平面直角坐标系找规律题型分类汇总解析.pdf

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1、平面直角坐标系找规律题型解析 1、如图，正方形 ABCD 的顶点分别为 A(1,1) B(1 ，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有 一点 P(0，2)。作点 P 关于点 A的对称点 p1，作 p1 关于点 B的对称点 p2，作点 p2 关于点 C 的对称点 p3，作 p3 关于点 D的对称点 p4，作点 p4 关于点 A的对称点 p5，作 p5 关于点 B的 对称点 p6，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？ 解法 1：对称点 P1、P2、P3、P4每 4 个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。 第 1 周期点的坐标为： P1(2,0

2、) ，P2(0,-2) ，P3(-2,0) ，P4(0,2) 第 2 周期点的坐标为： P1(2,0) ，P2(0,-2) ，P3(-2,0) ，P4(0,2) 第 3 周期点的坐标为： P1(2,0) ，P2(0,-2) ，P3(-2,0) ，P4(0,2) 第 n 周期点的坐标为： P1(2,0) ，P2(0,-2) ，P3(-2,0) ，P4(0,2) 20114=5023，所以点 P2011的坐标与 P3坐标相同，为（ 2，0） 解法 2：根据题意， P1（2，0） P2（0，2） P3（2，0） P4（0，2）。 根据 p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出： P4n（0，2），P

3、4n+1 （2，0），P4n+2 （0，2），P4n+3 （2，0）。 20114=5023，所以点 P2011的坐标与 P3坐标相同，为（ 2，0） 总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点 一循环，起始点是p 点。 2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次 不断移动，每次移动1 个单位其行走路线如下图所示 （1）填写下列各点的坐标： A4 （，），A8 （，），A10 （，），A12 （）； （2）写出点 A4n的坐标（ n 是正整数）； （3）按此移动规律，若点Am在 x 轴上，请用含 n 的代数式表示 m （n

4、是正整数） （4）指出蚂蚁从点 A2011到点 A2012的移动方向 （5）指出蚂蚁从点 A100到点 A101的移动方向（ 6）指出 A106，A201的的坐标及方向。 解法：（ 1）由图可知， A4，A12，A8都在 x 轴上， 小蚂蚁每次移动1 个单位，OA4=2 ，OA8=4 ，OA12=6 ， A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出： A10（5，1） （2）根据（ 1）OA4n=4n 2=2n，点 A4n的坐标（ 2n，0）； （3）只有下标为4 的倍数或比 4n 小 1 的数在 x 轴上， 点 Am在 x 轴上，用含 n 的代数式表示为： m=4n或 m=4

5、n-1； （4）20114=5023， O 1 A1 A2 A3A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 x y 从点 A2011到点 A2012的移动方向与从点 A3到 A4的方向一致，为向右 （5）点 A100中的 n 正好是 4 的倍数，所以点 A100和 A101的坐标分别是 A100（50，0） 和 A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到 A101的移动方向是从下向上。 （6）方法 1：点 A1、A2、A3、A4每 4 个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。 第 1 周期点的坐标为： A1(0,1) ， A2(1,1)， A3

6、(1,0)， A4(2,0) 第 2 周期点的坐标为： A1(2,1) ， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0) 第 3 周期点的坐标为： A1(4,1) ， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0) 第 n 周期点的坐标为： A1(2n-2,1) ，A2(2n-1,1) ，A3(2n-1,0) ，A4(2n,0) 1064=262，所以点 A106坐标与第 27周期点 A2坐标相同 ,(2 27-1,1) ，即(53,1) 方 向朝下。 2014=501，所以点 A201 坐标与第 51 周期点 A1坐标相同 ,(2 51-2,1) ，即(100,1) 方向朝右。 方

7、法 2：由图示可知，在 x 轴上的点 A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头 朝上。 106=104+2 ，即点 A104再移动两个单位后到达点A106 ，A104的坐标为（ 52，0）且移 动的方向朝上，所以A106的坐标为（ 53，1），方向朝下。 同理： 201=200+1 ，即点 A200再移动一个单位后到达点A201 ，A200的坐标为（ 100，0） 且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（ 100，1），方向朝右。 3、一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1) ，然 后接着按图中箭头所示方向跳动 即(0 ，0)(0 ，1) (1 ，1

