第5讲一次方程组(含答案点拨).pdf

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1、第二单元方程 ( 组) 与不等式 ( 组) 第 5 讲一次方程 (组) 考纲要求命题趋势 1了解等式、方程、一元一次方程 和二元一次方程(组)的概念， 掌握等 式的基本性质 2掌握一元一次方程的标准形式， 熟练掌握一元一次方程和二元一次 方程组的解法 3会列方程 (组)解决实际问题. 一元一次方程在各省市的中考 试题中体现的不突出，个别省市仅 以填空题、 选择题、 列方程解应用题 的方式出现 二元一次方程组在中考 中一般以填空题、 选择题考查定义与 解法， 以解答题考查列方程组解应用 题. 知识梳理 一、等式及方程的有关概念 1等式及其性质 (1)用等号“”来表示相等关系的式子，叫做等式 (2

2、)等式的性质：等式两边加(或减 )同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两 边乘 (或除以 )同一个数 (除数不能是0)，所得结果仍是等式 2方程的有关概念 (1)含有未知数的等式叫做方程 (2)方程的 解： 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解， 也叫它的根 (3)解方程：求方程解的过程叫做解方程 二、一元一次方程 1只含有 _未知数，并且未知数的最高次数都是_，系数不等于零的_方 程叫做一元一次方程，其标准形式为_，其解为x_. 2解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母； (2)_；(3)移项； (4)_； (5)未知数的系数化为1. 三、二元一次方程组的有关

3、概念 1二元一次方程 (1)概念：含有 _未知数，并且未知数的项的次数都是_，这样的整式方程叫做 二元一次方程 (2)一般形式： axbyc(a0，b0) (3)使二元一次方程两边的值_的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 (4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解由这些解组成的集合，叫做这个二 元一次方程的解集 2二元一 次方程组 (1)概念：具有相同未知数的_二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方 程组 (2)一般形式： a1xb1yc1， a2xb2yc2 (a1，a2，b1，b2均不为零 ) (3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的_，叫做二元 一次方程

4、组的解 四、二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本思想是_，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方 法有 _消元法和 _消元法 1用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 (1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或 y)的代数式表示出 y(或 x)，即变成 yaxb(或 xayb)的形式； (2)将 yaxb(或 xayb)代入另一个方程，消去y(或 x)，得到关于x(或 y)的一元一 次方程； (3)解这个一元一次方程，求出x(或 y)的值； (4)把 x(或 y)的值代入 yaxb(或 xay b)中，求 y(或 x)的值 2用加减消元法解二元一次方程组的一般步

5、骤 (1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数 )，则可以直接相 减(或相加 )，消去一个未知数； (2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边， 使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加 )，消去一个 未知数； (3)解这个一元一次方程； (4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未 知数 五、列方程 (组)解应用题的一般步骤 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量 设：设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位对于含有两个未知数的问题，需 要设两个未知数 列：根据题

6、意寻找等量关系列方程(组) 解：解方程 (组 ) 验：检验方程(组)的解是否符合题意 答：写出答案(包括单位 ) 六、常见的几种方程类型及等量关系 1行程问题中的基本量之间的关系 路程速度时间； 相遇问题：全路程甲走的路程乙走的路程； 追及问题：若甲为快者，则被追路程甲走的路程乙走的路程； 流水问题： v顺v静 v水，v逆v静v水 2工程问题中的基本量之间的关系 工作效率 工作总量 工作时间 . (1)甲、乙合作的工作效率甲的工作效率乙的工作效率 (2)通常把工作总量看作“ 1” 自主测试 1二元一次方程x2y1 有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是() A x0， y 1 2 B x

7、1， y1 C x1， y0 D x 1， y 1 2方程组 xy1， 2xy5 的解是 () A x 1， y2 B x 2， y3 C x2， y1 D x2， y 1 3若 x2 是关于 x 的方程 2x3m10 的解，则m 的值为 _ 4受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10 亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800 元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200 元，乙种蔬 菜每亩获利1 500 元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 考点一、一元一次方程的解法 【例 1】解方程： 2x1 3 10x1 6 1. 解： 去分母，得2(2x1)(10x1) 6

