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1、高中数学选修 4-4 经典综合试题（含详细答案） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1曲线 25 () 12 xt t yt 为参数与坐标轴的交点是（） A 21 (0,) (,0) 52 、B 11 (0,) (,0) 52 、C(0,4) (8,0)、D 5 (0,) (8,0) 9 、 2把方程1xy化为以t参数的参数方程是（） A 1 2 1 2 xt yt B sin 1 sin xt y t C cos 1 cos xt y t D tan 1 tan xt y t 3若直线的参数方程为 12 ()
2、23 xt t yt 为参数，则直线的斜率为（） A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 4点(1,2)在圆 18cos 8sin x y 的（） A内部B外部C圆上D与 的值有关 5参数方程为 1 () 2 xt t t y 为参数表示的曲线是（） A一条直线B两条直线C一条射线D两条射线 6两圆 sin24 cos23 y x 与 sin3 cos3 y x 的位置关系是（） A内切B外切C相离D内含 7与参数方程为() 2 1 xt t yt 为参数等价的普通方程为（） A 2 2 1 4 y xB 2 2 1(01) 4 y xx C 2 2 1(02) 4 y xyD 2 2
3、 1(01,02) 4 y xxy 8曲线 5cos () 5sin3 x y 的长度是（） A5B10C 3 5 D 3 10 9点( ,)P x y是椭圆 22 2312xy上的一个动点，则2xy的最大值为（） A2 2B2 3C11D22 10直线 1 1 2 () 3 3 3 2 xt t yt 为参数和圆 22 16xy交于,A B两点， 则AB的中点坐标为（） A(3, 3)B(3,3)C( 3, 3)D(3,3) 11若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线 2 4 () 4 xt t yt 为参数 上，则|PF等于（） A2B3C4D5 12直线 2 () 1 xt t yt 为
4、参数被圆 22 (3)(1)25xy所截得的弦长为（） A98B 1 40 4 C82D934 3 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 13参数方程() 2() tt tt xee t yee 为参数的普通方程为 _ 14直线 22 () 32 xt t yt 为参数上与点( 2,3)A的距离等于2的点的坐标是_ 15直线 cos sin xt yt 与圆 42cos 2sin x y 相切，则_ 16设()ytx t为参数，则圆 22 40xyy的参数方程为_ 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（
5、本小题满分10 分） 求直线 1 1 :() 53 xt lt yt 为参数和直线 2: 2 30lxy的交点P的坐标，及点P 与(1, 5)Q的距离 18（本小题满分12 分） 过点 10 (,0) 2 P作倾斜角为的直线与曲线 22 121xy交于点,M N， 求| |PMPN的值及相应的的值 19（本小题满分12 分） 已知ABC中，( 2,0),(0,2),(cos , 1sin)ABC(为变数 )， 求ABC面积的最大值 20（本小题满分12 分）已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角 6 ， （1）写出直线l的参数方程 （2）设l与圆4 22 yx相交与两点,A B，求点P到,A B
6、两点的距离之积 21（本小题满分12 分） 分别在下列两种情况下，把参数方程 1 ()cos 2 1 ()sin 2 tt tt xee yee 化为普通方程： （1）为参数，t为常数；（ 2）t为参数，为常数 22（本小题满分12 分） 已知直线l过定点 3 ( 3,) 2 P与圆C： 5cos () 5sin x y 为参数相交于A、B两点 求：（ 1）若| 8AB，求直线l的方程； （2）若点 3 ( 3,) 2 P为弦AB的中点，求弦AB的方程 答案与解析： 1B 当0x时， 2 5 t，而12yt，即 1 5 y，得与y轴的交点为 1 (0,) 5 ； 当0y时， 1 2 t，而25
7、xt，即 1 2 x，得与x轴的交点为 1 (,0) 2 2D 1xy，x取非零实数，而A，B，C 中的x的范围有各自的限制 3D 233 122 yt k xt 4A 点(1,2)到圆心( 1,0)的距离为 22 (11)22 28(圆半径 ) 点(1,2)在圆的内部 5D 2y表示一条平行于x轴的直线，而2,2xx或，所以表示两条射线 6B 两圆的圆心距为 22 ( 30)(40)5，两圆半径的和也是5，因此两圆外切 7D 22 222 ,11,1,0,011,02 44 yy xttxxtty而得 8D 曲线是圆 22 25xy的一段圆弧，它所对圆心角为 2 33 所以曲线的长度为 3
8、10 9D 椭圆为 22 1 64 xy ，设(6cos ,2sin)P， 26cos4sin22sin()22xy 10 D 22 13 (1)( 3 3)16 22 tt，得 2 880tt， 12 12 8,4 2 tt tt， 中点为 1 14 3 2 33 3 34 2 x x y y 11 C 抛物线为 2 4yx，准线为1x，|PF为(3,)Pm到准线1x的距离，即为4 12 C 2 22 2 2 1 2 12 2 xt xt yt yt ，把直线 2 1 xt yt 代入 22 (3)(1)25xy，得 222 ( 5)(2)25,720tttt， 2 12121 2 |()4
