高中数学选修21空间向量测试题.pdf

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1、选修 2-1 第三章空间向量检测题(一) 一、选择题 (每小题 5 分，共 60 分) 1已知向量a(2， 3,5)与向量 b(3， ， 15 2 )平行，则 () A. 2 3 B.9 2 C 9 2 D 2 3 2在长方体ABCDA1B1C1D1中， AB BC CC1 D1C1 等于 () A.AD1 B.AC1 C.AD D.AB 3若向量a (1，m,2)，b (2， 1,2)，若 cosa， b 8 9 ，则 m 的值为 () A2 B 2 C 2 或 2 55 D 2 或 2 55 4已知空间向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，则与向量ab 方向相反的单位向量的坐标是() A

2、(0,1,2) B (0， 1， 2) C (0， 1 5 ， 2 5) D(0， 1 5 ， 2 5) 5已知 A，B，C 三点不共线，对平面ABC 内任一点O，下列条件中能确定M 与点 A，B，C 一定 共面的是 () A.OM OA OB OC B.OM 2OA OB OC C.OM OA 1 2OB 1 3OC D.OM 1 3OA 1 3OB 1 3OC 6.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N 分别是对边OA， BC 的中点， 点 G 在线段 MN 上，且MG 2GN ， 现用基向量 OA ，OB ，OC 表示向量，设OG xOA yOB zOC ， 则 x，

3、y，z 的值分别是 () Ax 1 3，y 1 3，z 1 3 Bx1 3，y 1 3，z 1 6 Cx 1 3，y 1 6，z 1 3 Dx 1 6，y 1 3，z 1 3 7.如图所示， 已知三棱锥A BCD，O 为 BCD 内一点， 则AO 1 3(AB AC AD )是 O 为 BCD 的重心的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分 也不必要条件 8 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，若 ABCD 是边长为 2 的正方形， AA11， A1AD A1AB 60 ，则 BD1的长为 () A3 B.7C.13 D9 9.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C

4、1中， ABBCAA1， ABC90 ， 点 E，F 分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF 与 BC1所成的角是 () A45B60C90D120 10把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A，B，C，D 四点为顶点的 三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面 ABC 所成的角的大小为() A90B60C45 D30 11.如图所示，在三棱锥PABC 中， APB BPC APC90 ， M 在 ABC 内， MPA60 ， MPB 45 ，则 MPC 的度数为 () A150B45C60D120 12已知直二面角 PQ ，APQ， B ，C ，CA CB， BAP 45 ，直线 CA 和平

5、面 所成的角为30 ， 那么二面角BAC P 的正切 值为 () A2 B 3 C.1 2 D.1 3 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题 (每小题 5 分，共 20 分) 13已知四面体ABCD 中，AB a2c，CD 5a6b8c，AC ，BD 的中点分别为E，F，则 EF _. 14在直三棱柱ABC A1B1C1中， ACB 90 ， BAC 30 ，BC1，AA1 6，M 是 CC1的 中点，则异面直线AB1与 A1M 所成角的大小为 _ 15已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中， ABCD 是边长为 a 的正方形， AA1b， A1AB

6、A1AD 120 ，则 AC1的长为 _ 16.如图，平面ABCD 平面 ABEF ，四边形 ABCD 是正方形，四 边形 ABEF 是矩形，且AF 1 2AD a，G 是 EF 的中点，则 GB 与 平面 AGC 所成角的正弦值为_ 三、解答题 (写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70 分) 17(10 分)已知 A(1， 2,11)，B(6， 1,4)，C(4,2,3)，D(12,7， 12)，证明： A，B，C，D 四点 共面 18(12 分)如图，已知点P 在正方体ABCD A1B1C1D1的体对角线 BD1 上， PDA 60 . (1)求 DP 与 CC1所成角的大小； (

7、2)求 DP 与平面 AA 1D1D 所成角的大小 19.(12 分)如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CC1上的动点 (1)求证 A1EBD ；(2)若平面 A1BD 平面 EBD ，试确定E 点的位置 20.(12 分)如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE平面 ABCD ， BAD ADC 90 ，AB AD 1 2CDa，PD 2a. (1)若 M 为 PA 的中点，求证：AC平面 MDE ； (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小 21.(12 分)如图所示， 在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，