8、，去括号，得4x210x16，移项，得4x 10x621，合并同类项，得 6x5，系数化为1，得 x 5 6. 方法总结解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据， 根据其特点选用解题步骤 考点二、二元一次方程组的有关概念 【例 2】已知 x2， y1 是二元一次方程组 mxny8， nxmy1 的解， 则 2mn 的算术平方根 为() A4 B 2 C2 D 2 解析： x2， y1 是方程组 mxny8， nxmy1 的解， 2mn8， 2nm1， 解得 m3， n2. 2mn23242. 答案： B 方法总结方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会

9、得到一个新 的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值 触类旁通1 已知 x2， y3 是关于x，y 的二元一次方程3xya 的解，求 (a1)(a 1)7 的值 考点三、二元一次方程组的解法 【例 3】解方程组 3xy5， 5x2y23. 解： 方法一：用加减消元法解方程组 2 得 6x2y10， 得 11x33，解得 x3. 把 x3 代入得 9y5，解得 y4. 所以原方程组的解为 x3， y4. 方法二：用代入消元法解方程组 由得 y3x5， 把代入得5x2(3x5)23，即 11x 33，解得 x3.把 x3 代入得y4.所以原 方程组的解为 x3， y4. 方法总结解二元一次方程

10、组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一 次方程 最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时， 要结合方程组的特点， 灵活选用消元方法如果出现未知数的系数为1 或 1，宜用代入消元法解；如果出现同一 未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解 触类旁通2 解方程组： 4x 3y11， 2x y13. 考点四、列方程(组)解决实际问题 【例 4】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适 量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输某饮料加工厂生产的A，B 两种饮料均 需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2 克， B 饮料每瓶需加

11、该添加剂3 克，已知 270克该添加剂恰好生产了A，B 两种饮料共100 瓶，问 A，B 两种饮料各生产了多少瓶？ 分析： 可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决 解法一： 设 A 饮料生产了x 瓶，则 B 饮料生产了 (100x)瓶，依题意，得2x3(100 x)270. 解得 x30,100x70. 解法二： 设 A 饮料生产了x 瓶， B 饮料生产了y 瓶，依题意，得 xy100， 2x3y 270， 解得 x30， y70. 答： A 饮料生产了30 瓶， B 饮料生产了70 瓶 方法总结对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方 程解容易 列二元一次方程组

12、，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系， 再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题 1(2012 重庆 )关于 x 的方程 2xa90 的解是 x2，则 a 的值为 () A2 B 3 C4 D5 2(2012 山东临沂 )关于 x，y 的方程组 3xym， xmyn 的解是 x1， y1， 则|mn|的值是 () A5 B 3 C2 D1 3(2012 浙江杭州 )已知关于x，y 的方程组 x3y4a， xy 3a， 其中 3a1.给出下列 结论： x5， y 1 是方程组的解；当a 2 时， x，y 的值互为相反数；当a1 时， 方程组的解也是方程x y4

13、a 的解；若x1，则 1y4.其中正确的是() ABCD 4(2012 甘肃兰州 )兰州市某广场准备修建一个面积为200 平方米的矩形草坪，它的长 比宽多 10 米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为() Ax(x10)200 B2x2(x10)200 C2x2(x10)200 Dx(x10)200 5(2012 广东湛江 )请写出一个二元一次方程组_，使它的解是 x2， y 1. 6(2012 湖南长沙 )以“开放崛起， 绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012 年 5 月 20 日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作 项目共 348 个，其中境外投资合

14、作项目个数的2 倍比省外境内投资合作项目多51 个 (1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个； (2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6 亿元、 7.5 亿元，求 在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元 1已知 3 是关于 x 的方程 2xa1 的解，则a 的值是 () A 5 B5 C 7 D 2 2方程组 xy2， 2xy4 的解是 () A x1， y2 B x3， y1 C x 0， y 2 D x2， y0 3某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400 元钱购买甲、乙两种奖品 共 30 件，其中甲种奖品每件16 元，乙种

15、奖品每件12 元，求甲、乙两种各买多少件？该问 题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是() A xy30， 12x16y400 B xy30， 16x12y400 C 16x12y 30， x y400 D 16x12y30， xy400 4 若关于 x， y 的二元一次方程组 xy5k， xy9k 的解也是二元一次方程2x3y6 的解， 则 k 的值为 () A 3 4 B. 3 4 C 4 3 D 4 3 5湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”李红买了8 个莲蓬，付50 元，找回 38 元设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为_ 6方程 |4x8|xym