9、41ttttt t，弦长为 12 2 |82tt 13 22 1,(2) 416 xy x 2 2 () ()4 22 2 2 2 ttt tt t y xexee yy xx y y ee xe 14( 3,4),或( 1,2) 2222 12 (2 )(2 )(2) , 22 tttt 15 6 ，或 5 6 直线为tanyx，圆为 22 (4)4xy，作出图形，相切时， 易知倾斜角为 6 ，或 5 6 16 2 2 2 4 1 4 1 t x t t y t 22 ( )40xtxtx，当0x时，0y，或 2 4 1 t x t ； 而ytx，即 2 2 4 1 t y t ，得 2 2
10、 2 4 1 4 1 t x t t y t 17解：将 1 53 xt yt ，代入2 30xy，得2 3t， 得(12 3,1)P，而(1, 5)Q， 得 22 |(23)64 3PQ 18解：设直线为 10 cos () 2 sin xt t yt 为参数，代入曲线 并整理得 223 (1sin)( 10cos)0 2 tt， 则 1 22 3 2 | | | 1sin PMPNt t ， 所以当 2 sin1时，即 2 ，| |PMPN的最小值为 3 4 ，此时 2 19解：设C点的坐标为( ,)x y，则 cos 1 sin x y ， 即 22 (1)1xy为以(0, 1)为圆心，
11、以1为半径的圆 ( 2,0),(0,2)AB， |442 2AB， 且AB的方程为1 22 xy ， 即20xy， 则圆心(0, 1)到直线AB的距离为 22 | ( 1)2|3 2 2 1( 1) 点C到直线AB的最大距离为 3 12 2 ， ABC S 的最大值是 13 22(12)32 22 20解：（ 1）直线的参数方程为 1cos 6 1sin 6 xt yt ，即 3 1 2 1 1 2 xt yt ， （2）把直线 3 1 2 1 1 2 xt yt ，代入4 22 yx， 得 222 31 (1)(1)4,(31)20 22 tttt， 1 2 2t t，则点P到,A B两点的
12、距离之积为2 21解：（ 1）当0t时，0,cosyx，即1,0xy且； 当0t时，cos,sin 11 ()() 22 tttt xy eeee ， 而 22 1xy， 即 22 22 1 11 ()() 44 tttt xy eeee ； （2）当,kkZ时，0y， 1 () 2 tt xee，即1,0xy且； 当, 2 kkZ时，0x， 1 () 2 tt yee，即0x； 当, 2 k kZ时，得 2 cos 2 sin tt tt x ee y ee ， 即 22 2 cossin 22 2 cossin t t xy e xy e ，得 2222 22()() cossincoss
13、in ttxyxy ee， 即 22 22 1 cossin xy 22解：（ 1）由圆C的参数方程 22 5cos 25 5sin x xy y ， 设直线l的参数方程为 3cos () 3 sin 2 xt t yt 为参数， 将参数方程代入圆的方程 22 25xy 得 2 412(2cossin )550tt， 2 169(2cos sin )55 0， 所以方程有两相异实数根 1 t、 2 t， 2 12 | |9(2cossin)558ABtt， 化简有 2 3cos4sincos0， 解之cos0或 3 tan 4 ， 从而求出直线l的方程为30x或34150xy （2）若P为AB
14、的中点，所以 12 0tt， 由（ 1）知2cossin0，得tan2， 故所求弦AB的方程为 22 42150(25)xyxy 备用题： 1已知点 00 (,)P xy在圆 3 8cos 28sin x y 上，则 0 x、 0 y的取值范围是（） A 00 33, 22xy B 00 38, 28xy C 00 511, 106xy D以上都不对 1C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C 2直线 12 () 2 xt t yt 为参数被圆 22 9xy截得的弦长为（） A 12 5 B 12 5 5 C 9 5 5 D 9 10 5 2B 2 15 12 5 21 15 5 xt xt yt
15、 yt ，把直线 12 2 xt yt 代入 22 9xy得 222 (1 2 )(2)9,5840tttt， 22 12121 2 81612 |()4() 555 ttttt t，弦长为 12 12 5 |5 5 tt 3已知曲线 2 2 () 2 xpt tp ypt 为参数 , 为正常数上的两点,M N对应的参数分别为 12, tt和， 12 0tt且，那么|MN_ 3 1 4|p t显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即x轴， 121 | 2|2|2 |MNp ttpt 4参数方程 cos (sincos ) () sin (sincos ) x y 为参数表示什么曲线？ 4解：显然t
16、an y x ，则 2 2 222 2 11 1,cos cos 1 y yx x ， 222 2 112 tan cossincossin 2coscos 221tan x ， 即 222 222 21 11 2 111 yy xx x yyy xxx ， 2 2 (1)1 yy x xx ， 得 2 1 yy x xx ， 即 22 0xyxy 5已知点( ,)P x y是圆 22 2xyy上的动点， （1）求2xy的取值范围； （2）若0xya恒成立，求实数a的取值范围 5解：（ 1）设圆的参数方程为 cos 1sin x y ， 22cossin15sin()1xy， 51251xy （2）cossin10xyaa， (cossin)12 sin()1 4 a恒成立， 即21a