圆周角定理练习题A.pdf

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1、圆周角定理练习题 一选择题（共16 小题） 1如图， A、B、C 三点在 O 上，若 BOC=76 ，则 BAC 的度数是（） A152B76C38D14 2如图， O 是 ABC 的外接圆，ACO=45 ，则 B 的度数为（） A30B35C40D45 第 1 题图第 2 题图第 3 题图 3如图，在图中标出的4 个角中，圆周角有（）个 A1 B2 C3 D4 4如图，在O 中，直径CD 垂直于弦 AB ，若 C=25 ，则 BOD 的度数是（） A25B30C40D50 5如图，已知在 O 中，点 A，B， C 均在圆上， AOB=80 ， 则 ACB 等于（） A130 B140C145

2、D 150 第 4 题图第 5 题图第 6 题图 6如图， MN 是 O 的直径， PBN=50 ，则 MAP 等于（） A50B40C30D20 7如图， CD 是 O 的直径， A、B 是 O 上的两点，若ABD=20 ，则 ADC 的度数为） A40B50C60D 70 8如图， AB 是半圆的直径，点D 是的中点， ABC=50 ，则 DAB 等于（） A55B60C65D70 第 7 题图第 8 题图第 9 题图 9如图， AB 是 O 的直径， C，D 为圆上两点，AOC=130 ，则 D 等于（） A25B 30C35D50 10如图， 1、 2、 3、 4 的大小关系是（） A

3、 4 1 2 3 B 4 1=3 2 C 4 1 32 D 4 1 3=2 11 如图，AB 是半圆 O 的直径，BAC=60 ， D 是半圆上任意一点， 那么 D 的度数是（） A30B45C60D90 第 10 题图第 11 题图第 12 题图 12如图，在O 中， OA BC， AOC=50 ，则 ADB 的度数为（） A15B20C25D 50 13在 O 中，点 A、B 在 O 上，且 AOB=84 ，则弦 AB 所对的圆周角是（） A42B84C42 或 138D 84 或 96 14如图所示， 在 O 中，AB 是 O 的直径， ACB 的角平分线CD 交 O 于 D，则 ABD

4、 的度数等于（） A90B 60C45D30 15已知如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦，CDB=40 ， 则 CBA 的度数为 （） A60B50C40D30 第 10 题图第 11 题图第 12 题图 16如图， AB 是圆的直径，ABCD， BAD=30 ，则 AEC 的度数等于（） A30B50C60D70 二填空题（共8 小题） 17如图， O 的直径 CD 经过弦 EF 的中点 G， DCF=20 ，则 EOD 等于 第 17 题图第 18 题图第 19 题图 18如图，点A、B 在 O 上， AOB=100 ，点 C 是劣弧 AB 上不与 A、B 重合的任意一 点

5、，则 C= 19在 O 中，弦 AB=2cm ， ACB=30 ，则 O 的直径为cm 20如图， O 中弦 AB 等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是 第 20 题图第 21 题图第 22 题图 21如图，等腰ABC 的底边 BC 的长为 4cm，以腰 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，则 DE 的长为cm 22如图，在 “ 世界杯 ” 足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到A 点时，同 样乙已经助攻冲到B 点，丙助攻到C 点有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二 种是甲将球传给乙，由乙射门第三种是甲将球传给丙，由丙射门仅从射门角度考虑， 应

6、选择种射门方式 三解答题（共16 小题） 25 28如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上的点， AC=6cm ，BC=8cm ， ACB 的平分 线交 O 于点 D，求 AB 和 BD 的长 26如图，已知CD 是 O 的直径，弦AB CD，垂足为点M，点 P 是上一点，且 BPC=60 试判断 ABC 的形状，并说明你的理由 27、如图， ABC 的高 AD 、BE 相交于点 H，延长 AD 交 ABC 的外接圆于点G，连接 BG 求证： HD=GD 28已知：如图，AB 为 O 的直径， AB=AC ，BC 交 O 于点 D，AC 交 O 于点 E BAC=40 （1）求 EBC