8、) （1，0） ，且每秒跳 动一个单位，那么第35 秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011 秒所在点的坐标 及方向？ 解法 1：到达（ 1，1）点需要 2 秒 到达（ 2，2）点需要 2+4 秒 到达（ 3，3）点需要 2+4+6秒 到达（ n，n）点需要 2+4+6+.+2n秒n(n+1) 秒 当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。 35=56+5，所以第 5*6=30 秒在（ 5，5）处，此后要指向下方，再过5 秒正好到（ 5,0 ） 即第 35秒在（ 5，0）处，方向向右。 42=67，所以第 67=42秒在（ 6，6）处，方向向左 4

9、9=67+7，所以第 67=42秒在（6，6）处，再向左移动 6 秒，向上移动一秒到（ 0，7） 即第 49秒在（ 0，7）处，方向向右 解法 2：根据图形可以找到如下规律，当n 为奇数是 n 2 秒处在（ 0，n）处，且方向指向 右； 当 n 为偶数时 n 2 秒处在（ n，0）处，且方向指向上。 35=6 2-1 ，即点（ 6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（ 5，0），即第 35 秒处的坐标为 （5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011 处的坐标及方向。 4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或 y 轴平行从内到外，它们 的边长依次为 2， 4，6，

10、8， ，顶点依次用 A1，A2， A3， A4，表示，顶点 A55的坐标是（） 解法 1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。 观察图象，点 A1、A2、A3、A4每 4 个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。 第 1 周期点的坐标为： A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1) 第 2 周期点的坐标为： A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2) 第 3 周期点的坐标为： A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3) 第 n 周期点的坐

11、标为： A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n) 554=133，A55坐标与第 14 周期点 A3坐标相同 ,(14,14)，在同一象限 解法 2：55=413+3， A55与 A3在同一象限，即都在第一象限， 根据题中图形中的规律可得： 3=41-1，A3的坐标为（ 1，1），7=42-1，A7的坐标为（ 2，2）， 11=43-1，A11的坐标为（ 3，3）；55=414-1，A55（14，14） 5、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m ，n），规定以下两种变换： （1）f （m ，n）=（m ， n），如 f （2，1）=（2，1）； （2）g

12、（m ，n）=（ m ，n），如 g（2，1）=（2，1） 按照以上变换有： fg （3，4）=f( 3, 4)=（3，4），那么 gf （3，2） 等于（） 解： f （3，2）=（ 3，2）， gf （3，2）=g（3，2）=（3，2）， 6、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： 1、f （a，b）=（a，b）如： f （1，3）=（1，3）； 2、g（a，b）=（b，a）如： g（1，3）=（3，1）； 3、h（a，b）=（a， b）如： h（1，3）=（1，3） 按照以上变换有： f(g(2,3)=f(-3，2）=(3,2) ，那么 f(h(5,-3)等

13、于（）（5，3） 7、 一质点 P从距原点 1 个单位的 M点处向原点方向跳动， 第一次跳动到 OM 的中点 M3处， 第二次从 M3跳到 OM3 的中点 M2处，第三次从点M2跳到 OM2 的中点 M1处，如此不断跳动下 去，则第 n 次跳动后，该质点到原点O的距离为（） 解：由于 OM=1 ，所有第一次跳动到OM 的中点 M3处时， OM3=OM= ，同理第二次从 M3 点跳动到 M2处，即在离原点的 2 处，同理跳动 n 次后，即跳到了离原点的处 8、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“” 方向排列，如（ 1，0），（ 2，0），（ 2，1），（ 1，1

14、），（ 1，2），（ 2，2）根据这个 规律，第 2012个点的横坐标为（）45 解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为1，共有 1 个，1=12， 右下角的点的横坐标为2 时，共有 4 个，4=22， 右下角的点的横坐标为3 时，共有 9 个，9=32， 右下角的点的横坐标为4 时，共有 16 个，16=42， 右下角的点的横坐标为n 时，共有 n2 个， 452=2025，45 是奇数，第 2025 个点是（ 45，0），第 2012个点是（ 45，13）， 9、（2007?遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点