8、PA平面 ABCD ，PAAD 2， AB1，BM PD 于点 M. (1)求证 AM PD；(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值 22.(12 分)如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面是边长为2 3的菱形，且BAD 120 ，PA 平面 ABCD ，PA2 6，M，N 分别为 PB，PD 的中点 (1)证明 MN 平面 ABCD ；(2)过点 A 作 AQPC，垂足为点Q，求二面角 AMN Q 的平面角的 余弦值 第三章单元质量评估( 一) 1Cab，bma(mR)， 2 3 3 5 15 2 ，得 9 2. 2AAB BC CC1 D1C1 AC1 D1C1 AC1 C1

9、D1 AD1 . 3Ca b6m，|a|m 25，|b|3，cos a，b a b |a|b| 6m 3 m 25 8 9，解得 m2 或 m 2 55. 4D由已知得 ab(0,1,2)且|ab|5，则与向量 ab方向相反 的单位向量为 1 5(0,1,2)(0， 1 5， 2 5)故选 D. 5D 6D连接 ON，M，N 分别是对边 OA，BC 的中点，OM 1 2OA ， ON 1 2(OB OC )， OG OM MG OM 2 3MN OM 2 3(ON OM ) 1 3OM 2 3ON 1 3 1 2OA 2 3 1 2(OB OC ) 1 6OA 1 3OB 1 3OC ，x1

10、6，yz 1 3.故选 D. 7C 8ABD1 BA AD DD1 BA BC BB1 ， |BD1 | 2BD 1 2(BA BC BB1 ) 2|BA | 2|BC | 2|BB 1 | 22BA BC 2BA BB1 2BC BB1 441 0221( 1 2)221 1 29，|BD1 |3，即 BD1的长为 3. 9B 以点 B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为 2， 则 E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)，B(0,0,0)，则EF (0，1,1)，BC1 (2,0,2)， cos EF ，BC1 2 2 2 2 1 2，EF ，BC1 60

11、，直线 EF 与 BC1 所成的角为 60 . 10C翻折后 A，B，C，D 四点构成三棱锥的体积最大时， 平面 ADC 平面 BAC，设未折前正方形对角线的交点为O，则DBO 即为 BD 与平 面 ABC 所成的角，大小为45 . 11.C 如右图所示，过M 作 MH面 PBC 于 H，则 MHAP， MPH 30 ，cos45cosHPB cos30，cosHPB 6 3 ，cosHPC 3 3 . 又 cosHPC cos30 cosMPC， 3 3 3 2 cosMPC， MPC60 . 12A在平面 内过点 C 作 COPQ 于 O，连接 OB.又 ，则 OCOB，OCOA，又 CA

12、CB，所以 AOCBOC，故 OAOB.又 BAP45 ，所以 OAOB.以 O 为原点，分别以 OB，OA，OC 所在直线 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 (如图) 不妨设 AC2，由CAO30 ，知 OA3，OC1.在等腰直角三角 形 OAB 中，ABOBAO45 ，则 OBOA3，所以 B( 3，0,0)， A(0，3，0)，C(0,0,1)，AB ( 3，3，0)，AC (0，3，1)，设平 面 ABC 的法向量为 n1(x，y，z)，由 n1 AC 3yz0 n1 AB 3x3y0 ，取 x1， 则 y1， z 3， 所以 n1(1,1， 3)， 易知平面 的一个法向量

13、为 n2(1,0,0)， 则 cosn1，n2 n1 n2 |n1|n2| 1 51 5 5 ，又二面角 BACP 为锐角，由 此可得二面角 BACP 的正切值为 2. 133a3b5c 解析： 如图所示，取 BC 的中点 M，连接 EM，MF，则EF EM MF 1 2AB 1 2CD 1 2(a2c) 1 2(5a6b8c)3a3b5c. 14. 2 解析：由条件知 AC，BC，CC1两两垂直，如 图，以 C 为原点， CB，CA，CC1分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 则 B(1,0,0)， A(0， 3，0)，B1(1,0， 6)，M 0，0， 6 2 ，A1(0，