7、 的度数； （2）求证： BD=CD 29如图， ABC 是 O 的内接三角形，A=30 ，BC=3cm 求 O 的半径 30如图， AB 是 O 的直径，过圆上一点C 作 CDAB 于点 D，点 C 是弧 AF 的中点，连 接 AF 交 CD 于点 E，连接 BC 交 AF 于点 G （1）求证： AE=CE ； 31如图， ABC 中，AB AC，BAC 的平分线交外接圆于D，DEAB 于 E，DM AC 于 M （1）求证： BE=CM （2）求证： ABAC=2BE 32 如图，OA 是 0 的半径，以 OA 为直径的 C 与 0 的弦 AB 相交于点D 求证：AD=BD 33如图，已

8、知：AB 是 O 的弦， D 为 O 上一点， DCAB 于 C，DM 平分 CDO求 证： M 是弧 AB 的中点 34如图， ABC 的三个顶点都在O 上，CD 是高，D 是垂足， CE 是直径， 求证： ACD= BCE 35已知：如图，AE 是 O 的直径， AFBC 于 D，证明： BE=CF 36已知 AB 为 O 的直径，弦BE=DE ，AD ，BE 的延长线交于点C，求证： AC=AB 37如图， AB 是圆 O 的直径， OCAB，交 O 于点 C， D 是弧 AC 上一点， E 是 AB 上 一点， ECCD，交 BD 于点 F问： AD 与 BF 相等吗？为什么？ 38如

9、图， AB 是 O 的直径， AC、 DE 是 O 的两条弦，且DEAB，延长 AC、DE 相交 于点 F，求证： FCD=ACE 39如图，已知O 是 ABC 的外接圆， AD 是 O 的直径，作CEAD ，垂足为E， CE 的延长线与AB 交于 F试分析 ACF 与 ABC 是否相等，并说明理由 40如图， ABC 内接于 O，AD 为 ABC 的外角平分线， 交 O 于点 D，连接 BD ，CD， 判断 DBC 的形状，并说明理由 41如图， AB 是 O 的直径，弦CDAB ，垂足为点E， G 是上的任意一点，AG 、DC 的延长线相交于点F， FGC 与 AGD 的大小有什么关系？为

10、什么？ 42如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上一点， D 是弧 AC 中点， DEAB 垂足为 E，AC 分别与 DE、DB 相交于点 F、G，则 AF 与 FG 是否相等？为什么？ 43如图， OA 是 O 的半径，以OA 为直径的 C 与 O 的弦 AB 交于点 D，求证： D 是 AB 的中点 44如图，在ABC 中， ACB=90 ，D 是 AB 的中点，以DC 为直径的 O 交 ABC 的 边于 G，F， E 点 求证： （1）F 是 BC 的中点； （2） A= GEF 45如图，圆内接四边形ABCD 的外角 DCH= DCA ，DPAC 垂足为 P，DHBH 垂足

11、 为 H，求证： CH=CP，AP=BH 圆周角定理 2222222222 参考答案与试题解析 一选择题（共16 小题） 1（2012?呼伦贝尔）如图，A、 B、 C 三点在 O 上，若 BOC=76 ， 则 BAC 的度数是 （） A152B76 C38 D14 【解答】 解：所对的圆心角是BOC，圆周角是 BAC ， 又 BOC=76 ， A=76 =38 故选 C 2 （ 2015?眉山）如图，O 是 ABC 的外接圆， ACO=45 ，则 B 的度数为（） A30 B35 C40 D45 【解答】 解： OA=OC ， ACO=45 ， OAC=45 ， AOC=180 45 45 =