15、，其顺序按图中“” 方向排列，如（ 1，0），（ 2，0），（ 2，1），（ 3，2），（ 3，1），（ 3，0）根据这个 规律探究可得，第88 个点的坐标为（） 解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。 坐标系中的点有规律的按列排列，第 1 列有 1 个点，第 2 列有 2 个点，第 3 列有 3 个点 第 n 列有 n 个点。 1+2+3+4+ +12=78，第 78 个点在第 12 列上，箭头常上。 88=78+10 ，从第 78 个点开始再经过10 个点，就是第 88 个点的坐标在第13列上， 坐标为（ 13，13-10），即第 88 个点的坐标是（

16、 13，3） 10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（1，1），A4（1，1），A5（2， 1），则点 A2007的坐标为（） 解法 1：观察图象，点 A1、A2、A3、A4每 4个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。 第 1 周期点的坐标为： A1(1,0) ， A2(1,1)， A3(-1,1)， A4(-1,-1) 第 2 周期点的坐标为： A1(2,-1) ， A2(2,2)， A3(-2,2)， A4(-2,-2) 第 3 周期点的坐标为： A1(3,-2) ， A2(3,3)， A3(-3,3)， A4(-3,-3) 第 n 周期点的

17、坐标为： A1(n,-(n-1)， A2(n,n)， A3(-n,n)， A4(-n,-n) 因为 20074=5013， 所以 A2007的坐标与第 502周期的点 A3的坐标相同，即(-502,502) 解法 2：由图形以可知各个点 （除 A1点和第四象限内的点外） 都位于象限的角平分线上， 位于第一象限点的坐标依次为A2 （1，1） A6 （2，2） A10 （3，3）A4n2（n，n）。 因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即 4n2（n 是自然数， n 是点的横坐标的绝对值）； 同理第二象限内点的下标是4n1（n 是自然数， n 是点的横坐标的绝对值）； 第

18、三象限是 4n（n 是自然数， n 是点的横坐标的绝对值）； 第四象限是 1+4n（n 是自然数， n 是点的横坐标的绝对值）； 因为 20074=5013，所以 A2007位于第二象限。 2007=4n1 则 n=502， 故点 A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（502，502） 11、如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3 米到达 A1点，再向正北方向走6 米 到达 A2点，再向正西方向走9 米到达 A3点，再向正南方向走12 米到达 A4点，再向正东方 向走 15米到达 A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6，A108点 D的坐标各是多少。 解法 1：观察图象，点A1、

19、A2、A3、A4每 4 个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。 第 1 周期点的坐标为： A1(3,0) ， A2(3,6)， A3(-6,6)， A4(-6,-6) 第 2 周期点的坐标为： A1(9,-6) ， A2(9,12)， A3(-12,12)， A4(-12,-12) 第 3 周期点的坐标为： A1(15,-12) ， A2(15,18)， A3(-18,18)， A4(-18,-18) 第 n 周期点的坐标为： A1(6n-3,-(6n-6)，A2(6n-3,6n) ， A3(-6n,6n)， A4(-6n,-6n) 因为 64=12，所以 A

20、6的坐标，与第 2 周期的点 A2的坐标相同，即 (9,12) 因为 1084=27，所以 A108的坐标与第 27 周期的点 A4的坐标相同， (-6 27, -6 27) 解法 2： 根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15, 当机器人走到 A6点时，A5A6=18 米，点 A6的坐标是（ 9，12）； 12、（2013?兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（0，4），对 OAB 连续作旋转变换， 依次得到 1、 2、 3、 4，则2013的直角顶点的坐标为（） 解：点 A（3，0）、B（0，4）， AB=5， 由图可知，每三个三角形为一个循环组

21、依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12， 20133=671， 2013的直角顶点是第 671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， 67112=8052， 2013的直角顶点的坐标为（ 8052，0） 12（2013?聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右， 向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1 （0，1），A2（1，1），A3（1， 0），A4（2，0），那么点 A4n+1（n 为自然数）的坐标为（） 解：由图可知， n=1 时，41+1=5，点 A5（2，1）， n=2 时，42+1=9，点 A9（4，1）， n=3 时，43+1=1