14、 3， 6)， AB1 (1，3，6)， A1M 0，3， 6 2 ， cosAB1 ，A1M 0， AB1 ，A1M 2， 即直线 AB1与 A1M 所成角为 2. 15.2a2b22ab 解析：设 AB a，AD b，AA1 c，则|a|b|a，|c| b，AC1 AB BC CC1 abc，|AC1 | 2(abc)22a2 b22ab，|AC1 |2a2b22ab. 16. 6 3 解析：如图，以 A 为原点建立空间直角坐 标系，则 A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a， a,0)，F(a,0,0)，AG (a，a,0)，AC (0,2a,2a)， BG

15、(a，a,0)， 设平面AGC 的一个法向量为n1(x1， y1,1)，由 AG n10 AC n10 ， 得 ax1ay10 2ay12a0 ，则 x11 y11 ，故 n1(1，1,1)设 GB 与平面 AGC 所成的角为 ，则 sin |BG n1| |BG |n1| 2a 2a3 6 3 . 17证明： AB (5,1，7)，AC (3,4，8)，AD (11,9，23)，设 AD xAB yAC ， 得 5x3y11 x4y9 7x8y23 ， 解得 x1，y2. 所以AD AB 2AC ，则AD ，AB ，AC 为共面向量，又 AB ，AD ，AC 有 公共点 A，因此 A，B，C

16、，D 四点共面 18解： 如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则DA (1,0,0)，CC1 (0,0,1)，连接 BD，B1D1，在矩形 BB1D1D 中，延长 DP 交 B1D1于 H 点 设DH (m，m,1)(m0)， DH ，DA 60 ，则DA DH |DA |DH |cos DH ，DA ， 可得 2m2m 21，得 m 2 2 ， 所以DH ( 2 2 ， 2 2 ，1) (1)cosDH ，CC1 DH CC1 |DH |CC1 | 1 2 ，所以 DH ，CC1 45 ，即 DP 与 CC1所成的角为 45 . (2)平面 AA1D1D 的一个

17、法向量为 DC (0,1,0)， cos DH ， DC DH DC |DH | |DC | 1 2，所以 DH ，DC 60 ，故 DP 与平面 AA1D1D 所成的角为 30 . 19.(1)证明：如图所示，以 D 为原点，DA ， DC ， DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标 系设正方体的棱长为a，则 A(a,0,0)，B(a， a,0)，C(0， a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，设 E(0，a，e)，则A1E (a， a， ea)， BD (a，a,0)， A1E BD a ( a)a (a)(ea)00，A1E BD ，则 A1EBD.

18、(2)解：当 E 为 CC1的中点时，平面 A1BD平面 EBD.由题意可得 DE BE， EOBD. 同理A1OBD， A1OE 为二面角A1BDE 的平面角， EO 1 2a 2 2 2 a 2 3 2 a，A1Oa2 2 2 a 2 6 2 a，A1E2(2a)2 1 2a 2 9 4a 2，EO2A 1O 29 4a 2A 1E 2， A 1OE90 ，平面 A1BD平面 EBD. 20解： 四边形 PDCE 是矩形，且平面PDCE平面 ABCD，平面 PDCE 平面 ABCDCD，PD平面 ABCD，则 PDAD，PDDC，又ADC 90 ，PD，AD，DC 两两垂直以D 为原点，分

19、别以DA，DC，DP 所在 直线为 x， y， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 由已知， 得 D(0,0,0)， A(a,0,0)，P(0,0，2a)，E(0,2a， 2a)，C(0,2a,0)，B(a，a,0) (1)M 为 PA 的中点， M(a 2，0， 2a 2 )， 则AC (a,2a,0)，DM (a 2，0， 2a 2 )，DE (0,2a，2a) 设平面 MDE 的法向量为 m(x，y，z)， 由题意得 m DM 0 m DE 0 ，则 x2z0 2y 2z0 ， 取 m(2,1，2) 而AC m(a)22a00，且 AC?平面 MDE， AC平面 MDE. (2)平面 P

20、AD 的一个法向量 n1(0,1,0)，PC (0,2a， 2a)，PB (a， a，2a)设平面 PBC 的法向量为 n2(x0，y0，z0)，则有 n2 PC 0 n2 PB 0 ， 即 2y2z0 xy2z0 ， 取 n2(1,1，2) 设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ，则有 cos |cosn1，n2| n1 n2 |n1| |n2| 1 2， 则 60 ， 平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为60 . 21(1)证明： PA平面 ABCD，AB? 平面 ABCD， PAAB. ABAD，ADPAA，AB平面 PAD. PD? 平面 PAD，ABPD.