12、90 ， B=AOC=45 故选 D 3 （ 2010 秋?海淀区校级期末）如图，在图中标出的4 个角中，圆周角有（）个 A1 B2 C3 D4 【解答】 解： 1 和 3 符合圆周角的定义， 2 顶点不在圆周上， 4 的一边不和圆相交， 故图中圆周角有1和 3 两个 故选 B 4 （ 2015?珠海）如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦AB ，若 C=25 ，则 BOD 的度数是 （） A25 B30 C40 D50 【解答】 解：在 O 中，直径CD 垂直于弦AB ， =， DOB=2 C=50 故选： D 5 （ 1997?陕西）如图，已知在O 中，点 A，B， C 均在圆上，AOB=8

13、0 ，则 ACB 等 于（） A130B140C145D150 【解答】 解：设点 E 是优弧 AB 上的一点，连接EA，EB AOB=80 E=AOB=40 ACB=180 E=140 故选： B 6如图， MN 是 O 的直径， PBN=50 ，则 MAP 等于（） A50 B40 C30 D20 【解答】 解：连接 OP， 可得 MAP=MOP， NBP=NOP， MN 为直径， MOP+NBP=180 ， MAP +NBP=90 ， PBN=50 ， MAP=90 PBN=40 故选 B 7 （2007?太原）如图， CD 是 O 的直径， A、B 是 O 上的两点， 若 ABD=20

14、 ，则 ADC 的度数为（） A40 B50 C60 D70 【解答】 解： ABD=20 C=ABD=20 CD 是 O 的直径 CAD=90 ADC=90 20 =70 故选 D 8 （ 2013?苏州）如图， AB 是半圆的直径，点D 是的中点， ABC=50 ，则 DAB 等于 （） A55 B60 C65 D70 【解答】 解：连结 BD，如图， 点 D 是的中点，即弧CD=弧 AD ， ABD= CBD， 而 ABC=50 ， ABD=50 =25 ， AB 是半圆的直径， ADB=90 ， DAB=90 25 =65 故选 C 9 （ 2009?枣庄）如图，AB 是 O 的直径，

15、 C，D 为圆上两点，AOC=130 ，则 D 等于 （） A25 B30 C35 D50 【解答】 解： AOC=130 ， BOC=50 ， D=BOC=25 故选 A 10 （2013 秋?沙洋县校级月考）如图，1、 2、 3、 4 的大小关系是（） A 4 1 2 3 B 4 1=3 2 C 4 1 32 D 4 1 3=2 【解答】 解：如图，利用圆周角定理可得：1= 3=5=6， 根据三角形的外角的性质得：5 4， 2 6， 4 1=3 2， 故选 B 11 （2012 秋?天津期末）如图，AB 是半圆 O 的直径， BAC=60 ，D 是半圆上任意一点， 那么 D 的度数是（）

16、A30 B45 C60 D90 【解答】 解：连接 BC， AB 是半圆的直径 ACB=90 BAC=60 ， ABC=90 BAC=30 ， D=ABC=30 故选 A 12 （2009?塘沽区二模） 如图，在 O 中，OABC， AOC=50 ， 则 ADB 的度数为 （） A15 B20 C25 D50 【解答】 解： OA BC， AOC=50 ， ， ADB=AOC=25 故选 C 13 （2012 秋?宜兴市校级期中）在O 中，点 A、B 在 O 上，且 AOB=84 ，则弦 AB 所 对的圆周角是（） A42 B84 C42 或 138D 84 或 96 【解答】 解：如图，AO

17、B=84 ， ACB=AOB=84 =42 ， ADB=180 ACB=138 弦 AB 所对的圆周角是：42 或 138 故选 C 14 （2011?南岸区一模）如图所示，在O 中， AB 是 O 的直径， ACB 的角平分线CD 交 O 于 D，则 ABD 的度数等于（） A90 B60 C45 D30 【解答】 解：连接 AD ， 在 O 中， AB 是 O 的直径， ADB=90 ， CD 是 ACB 的角平分线， =， AD=BD ， ABD 是等腰直角三角形， ABD=45 故选 C 15 （2015 秋?合肥校级期末）已知如图，AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦， CDB

