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1、一、填空题（共 10 题，每题 2 分，共 20分） 。 1多项式可整除任意多项式。 2艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。 3在n阶行列式D中，0的个数多于个是0D。 4若A是n阶方阵，且秩1An，则秩A。 5实数域上不可约多项式的类型有种。 6若不可约多项式( )p x是( )f x的k重因式，则( )p x是 (1) ( ) k f x 的重因式。 7写出行列式展开定理及推论公式。 8当排列 1 2n i ii是奇排列时，则 1 2n i ii可经过数次对换变成12n。 9方程组 123 123 22232 12 1xxx axbxcxd a xb xc xd ，当
2、满足条件时，有唯一解，唯一解 为。 10若 242 (1)1xaxbx，则a，b。 二、判断题（共 10 题，每题 1 分， 共 10 分） 。 1任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（） 2两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（） 3 设 12n是 n P中n个向量，若 n P， 有 12 , n 线性相关，则 12n 线性相关。（） 4.设是某一方程组的解向量，k为某一常数， 则k也为该方程组的解向量。 （） 5若一整系数多项式( )f x有有理根，则( )f x在有理数域上可约。 （） 6 秩()AB秩A，当且仅当秩0B。（） 7向量线性相关它是任一向量组的线性组合。（） 8
3、 若( ),( ) f xg xP x，且( ),( )1f xg x，则( ) ( ),( )( )1f x g xf xg x。 （ ） 9( ),( ) f xg xZ x， 且( )g x为本原多项式， 若( )( ) ( )f xg x h x则( ) h xZ x。（） 10若, n n A B C DP，则 AB ADBC CD 。（） 三、选择题（共5 题，每题 2 分， 共 10 分） 。 1A为方阵，则3A（） A. 3 AB. AC. 3 n AD. 3 nA 2.若既约分数 r s 是整系数多项式( )f x的根，则下面结论那个正确（） A. (1),( 1)sr fs
4、r fB. (1),( 1)sr fsr f C. ( 1),(1)sr fsr fD. ( 1),( 1)sr fsr f 3. n阶行列式D，当n取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（） A. 4k或42kB. 4k或41kC. 4k或43kD. 41k或42k 4含n有个未知量1n个方程的线性方程组 11 112211 1122 1,111,221,1 nn nnnnnn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb axaxaxb 有 解的（）条件是行列式 111211 12 1,11,21,1 0 n nnnnn nnnnn aaab aaab aaab 。 A.
5、充要B.必要C.充分必要D.不充分不必要 5 1 110 ( ) nn nn f xa xaxa xaZ x ，若既约分数 p q 是( )f x的有理根， 则 下列结论正确的是（） A. 0 , n paqaB. , nn pa qaC. 0,n pa qaD. 00 ,pa qa 四、计算题（共 4 题，每题 7 分，共 28 分） 。 1设 432 ( )343f xxxxx， 32 ( )31023g xxxx 求( ),( )fxg x，并求( ), ( )u xv x使( ),( )( )( )( ) ( )f xg xu x f xv x g x。 2计算下列n阶行列式 1112
6、1 21222 12 n n n nnnn ababab ababab D ababab 3求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。 1234 1234 1234 1234 50 230 380 3970 xxxx xxxx xxxx xxxx 4设 012 114 210 A ，判断 A是否可逆，若可逆，求 1 A 五、证明题（共4 题，每题8 分， 共 32 分） 。 1设,A B为nn矩阵，如果0AB，那么秩()A秩()Bn。 2 如果a是( )fx的一个k重根，证明a是( )( )( )( )( ) 2 xa g xfxfaf xf a 的一个 3k 重根。 3证明： co
7、s10000 12cos1000 012cos000 cos 0002cos10 00012cos1 000012cos n Dn 4设向量组 12 ,(1) s 12 ,(2) t 1212 ,(3) st 的秩分别为 123 ,r rr，证明 12312 max,r rrrr。 答案 一 1零次 2.充分 3. 2 nn 4. 1 5. 2 6. 单 7 1122 0 ijijinjn Dij a Aa Aa A ij 8. 奇 9. , ,a b c互不相同 10. 1,2ab 二 15 610 三CCBBC 四 1( ),( )3f xg xx； 2 312 ( )1,( ) 555
8、u xxv xxx 2 11 1212 1 ()()2 03 n abn Daabbn n 3一般解为 134 224 3 2 7 2 2 xxx xxx ， 34 ,xx为自由未知量。 基础解系为 1 3 2 7 2 1 0 ， 2 1 2 0 1 。 4A可逆，且 1 211 421 31 1 22 A 五 1证：令 12 (,) n BB BB， 1211 (,)(,)(0,0,0) nn ABA BBBAB ABAB 0,1,2, i ABin i B是0AX的解。 秩 12 (,) n BBB秩Bn秩A。 秩A秩Bn。 2证：( )( )( )0g ag aga且a是( )gx的1k重根，a是( )g x的3k 重根。 3提示： n D按最后一行展开，得证。 4提示：取极大无关组，得证。