(x)在 x0处的导数记为 y Df(x)在 x0处的导数记为 f(x0) 答案 C 解析 由导数的定义可知C 错误故应选C. 6函数 f(x)在 x x0处的导数可表示为 y|x x0，即 () Af(x0)f(x0 x)f(x0) Bf(x0)li m x0f(x0 x)f(x0) Cf(x0) f(x0 x)f(x0) x Df(x0)li m x0 f(x0 x)f(x0) x 答案 D 解析 由导数的定义知D 正确故应选D. 7函数 y ax 2bxc(a0，a，b，c 为
22、常数 )在 x2 时的瞬时变化率等于 () A4aB 2ab CbD 4ab 答案 D 解析 y x a(2 x) 2b(2 x) c4a 2bc x 4aba x， y|x2li m x0 y x li m x0 (4abax) 4ab.故应选 D. 8如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是() A圆B抛物线 C椭圆D直线 答案 D 解析 当 f(x)b 时， f (x)0，所以 f(x)的图象为一条直线，故应选D. 9一物体作直线运动，其位移s与时间 t 的关系是s3tt 2，则物体的初速度为 () A0 B 3 C 2 D 32t 答案 B 解析 s t 3(0 t) (0
23、 t) 2 t 3 t， s(0)li m t0 s t3.故应选 B. 10设 f(x) 1 x ，则 li m xa f(x) f(a) x a 等于 () A 1 a B.2 a C 1 a 2D. 1 a 2 答案 C 解析 li m xa f(x)f(a) xa li m xa 1 x 1 a xa li m xa ax (xa) xa li m xa 1 ax 1 a 2. 二、填空题 11已知函数yf(x)在 xx0处的导数为 11，则 li m x0 f(x0 x) f(x0) x _； lim xx0 f(x)f(x0) 2(x0x) _. 答案 11， 11 2 解析 li
24、 m x0 f(x0 x)f(x0) x li m x0 f(x0 x)f(x0) x f(x0) 11； lim xx0 f(x)f(x0) 2(x0x) 1 2li m x0 f(x0 x)f(x0) x 1 2f(x 0) 11 2 . 12函数 yx 1 x在 x1 处的导数是 _ 答案 0 解析 y 1 x 1 1 x 1 1 1 x1 1 x 1 ( x) 2 x1， y x x x 1. y| x1li m x0 x x10. 13已知函数f(x)ax4，若 f(2)2，则 a 等于 _ 答案 2 解析 y x a(2 x)4 2a4 x a， f(1)li m x0 y xa.
25、a2. 14已知f(x0)lim xx0 f(x)f(x0) xx0 ，f(3)2， f(3) 2，则li m x3 2x3f(x) x 3 的值是 _ 答案 8 解析 li m x3 2x 3f(x) x3 li m x3 2x 3f(x)3f(3)3f(3) x 3 lim x3 2x3f(3) x 3 li m x3 3(f(3)f(x) x3 . 由于 f(3)2，上式可化为 li m x3 2(x3) x3 3li m x3 f(x)f(3) x3 23(2) 8. 三、解答题 15设 f(x)x 2，求 f(x 0)，f(1)，f(2) 解析 由导数定义有f(x0) li m x0
26、 f(x0 x)f(x0) x li m x0 (x0 x) 2x2 0 x li m x0 x(2x0 x) x 2x0， 16枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0 10 5m/s2，枪弹从 枪口射出时所用时间为1.610 3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度 解析 位移公式为s1 2at 2 s 1 2a(t0 t) 21 2at 2 0at0 t 1 2a( t) 2 s tat0 1 2a t， li m t0 s t li m t0 at0 1 2a t at0， 已知 a5.0 105m/s2，t01.6 10 3 s， at0800m/s. 所以枪弹射出枪口时的
27、瞬时速度为800m/s. 17在曲线yf(x)x 23 的图象上取一点 P(1,4)及附近一点 (1 x,4 y)， 求(1) y x (2)f(1) 解析 (1) y x f(1 x)f(1) x (1 x) 23123 x 2 x. (2)f(1) lim x0 f(1 x)f(1) x lim x0 (2 x)2. 18函数 f(x)|x|(1x)在点 x00 处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由 解析 f(x) xx 2 (x0) xx 2 (x0) x( x)2( x0)，则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是 () Ab 2 4ac0 B b0，c0 Cb0，c0 D b