18、=40 ， 则 CBA 的度数为（） A60 B50 C40 D30 【解答】 解：连接 AC， AB 是 O 的直径， ACB=90 ， A=CDB=40 ， CBA=90 A=50 故选 B 16 （2013?万州区校级模拟）如图，AB 是圆的直径， AB CD， BAD=30 ，则 AEC 的 度数等于（） A30 B50 C60 D70 【解答】 解： BAD=30 ， =60 ， AB 是圆的直径，AB CD， =60 ， =180 60 =120 ， AEC=120 =60 故选 C 二填空题（共8 小题） 17 （2016?大冶市模拟） 如图， O 的直径 CD 经过弦 EF 的

19、中点 G， DCF=20 ，则 EOD 等于40 【解答】 解： O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G， DCF=20 ， 弧 DF=弧 DE，且弧的度数是40 ， DOE=40 ， 答案为 40 18 （2015?历城区二模）如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧 AC 的中点， ABC=50 ，则 DAB 的度数是65 【解答】 解：连结 BD，如图， 点 D 是的中点，即弧CD= 弧 AD ， ABD= CBD， 而 ABC=50 ， ABD=50 =25 ， AB 是半圆的直径， ADB=90 ， DAB=90 25 =65 故答案为65 19 （2013 秋?滨湖区校级期末）如图，

20、点A、B 在 O 上， AOB=100 ，点 C 是劣弧 AB 上不与 A、B 重合的任意一点，则C=130 【解答】 解：在优弧AB 上取点 D，连结 AD 、BD，如图， D=AOB= 100 =50 ， D+C=180 ， C=180 50 =130 故答案为130 20 （2008 秋?苏州校级期中）球员甲带球冲到A 点时，同伴乙已经助攻冲到B 点有两种 射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门仅从射门角度考虑， 应选择第二种种射门方式较为合理 【解答】 解：连接 OC 根据圆周角定理，得PCQ=B， 根据三角形的外角的性质，得PCQ A， 则 B A 故答案为第二

21、种 21 （2015?黄岛区校级模拟） 在 O 中，弦 AB=2cm ， ACB=30 ， 则 O 的直径为4cm 【解答】 解：连接 OA， OB， ACB=30 ， AOB=60 ， AOB 是等边三角形， OA=OB=AB=2cm， O 的直径 =4cm 故答案为： 4 22 （2014 春?海盐县校级期末）如图，O 中弦 AB 等于半径R，则这条弦所对的圆心角是 60 ，圆周角是30 或 150 【解答】 解：连结 OA、 OB， APB 和 APB 为弦 AB 所对的圆周角，如图， 弦 AB 等于半径R， OAB 为等边三角形， AOB=60 ， APB=AOB=30 ， AP B=

22、180 APB=150 ， 即这条弦所对的圆心角是60 ，圆周角是30 或 150 故答案为60 ；是 30 或 150 23 （2012?义乌市模拟）如图，等腰ABC 的底边 BC 的长为 4cm，以腰 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，则 DE 的长为2cm 【解答】 解：连接 AD ， DEC 为圆内接四边形ABDE 的外角， DEC= B， 又等腰 ABC ，BC 为底边， AB=AC ， B=C， DEC= C， DE=DC ， AB 为圆 O 的直径， ADB=90 ，即 AD BC， BD=CD=BC ，又 BC=4cm ， DE=2cm 故答案为： 2

23、 24 （2012 秋?哈密地区校级月考）如图，在“ 世界杯 ” 足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进 攻，当他带球冲到A 点时，同样乙已经助攻冲到B 点，丙助攻到C 点有三种射门方式： 第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门第三种是甲将球传给丙，由丙射 门仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式 【解答】 解：设 AP 与圆的交点是C，连接 CQ； 则 PCQ A； 由圆周角定理知：PCQ=B； 所以 B A； 因此选择第二种射门方式更好 故答案为：第二 三解答题（共16 小题） 25 （2009?沈阳模拟）如图，ABC 的高 AD 、BE 相交于点H，延长 AD 交 ABC 的外