22、3 ，点 A13（6，1），所以，点 A4n+1 （2n，1） 13 （2013?湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在 y 轴上从内到外， 它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用 A1、A2、A3、A4表示，其中 A1A2与 x 轴、 底边 A1A2与 A4A5 、A4A5与 A7A8 、均相距一个单位，求点A3和 A92 的坐标分别是多少， 解法 1：观察图象，点 A1、A2、A3、每 3 个点，图形为一个循环周期。 根据计算 A3的坐标是（ 0，1） 设每个周期均由点A1，A2，A3，组成。 第 1 周期点的坐标为： A1(-1,-1)， A2(1,-1)， A3(0,

23、 1) 第 2 周期点的坐标为： A1(-2,-2)， A2(2,-2)， A3(0, ) 第 3 周期点的坐标为： A1(-3,-3)， A2(3,-3)， A3(0, +1) 第 n 周期点的坐标为： A1(-n,-n)， A2(n,-n)， A3(0, +n-2) ， 因为 33=1，所以 A3的坐标与第 1 周期的点 A3的坐标相同，即 (0, 1) 因为 923=302，所以 A92的坐标与第 31周期的点 A2的坐标相同，即 (31, -31) 解法 2： A1A2A3 的边长为 2， A1A2A3的高线为 2=， A1A2与 x 轴相距 1 个单位，A3O=1， A3的坐标是（

24、0，1）； 923=302，A92是第 31 个等边三角形的初中第四象限的顶点， 第 31 个等边三角形边长为231=62， 点 A92的横坐标为62=31，边 A1A2与 A4A5 、A4A5与 A7A8 、均相距一个单位， 点 A92的纵坐标为 31，点 A92的坐标为（ 31，31） 14、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从O点第一跳落到 A1 （1，0），第二 跳落到 A2 （1，2） ， 第三跳落到 A3 （4，2） ， 第四跳落到 A4 （4，6） ， 第五跳落到 A5 _ 到 达 A2n后，要向 _方向跳_个单位落到 A2n+1 解：蓝精灵从O点第一跳落到 A1（1，0）

25、，第二跳落到A2（1，2），第三跳落到 A3（4，2），第四跳落到 A4（4，6）， 蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1，即可得出： 第五跳落到 A5（9，6），到达 A2n后，要向右方向跳（ 2n+1）个单位落到 A2n+1 17（2012?莱芜）将正方形 ABCD 的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射 线上标记点 A1、A2、A3、，按此规律，点A2012在那条射线上 解：如图所示： 点名称射线名称 AB A1 A3 A10 A12 A17 A19 A26 A28 CD A2 A4 A9 A11 A18 A20 A25 A27 BC A5 A7 A14 A16

26、 A21 A23 A30 A32 DA A6 A8 A13 A15 A22 A24 A29 A31 根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16 个点排列的位置一循环， 因为 2012=16125+12，所以点 A2012所在的射线和点 A12 所在的直线一样 因为点 A2012所在的射线是射线AB ，所以点 A2012在射线 AB上，故答案为： AB 18、（2011?钦州）如图，动点 P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1 次 从原点运动到点（ 1，1），第2 次接着运动到点（ 2，0），第 3 次接着运动到点（ 3，2）， 按这样的运动规律，经过第2011 次运动后，动点

27、P的坐标是_ 解法 1：观察图象，每4 个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。 第 1 周期点的坐标为： P1(1,1) ， P2(2,0)， P3(3, 2)， P4(4,0) 第 2 周期点的坐标为： P1(5,1) ， P2(6,0)， P3(7, 2)， P4(8,0) 第 3 周期点的坐标为： P1(9,1) ， P2(10,0)， P3(11, 2)， P4(12,0) 第 n 周期点的坐标为： P1(4n-3,1) ， P2(4n-2,0)， P3(4n-1, 2)，P4(4n,0) 因为 20114=5023， 所以 P2011的坐标与第 50