21、BMPD，ABBMB，PD平面 ABM. AM? 平面 ABM，AMPD. (2)解：如右图所示，以点A 为坐标原 点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Axyz，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)，M(0,1,1)，则AC (1,2,0)，AM (0,1,1)，CD (1,0,0) 设平面 ACM 的一个法向量为n(x，y，z)，由 nAC ，nAM 可得 x2y0， yz0， 令 z1，得 x2，y1，n(2，1,1)设直线 CD 与 平面 ACM 所成的角为 ，则 sin CD n

22、 |CD |n| 6 3 ，cos 3 3 ，直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 3 3 . 22(1)证明：连接 BD，因为 M，N 分别为 PB，PD 的中点，所以 MN 是PBD 的中位线，所以 MNBD.又因为 MN?平面 ABCD，所以 MN平 面 ABCD. (2)解法 1：连接 AC 交 BD 于 O，以 O 为原点， OC ，OD 所在直线为 x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示在菱形 ABCD 中，BAD 120 ，得 ACAB2 3，BD3AB6，又因为 PA平面 ABCD，所 以 PAAC，在直角三角形PAC 中，AC2 3，PA2 6，AQP

23、C，得 QC2，PQ4.由此知各点坐标如下： A(3，0,0)，B(0，3,0)，C(3， 0,0)，D(0,3,0)，P(3，0,2 6)，M 3 2 ， 3 2， 6 ，N 3 2 ， 3 2， 6 ， Q 3 3 ，0， 2 6 3 .设 m(x1，y1，z1)为平面AMN 的一个法向量，AM 3 2 ， 3 2， 6 ， AN 3 2 ， 3 2， 6 ， 由m AM ， m AN 知 3 2 x13 2y1 6z10， 3 2 x13 2y1 6z10. 取 z11，得 m(2 2，0，1)设 n(x2， y2，z2)为平面QMN 的一个法向量，QM 5 3 6 ， 3 2， 6 3

24、 ，QN 5 3 6 ， 3 2， 6 3 .由 nQM ，nQN 知 5 3 6 x23 2y 2 6 3 z20， 5 3 6 x2 3 2y 2 6 3 z20. 取 z2 5，得 n(2 2，0,5)故 cosm，n m n |m|n| 33 33 ，所以二面角A MNQ 的平面角的余弦值为 33 33 . 解法 2：如图所示，在菱形ABCD 中，BAD120 ，得 ACAB BCCDDA，BD3AB.又因为 PA平面 ABCD，所以 PAAB，PA AC，PAAD，所以 PBPCPD，所以 PBCPDC.而 M，N 分别是 PB，PD 的中点，所以 MQNQ，且 AM1 2PB 1

25、2PDAN.取线段 MN 的 中点 E，连接 AE，EQ，则 AEMN，QEMN，所以 AEQ 为二面角 A MNQ 的平面角，由AB2 3，PA2 6，故在 AMN 中，AMAN 3，MN 1 2BD3，得 AE 3 3 2 .在直角三角形 PAC 中，AQPC，得 AQ 2 2，QC2，PQ4，在 PBC中，cosBPCPB 2PC2BC2 2PB PC 5 6， 得 MQPM 2PQ22PM PQcosBPC 5.在等腰三角形 MQN 中， MQ NQ5，MN3，得 QEMQ 2ME2 11 2 .在 AEQ 中，AE 3 3 2 ，QE 11 2 ，AQ 2 2， 得 cosAEQ AE2QE 2AQ2 2AE QE 33 33 ， 所以二面角AMNQ 的平面角的余弦值为 33 33 .