24、接圆 于点 G，连接 BG 求证： HD=GD 【解答】 证明： C=G， ABC 的高 AD 、BE， C+DAC=90 ， AHE +DAC=90 ， C=AHE ， AHE= BHG= C， G=BHG ， BH=BG ， 又 AD BC， HD=DG 26 （2013 秋?虞城县校级期末）如图，已知CD 是 O 的直径，弦AB CD，垂足为点M， 点 P 是上一点，且BPC=60 试判断 ABC 的形状，并说明你的理由 【解答】 解： ABC 为等边三角形理由如下： AB CD，CD 为 O 的直径， 弧 AC= 弧 BC， AC=BC ， 又 BPC=A=60 ， ABC 为等边三角

25、形 27 （2013 秋?耒阳市校级期末）已知：如图，AB 为 O 的直径， AB=AC ，BC 交 O 于点 D，AC 交 O 于点 E BAC=40 （1）求 EBC 的度数； （2）求证： BD=CD 【解答】（1）解： AB=AC ， ABC= C， BAC=40 ， C=（180 40 ）=70 ， AB 为 O 的直径， AEB=90 ， EBC=90 C=20 ； 证明：连结AD ，如图， AB 为 O 的直径， ADB=90 ， AD BC， 而 AB=AC ， BD=DC 28 （2014 秋?高密市期中） 如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上的点， AC=6cm

26、，BC=8cm ， ACB 的平分线交 O 于点 D，求 AB 和 BD 的长 【解答】 解：如图， AB 是 O 的直径， ACB=90 ， ADB=90 AB=10（cm） AC=6cm ，BC=8cm ， CD 是 ACB 的平分线， ACD= BCD，则=， AD=BD ， BD=AB=5cm 综上所述， AB 和 BD 的长分别是10cm，5cm 29 （2013 秋 ?宜兴市校级期中）如图，ABC 是 O 的内接三角形， A=30 ， BC=3cm 求 O 的半径 【解答】 解：作直径CD，连结 BD ，如图， CD 为直径， CBD=90 ， D=A=30 ， CD=2BC=2

27、3=6， O 的半径为 3cm 30 （2010 秋?瑞安市校级月考）如图，AB 是 O 的直径，过圆上一点C 作 CDAB 于点 D，点 C 是弧 AF 的中点，连接AF 交 CD 于点 E，连接 BC 交 AF 于点 G （1）求证： AE=CE ； （2）已知 AG=10 ，ED：AD=3 ：4，求 AC 的长 【解答】（1）证明：点C 是弧 AF 的中点， B=CAE ， AB 是 O 的直径， ACB=90 ， 即 ACE + BCD=90 ， CDAB ， B+BCD=90 ， B=CAE= ACE ， AE=CE （6 分） （2）解： ACB=90 ， CAE + CGA=90

28、 ， 又 ACE+BCD=90 ， CGA= BCD， AG=10 ， CE=EG=AE=5 ， ED：AD=3 ：4， AD=4 ，DE=3， AC= （10 分） 31 （2015 秋?扬中市期中）如图，ABC 中， AB AC， BAC 的平分线交外接圆于D， DEAB 于 E，DM AC 于 M （1）求证： BE=CM （2）求证： ABAC=2BE 【解答】 证明： （1）连接 BD ，DC， AD 平分 BAC ， BAD= CAD ， 弧 BD= 弧 CD， BD=CD ， BAD= CAD ，DEAB ，DM AC， M=DEB=90 ，DE=DM ， 在 RtDEB 和 R