28、3周期的点 P3的坐标相同 (5034-1, 2) ， 即（2011，2） 解法 2、根据动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1 次从原点运动 到点（ 1，1），第 2 次接着运动到点（ 2，0），第 3 次接着运动到点（ 3，2）， 第 4 次运动到点（ 4，0），第 5 次接着运动到点（ 5，1）， 横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点 P的横坐标为 2011，纵坐标为 1，0， 2，0，每 4 次一轮， 经过第 2011 次运动后，动点 P 的纵坐标为： 20114=502 余 3，故纵坐标为四个数中 第三个，即为 2，经过第 2011次运动后，动点P的坐标是

29、：（ 2011，2） 19、将正整数按如图所示的规律排列下去若用有序实数对（n，m ）表示第 n 排，从左 到右第 m个数，如（ 4，3）表示实数 9，则（ 7，2）表示的实数是_ 解：第 1排的第一个数为1， 第 2排的第一个数为2，即 2=1+1 第 3排的第一个数为4，即 4=1+1+2 第 4排的第一个数为7，即 7=1+1+2+3 第 n排的第一个数为1+1+2+3+ +n-1=1+n（n-1）/2 将 7带入上式得 1+n（n-1）/2=1+73=22，所以第七排的第二个数是23，即（7，2） 表示的实数是 23. 20、（2011?锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0）

30、，点 A第一次跳动至点 A1 （1，1），第四次向右跳动 5 个单位至点 A4 （3，2），依此规律跳动下去，点A第 100 次跳动至点 A100的坐标是（）。点 A第 103 次跳动至点 A103的坐标是（） 解法 1：观察图象，点 A1、A2每 2 个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2组成。 第 1 周期点的坐标为： A1(-1,1) ， A2(2,1) 第 2 周期点的坐标为： A1(-2,2) ， A2(3,2) 第 3 周期点的坐标为： A1(-3,3) ， A2(4,3) 第 n 周期点的坐标为： A1(-n,n) ， A2(n+1,n)， 因为 1032=511

31、，所以 P2011的坐标与第 52 周期的点 A1的坐标相同，即（ -52，52） 解法 2：（1）观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐 标是次数的一半， 即第 n 次跳至点的坐标为 1, 22 nn 第 2 次跳动至点的坐标是A2 （2，1）， 第 4 次跳动至点的坐标是A4（3，2）， 第 6 次跳动至点的坐标是A6（4，3）， 第 8 次跳动至点的坐标是A8（5，4）， 第 n 次跳动至点的坐标是An 1, 22 nn ，第 100 次跳动至点的坐标是（ 51，50） （2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1 的一半，纵坐标是横坐 标的相反数

32、，即第 n次跳动至点 An的坐标为 11 , 22 nn 第 1 次跳动至点的坐标是A1（-1，1），第 3 次跳动至点的坐标是A3（-2，2）， 第 5 次跳动至点的坐标是A5（-3，3），第 7 次跳动至点的坐标是A7（-4，4）， 第 n 次跳动至点的坐标是 11 , 22 nn ， 第 103次跳动至点的坐标是（-52，52） 21、（2008?泰安）如图，将边长为1 的正三角形 OAP 沿 x 轴正方向连续翻转2008次， 点 P依次落在点 P1， P2， P3P2008的位置，则点 P2008, P2007的横坐标分别为为 ( ) （） 解法 1：观察图象，点 P1、P2、P3每

33、3 个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点P1、P2、P3组成。 第 1 周期点的坐标为： P1(1,0) ， P2(1,0), P3(2.5,y) 第 2 周期点的坐标为： P1(4,0) ， P2(4,0), P3(5.5,y) 第 3 周期点的坐标为： P1(7,0) ， P2(7,0), P3(8.5,y) 第 n 周期点的坐标为： P1(3n-2,0) ， P2(3n-2,0)， P3(3n-1+0.5,y) 因为 20083=6691，所以 P208的坐标与第 670周期的点 P1的坐标相同， (3 670-2，0) ，即（ 2008，0）所以横坐标为 2008 因为 20073=669，所以 P2007的坐标与第 669周期的点 P3的坐标相同， (3 669-1+0.5 ，y) ，即（ 2006.5，y）所以横坐标为 2006.5 解法 2：观察图形结合翻转的方法可以得出