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1、1. 填空(本题共 20 分，共 10 空，每空 2 分) 1)三只白色棋子和两只红色棋子摆放在5*5 的棋盘上，要求每行每列只放 置一个棋子，则共有1200 种不同的摆放方法。 答案： 1200! 5 2 5 C 2)在(5a1-2a2+3a3)6的展开式中， a12?a2?a33的系数是-81000 。 答案： 810003)2(5 ! 3! 1! 2 ! 6 32 3)有 n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第 二组的最大数，共有 12 1n n 种方案。 4)六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特 定引擎开始点火有12 种方案。 答案：
2、12 1 2 1 2 1 3 CCC 5)从 1 到 600 整数中既不能被3 整除也不能被 5 整除的整数有320 个。 6)要举办一场晚会，共10 个节目，其中 6 个演唱节目， 4 个舞蹈节目。现 要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目， 则共可以写出604800 种不同的节目单。 答案： 604800! 4! 6 3 7 C 7)把 n 男 n 女排成一只男女相间的队伍，共有 2 ) !(2n 种排列方法； 若围成一圆桌坐下，又有 )2/() !(2 2 nn 种方法。 8)n 个变量的布尔函数共有 n n 2 个互不相同的。 9)把 r 个相异物体放入n 个不同
3、的盒子里，每个盒子允许放任意个物体， 而且 要 考 虑 放 入同 一 盒 中 的 物 体 的 次 序 ， 这 种 分 配 方 案 数 目 为 ), 1(rrnP 。 答案： ), 1( )!1( )!1( )1()2)(1(rrnP n rn rnnnn 2. (本题 10 分) 核反应堆中有 和 两种粒子，每秒钟内一个粒子分裂成三个 粒子，而 一个 粒子分裂成一个粒子和两个 粒子。若在时刻 t=0 时，反应堆中只 有一个 粒子，问 t=100 秒时反应堆中将有多少个粒子？多少个 粒子？ 解: 设 t 秒钟的 粒子数位 at，粒子数为 bt, 则 0, 1 23 00 11 1 ba bab
4、ba ttt tt )( 3, 0 32 10 21 1 bb bbb ba ttt tt （*）式的特征方程为 032 2 xx ， 解得 3, 1 21 rr ，即 tt t AAb3)1( 21 代入初始值 3,0 10 bb ，解得 4 3 , 4 3 21 AA tt t b3 4 3 ) 1( 4 3 11 1 3 4 3 )1( 4 3 tt tt ba )13( 4 3 ),13( 4 3 100 100 99 100 ba 3. (本题共 10 分，共 2 小题，每小题 5 分) 设 12 12 n aaa n nP PP， 12 , n P PP是互不相同的素数， 设求能除
5、尽 n 的正整数数 目为多少？ 解：每个能整除尽数 n 的正整数都可以选取每个素数Pi从 0到 ai，即每个素数 有 ai+1种选择，所以能整除n 的正整数数目为 ) 1() 1)(1( 21n aaa 个。 试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。 证明：根据题中结论， n a n aa PPPn 21 21 ，能被 )1()1)(1( 21n aaa 个 数整除，而 n a n aa PPPn 22 2 2 1 2 21 能被 ) 12()12)(12( 21n aaa 个数整除， 2ai+1 为奇数 )10(i ，所以乘积为奇数，证毕。 4. (本题 10 分) 证明
6、等式 2222 2 012 nnnnn nn 求(1+x 4+x8)100 中 x 20 项的系数。 次方系数即可证。比较 证明： n , 11 , 0 10 2 2 1 2 0 2 )1 ()1 ()1( 2 2 2 n nn n nn x n n x nn x n n x nn xxx n n nnn 。三个系数相加即为所求 时，系数 时，系数 时，系数 项时有，的结构可知仅当分析 ）（解： ,5 ,4 ,3 5 ,43k)( 1)( )(11 0 5 5 100 3 4 4 100 2 3 3 100 2084 100 0 10084 100 100 8410084 CCk CCk CC
7、k xxx xxC xxxx k k kkk 5. (本题 10 分) 求 1，3，5，7，9 这五个数可以组成多少个不同的n 位数，其中要求 3 和 7 出现次数为偶数。 位数。）个不同的（所以可以组成 解： n r x eee ee e ee e xxxx xG nn r r rrxxx xx x xx x 5321 4 1 ! )5321( 4 1 )2( 4 1 4 2 ) 2 ( ) ! 4! 2 1() ! 2! 1 1 ()(e 0 53 22 323 2 42 3 2 6. (本题 10 分) 6 个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带一 顶走了，试问没
8、有一人拿对的概率是多少？ 7. (本题 10 分) 求满足下列条件的整数解数目x1+x2+x3+x4=20 ，其中1 x1 5，0 x2 7， 4 x3 8，2 x4 6。 .36788.0 1 ! n 368.0720/265 720/) 1630120360720720( 720/) 1621562024151206720( 720/) 1! 1! 2! 3! 4! 5720( ! 6 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 6 en D CCCCC D P n 比较大时，可以证明，当 解： .84 3 9 6 9
9、 6 1-46 6 0,0,0,0 -4-4-7-4 .560 3 16 13 16 13 1-413 ,40,40,70,40 ,13 , 2, 4, 1 4321 4321 ,44,33,22,11 4321 4321 44332211 整数解数目为 于是问题转为 变换对于有上届的问题要作 根据公式应为若不附加有上届条件的 解：设 yyyy yyyy yyyy xyxyxyxy 8. (本题 10 分) 长为 5 米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方 案？(刚体运动使之吻合算一种方案) .202/)22(211 ,11 32415 ),5)(4)(3)(2)(1 (
10、 35215 21 1 l POOP P ，个个置换格式： ），）（）（翻转绕第二类置换： 解：第一类置换： 试问若要求其中有3 米为红色， 2 米为蓝色的方案数是多少？ .6 4323,5214,5313,4512 .1025 同方案数为为同一种方案，此时不 为蓝色分别和和和和但木棒可翻转，使得 为个对象染蓝色，方案数个对象任取解：若木棒不可动，则 1 2 3 4 5 O O1 P 9. (本题共 10 分，共 2 小题，每小题 5 分) 给出 1 2 0110 n mmmmmmnm nnnn 的组合意义。 等于右边。所有的方案数相加应该 个，个，另一个盒子放放项的意义是一个盒子中左边：第
11、方案数。两种方法，得到可能的 个球中每个球都有个放入两个盒子，个球，从中取出解：右边： i -nii nnm 证明 2222 23(1)2 123 n nnnn nn n n 。 2222 1222221 121 1 121 32 2) 1( 3 3 2 2 1 , 1 3 3 2 2 1 )1()1()1( 3 3 2 2 1 )1( 2 3 3 2 2 1 , 1 3 3 2 2 1 )1( 3210 )1( n nnn nn n nn nn nn n n n nnn x x n n nx n x nn xxnnxn x x n n nx n x nn xn n n n n nnn x x n n nx n x nn xn x x n n x n x n x nn x 即得式：也令 后并求导得：两端同乘以 再给式子： 即得式：令 求导可得：的两端对 在二项式 证明：