29、tDMC 中， ， RtDEBRtDMC （HL ） ， BE=CM （2） DEAB，DM AC， M=DEA=90 ， 在 RtDEA 和 RtDMA 中 RtDEA RtDMA （HL ） ， AE=AM ， AB AC ， =AE +BE AC， =AM +BEAC ， =AC +CM +BEAC ， =BE+CM ， =2BE 32 （2013?宁夏模拟）如图，OA 是 0 的半径，以OA 为直径的 C 与 0 的弦 AB 相交于 点 D求证： AD=BD 【解答】 证明：连结OD，如图， OA 为 C 的直径， ADO=90 ， ODAB ， AD=BD 33 （2011 秋?宁波

30、期中）如图，已知：AB 是 O 的弦， D 为 O 上一点， DC AB 于 C， DM 平分 CDO求证： M 是弧 AB 的中点 【解答】 解：连接 OM OD=OM ， ODM= OMD ， DM 平分 ODC， ODM= CDM ， CDM= OMD ， CDOM， CDAB ， OM AB ， 弧 AM= 弧 BM ， 即点 M 为劣弧 AB 的中点 34 （2009 秋?哈尔滨校级期中）如图，ABC 的三个顶点都在O 上， CD 是高， D 是垂 足， CE 是直径，求证：ACD= BCE 【解答】 解：连接 AE， CE 为直径， EAC=90 ， ACE=90 AEC ， CD

31、 是高， D 是垂足， BCD=90 B， B=AEC （同弧所对的圆周角相等）， ACE= BCD ， ACE + ECD= BCD +ECD， ACD= BCE 35已知：如图，AE 是 O 的直径， AFBC 于 D，证明： BE=CF 【解答】 证明： AE 是 O 的直径， ABE=90 ， E+BAE=90 ， AFBC 于 D， FAC+ACB=90 ， E=ACB ， BAE= FAC， 弧 BE=弧 CF， BE=CF 36 （2015 秋?哈尔滨校级期中）已知AB 为 O 的直径，弦BE=DE ，AD ，BE 的延长线交 于点 C，求证： AC=AB 【解答】 证明：连接A

32、E， AB 为 O 的直径， AEB=90 ， AEB= AEC=90 ， 弦 BE=DE ， =， DAE= BAE ， C=90 DAE ， B=90 BAE， B=C， AC=AB 37如图， AB 是圆 O 的直径， OCAB，交 O 于点 C， D 是弧 AC 上一点， E 是 AB 上 一点， ECCD，交 BD 于点 F问： AD 与 BF 相等吗？为什么？ 【解答】 解： AD 和 BF 相等理由：如图， 连接 AC、 BC， OCAB ， BOC=90 BDC= BAC=45 ECCD， DCE= ACB=90 ， DCF 和 ACB 都是等腰直角三角形， DC=FC ，AC

33、=BC ， DCA +ACF= BCF+ACF=90 ， DCA= FCB 在 ACD 和 BCF 中， ， ACD BCF DA=BF 38如图， AB 是 O 的直径， AC、 DE 是 O 的两条弦，且DEAB，延长 AC、DE 相交 于点 F，求证： FCD=ACE 【解答】 证明：连接AD ，AE， AB 是直径 AB DE， AB 平分 DE，弧 ACE= 弧 AD ， ACD= ADE ， A、C、E、D 四点共圆， FCE= ADE ， FCE= ACD ， FCE+DCE= DAC +ECD， FCD=ACE 39如图，已知O 是 ABC 的外接圆， AD 是 O 的直径，作

34、CEAD ，垂足为E， CE 的延长线与AB 交于 F试分析 ACF 与 ABC 是否相等，并说明理由 【解答】 解： 延长 CE 交 O 于 M， AD 是 O 的直径，作CEAD ， 弧 AC= 弧 AM ， ACF= ABC （在同圆中，等弧所对的圆周角相等） 40如图， ABC 内接于 O，AD 为 ABC 的外角平分线， 交 O 于点 D，连接 BD ，CD， 判断 DBC 的形状，并说明理由 【解答】 解： DBC 为等腰三角形理由如下： AD 为 ABC 的外角平分线， EAD= DAC ， EAD= DCB， DBC= DAC ， DBC= DCB， DBC 为等腰三角形 一解