16、0，当 y0 时， m 的取值范围是 _ 7已知 x2， y1 是二元一次方程组 axby7， axby1 的解，则a b的 值为 _ _ 8若关于x，y 的二元一次方程组 2xy3k1， x2y 2 的解满足xy1，则 k 的取值范 围是 _ 9开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18 元钱买了1 支钢笔和3 本笔记本；小亮用31 元钱买了同样的钢笔2 支和笔记本5 本 (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运动会后，班主任拿出200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔 记本共 48 件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有 多少

17、种购买方案？请你一一写出 参考答案 导学必备知识 自主测试 1B把 A 项代入方程左边02 1 2 右边，把B 项代入方程左边121 1右边，把C 项代入方程左边120右边，把D 项代入方程左边12(1) 右边 2D解方程组 xy1， 2x y5， 得3x6，故 x2，把 x2 代入得 y1， 故 x 2， y 1. 31因为把 x 2 代入方程，得43m1 0，解得 m1. 4 解： 设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x， y 亩， 依题意，得 xy10， 1 200x1 500y 13 800， 解得 x4， y6. 答：甲、乙两种蔬菜各种植了4 亩、 6 亩 探究考点方法 触类旁通1解： 把

18、 x 2，y3代入方程得233a，解得 a3. (a1)(a1)7a21 7a26(3)269. 触类旁通 2解： 2 得 4x2y26， 得 5y15，解得 y3， 把 y3 代入得 2x 313，解得 x5. 所以原方程组的解为 x5， y3. 品鉴经典考题 1D方程 2xa90 的解是 x2， 22a90，解得 a 5.故选 D. 2 D把 x1， y1 代入原方程组得 3 1m， 1 mn， m2， n3， 则|mn|1. 3C解方程组 x3y4a， xy 3a， 得 x12a， y1a. 3 a1， 5x3,0y4， x5， y 1 不符合 5x3,0y 4，结论错误； 当 a2 时

19、， x1 2a3，y1a3， x，y 的值互为相反数，结论正确； 当 a1 时， xy2a3,4a3，方 程 xy4 a 两边相等，结论正确； 当 x1 时， 12a1，解得 a0，y1a1，已知 0y4，故当 x1 时， 1y 4，结论正确 故选 C. 4D设宽为x 米，则长为 (x10)米，根据长 宽矩形面积，列方程为x(x10) 200. 5 xy1， xy3 (答案不唯一 ) 6(1)解法一： 设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，则湖南省签订的省外境内投 资合作项目有 (348x)个，由题意得2x(348x)51，解得 x133， 348 x348133215. 答：境外投资合作项

20、目有133 个，省外境内投资合作项目有215 个 解法二： 设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，省外境内投资合作项目有y 个，由 题意得 xy348， 2xy51， 解得 x 133， y 215. 答：境外投资合作项目有133 个，省外境内投资合作项目有215 个 (2)解： 13362157.57981 612.52 410.5(亿元 ) 答：在这次 “ 中博会 ”中，东道主湖南省共引进资金2 410.5 亿元 研习预测试题 1B把 x3 代入方程，得6a1，所以 a5. 2D两方程相加，得3x6，x2，把 x2 代入 xy2，得 y 0，所以 x2， y0. 3B购买甲种奖品x 件，

21、每件16 元，共花了16x 元，购买乙种奖品y 件，每件12 元，共花了12y 元相等关系为：甲奖品件数乙奖品件数30 件，甲花的钱乙花的钱 400 元 4B解方程组 xy 5k， xy 9k， 得 x7k， y 2k， 代入 2x3y 6，得到 14k6k6，所以 k 3 4. 58x3850相等关系为8 个莲蓬的价格找回的38 元 50 元 6m2由题意，得 4x80， xym 0， 解得 y2m， y0， 2m0， m2. 71因为把 x2， y1 代入方程组得 2ab7， 2ab1， 解得 a2， b3. 所以 ab1. 8k2 9解： (1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元 依题意得 x3y 18， 2x5y31， 解得 x3， y5. 答：每支钢笔3 元，每本笔记本5 元 (2)设买 a 支钢笔，则买笔记本(48a)本 依题意得 3a5 48a 200， 48aa. 解得 20a24.所以，一共有5 种方案， 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.