《高中数学：向量法解立体几何总结..pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学：向量法解立体几何总结..pdf（3页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量：若 A、B 是直线 l 上的任意两点，则 AB 为直线 l 的一个方向向量； 与AB平行的任意非零向量也是直线 l的方向向量 . 平面的法向量：若向量 n所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，记作 n ，如果n，那么向量 n叫做平面 的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法）： 建立适当的坐标系 设平面的法向量为( , , )nx y z 求出平面内两个不共线向量的坐标 123123 (,),( ,)aa aabb b b 根据法向量定义建立方程组 0 0 n a n b . 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向
2、量 . 2、用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行。 设直线 12 ,l l的方向向量分别是a b、，则要证明 1 l 2 l，只需证明ab，即 ()akb kR. 线面平行。 设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明 au，即0a u. 面面平行。 若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv， 即证uv. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直。 设直线 12 ,l l的方向向量分别是a b、，则要证明 12 ll，只需证明ab，即 0a b. 线面垂直 （法一） 设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明a u，即au. （法二）
3、设直线l的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为mn、，若 0 ,. 0 a m l a n 则 面面垂直。若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv， 即证0u v. 4、利用向量求空间角 求异面直线所成的角 已知,a b为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是,a b上的任意两点，,a b所成的角为， 则cos . AC BD AC BD 求直线和平面所成的角 求法： 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u 的夹角为，则为的余角或的补角 的余角 .即有： coss.in a u a u 求二面角 二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O ，
4、 分别在两个半平面内作射 线lBOlAO,，则 AOB为二面角 l的平面角 . 如图： 求法：设二面角l的两个半平面的法向量分别为mn、，再设mn、的夹角为， 二面角l的平面角为，则二面角为mn、的夹角或其补角. 根据具体图形确定是锐角或是钝角： O A B O A B l 如果是锐角，则 coscos m n m n ，即arccos m n m n ； 如果是钝角，则 coscos m n m n ， 即arccos m n m n . 5、利用法向量求空间距离 点 Q到直线l距离 若 Q为直线l外的一点 ,P在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点 Q到直线l 距离为 22 1
5、(|)() | haba b a 点 A 到平面的距离 若点 P 为平面外一点， 点 M 为平面内任一点， 平面的法向量为n，则 P到平面 的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值. 即cos,dMPn MP n MP MP n MP n MP n 直线a与平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知， 直线到平面 的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即 . n MP d n 两平行平面,之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即 . n MP d n 异面直线间的距离 设向量n与两异面直线,a b都垂直，,Ma Pb则两异面直线,a b间的距离d就是 MP在向量n方向上投影的绝对值。即. n MP d n