28、 23ac0，f(x)为增函数， f(x) 3ax22bx c0 恒成立， (2b)243ac4b212ac0，右侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f(x0)是极大值 答案 C 解析 导数为 0 的点不一定是极值点，例如f(x)x 3，f(x)3x2，f(0)0，但 x0 不是 f(x)的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C. 6.函数 yf(x)在区间 a，b上的最大值是M，最小值是m，若 Mm，则 f(x)() A等于 0B大于 0 C小于 0 D以上都有可能 答案 A 解析 Mm，yf(x)是常数函数 f(x) 0，故应选A. 7.内接于半径为R 的球且体积最大
29、的圆锥的高为() ARB 2R C.4 3R D.3 4R 答案 C 解析 设圆锥高为h，底面半径为r，则 R 2(Rh)2 r2， r2 2Rh h2 V 1 3 r 2h 3h(2Rhh 2)2 3 Rh 2 3h 3 V 4 3 Rh h 2.令 V0 得 h4 3R. 当 00；当 4R 3 g(x)，所以阴影部分的面积为f(x)g(x)dx. 12 已知 f(x)x 3 的切线的斜率等于1，则其切线方程有() A1 个 B2 个 C多于两个 D不能确定 答案 B 解析 f(x)x 3，f(x)3x2， 令 3x2 1，得 x 3 3 ， 即切点坐标为 3 3 ， 3 9 或 3 3
30、， 3 9 . 由点斜式可得切线方程为y 3 9 x 3 3 或 y 3 9 x 3 3 ， 即 yx2 3 9 或 yx2 3 9 . 故应选 B. 13.若曲线 yx 2axb 在点 (0，b)处的切线方程是 xy 10，则 () Aa1，b1 Ba 1，b1 Ca1，b 1 Da 1，b 1 答案 A 解析 y2xa， y|x0(2x a)|x0a1， 将(0，b)代入切线方程得b1. 14.关于归纳推理，下列说法正确的是() A归纳推理是一般到一般的推理 B归纳推理是一般到个别的推理 C归纳推理的结论一定是正确的 D归纳推理的结论是或然性的 答案 D 解析 归纳推理是由特殊到一般的推理
31、，其结论的正确性不一定故应选D. 15.下列说法正确的是() A由合情推理得出的结论一定是正确的 B合情推理必须有前提有结论 C合情推理不能猜想 D合情推理得出的结论无法判定正误 答案 B 解析 由合情推理得出的结论不一定正确，A 不正确； B 正确；合情推理的结论本身 就是一个猜想，C 不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D 也不正确，故应选 B. 16.“四边形ABCD 是矩形，四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前 提是 () A正方形都是对角线相等的四边形 B矩形都是对角线相等的四边形 C等腰梯形都是对角线相等的四边形 D矩形都是对边平行且相等的四边形 答案 B 解
32、析 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边 形故应选B. 17.证明命题“ f(x)e x1 e x在(0， )上是增函数”，一个同学给出的证法如下： f(x)e x1 e x， f(x) e x1 e x. x0， e x1,00，即 f(x)0， f(x)在(0， )上是增函数，他使用的证明方法是() A综合法 B分析法 C反证法D以上都不是 答案 A 解析 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法故应选A. 18.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A有一个解 B有两个解 C至少有三个解 D至少有两个解 答案 C 解析 在逻辑中 “ 至多有 n 个
33、”的否定是 “至少有 n 1个 ”， 所以 “至多有两个解” 的否定为 “至少有三个解”，故应选C. 19.用数学归纳法证明1 1 2 1 3 1 2 n11)时，第一步应验证不等式 () A1 1 20， b0，b0 Ca0 答案 D 解析 复数 zabi 在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0，故应选D. 24.i 是虚数单位， i 33i () A. 1 4 3 12i B.1 4 3 12 i C.1 2 3 6 i D.1 2 3 6 i 答案 B 解析 i 33i i(3 3i) (33i)(3 3i) 33i 12 1 4 3 12 i，故选 B. 25.复数 z是实数的充分而不必要条件为() A|z| zBz z Cz 2是实数 Dz z 是实数 答案 A 解析 由|z|z 可知 z 必为实数，但由 z 为实数不一定得出|z|z， 如 z 2， 此时 |z|z， 故|z|z 是 z为实数的充分不必要条件，故选A. 26.复数 i 3(1 i)2( ) A2B 2 C2iD 2i 答案 A 解析 考查复数代数形式的运算 i 3(1i)2 i (2i)2. 27.复数 3 i 1 i 2( ) A 34iB 3 4i C34i D34i 答案 A 解析 3i 1i 286i 2i 34i.