35、答题（共6 小题） 1如图， AB 是 O 的直径，弦CDAB ，垂足为点E，G 是上的任意一点，AG、 DC 的延长线相交于点F， FGC 与 AGD 的大小有什么关系？为什么？ 【解答】 解： FGC 与 AGD 相等理由如下： 连接 AD ，如图， CDAB ， =， AGD= ADC ， FGC=ADC ， FGC=AGD 2如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上一点， D 是弧 AC 中点， DEAB 垂足为 E，AC 分别与 DE、DB 相交于点 F、G，则 AF 与 FG 是否相等？为什么？ 【解答】 解： AF=FG ， 理由是：连接AD ， AB 是直径， DE

36、AB， ADB= DEB=90 ， ADE= ABD ， D 为弧 AC 中点， DAC= ABD ， ADE= DAC ， AF=DF ， FAE=DAC ， DF=FG ， AF=FG 3如图， AB 为 O 的直径，以OA 为直径作 C，AD 为 O 的弦，交 C 于 E，试问， 当 D 点在 O 上运动时（不与A 重合） ，AE 与 ED 的长度有何关系？证明你的结论 【解答】 解： AE=ED 理由：连接OE， AO 是 C 的直径， OEA=90 ， OEAD ， OE 过圆 O 的圆心 O， AE=ED 4如图， OA 是 O 的半径，以OA 为直径的 C 与 O 的弦 AB 交

37、于点 D，求证： D 是 AB 的中点 【解答】 证明：连接OD， OA 为 C 的直径， ODA=90 ，即 OD AB， D 是 AB 的中点 5 （ 2007?鄂尔多斯）如图，在ABC 中， ACB=90 ，D 是 AB 的中点，以DC 为直径的 O 交 ABC 的边于 G，F，E 点 求证： （1）F 是 BC 的中点； （2） A= GEF 【解答】 证明一： （1）连接 DF， ACB=90 ，D 是 AB 的中点， BD=DC=AB ， （2 分） DC 是 O 的直径， DFBC， （4 分） BF=FC ，即 F 是 BC 的中点；（5 分） （2） D，F 分别是 AB ，

38、BC 的中点， DFAC ， （6 分） A=BDF ， （7 分） BDF= GEF（圆周角定理） ， （8 分） A=GEF （9 分） 证明二： （1）连接 DF，DE， DC 是 O 直径， DEC= DFC=90 （1 分） ECF=90 ， 四边形 DECF 是矩形 EF=CD ，DF=EC （2 分） D 是 AB 的中点， ACB=90 ， EF=CD=BD=AB （3 分） DBF EFC （4 分） BF=FC ，即 F 是 BC 的中点（5 分） （2） DBF EFC， BDF= FEC， B= EFC （6 分） ACB=90 （也可证AB EF，得 A=FEC） ，

39、 A=FEC （7 分） FEG= BDF（同弧所对的圆周角相等） ， （8 分） A=GEF （9 分） （此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考） 6 （ 2000?兰州）如图，圆内接四边形ABCD 的外角 DCH= DCA ，DPAC 垂足为 P， DHBH 垂足为 H，求证： CH=CP ，AP=BH 【解答】 证明： （1）在 DHC 与 DPC 中， DCH= DCA ，DPAC ，DH BH，DC 为公共边， DHC DPC， CH=CP （2）连接 DB，由圆周角定理得， DAC= DBH ， DHC DPC， DH=DP ， DPAC ，DHBH， DHB= DPC=90 ， DAP DBH ， AP=BH